Capítulo II GUIAS DE ONDAS Parte II

2.2 Guías de Ondas Circulares. Capítulo II GUIAS DE ONDAS 2.2 Guías de Ondas Circulares. z y x r a Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos:

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo i ) ii ) iii ) Ecuación escalar donde: Ecuación escalar de Helmholtz

II II  R(r) () Z(z) GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Capítulo La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está dada por: (*) Usando el método de S.V. La solución se asume de la forma:  R(r) () Z(z) Sustituyendo en (*) y dividiendo por  se tiene:

Constante de propagación Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (**) (a) Dado que el lado derecho de (**) es una cte., entonces, la suma de los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el término (a) es una cte. 1 ) Constante de propagación en la guía

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo (b) La solución general de (1) es: Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando por r2 obtenemos: (b) Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n2)

Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal (). Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Cuya solución es:  Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal ().

Ecuación característica Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Análogamente al caso anterior, reemplazando -n2 en (**) y multiplicando por R, se obtiene: Ecuación de Bessel de orden n donde Ecuación característica de Bessel

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES ; g = g+jg Capítulo Para el caso de las GG.OO. sin pérdidas, la ecuación anterior, se reduce a: ; g = g+jg La solución a la ecuación de Bessel es de la forma: R (r ) = Cn Jn ( kC r ) + Dn Nn ( kC r ) función de Bessel de orden n del primer tipo que representa una onda estacionaria (r < a). función de Bessel de orden n del 2º tipo que representa una onda estacionaria (r > a).

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES   R  Z Capítulo La solución total para la ecuación de Helmholtz   R  Z  = [Cn Jn (kC r) + Dn Nn (kC r)

Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser finito Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 2.2.1 Aplicando las condiciones de borde en la guía de ondas. En r = 0, kc r = 0  Nn    Dn = 0 Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser finito   Cn Jn (kCr)

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Además,   0 Jn (kCr)

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.2 Modos TEnp Obs: n: número de ciclos de  en dirección , en 2 radianes. p: número de ceros del campo Ef en dirección radial, excluyendo el origen. Obs: Para los modos TEnp Ez =0  existe Hz 0

 II Hz= Hoz Jn (kcr) r = a GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo La ecuación de onda es solución para Hz Hz= Hoz Jn (kcr) Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía. E =0 : campo tangencial Hr =0 : campo radial r = a

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Considerando las ecuaciones de Maxwell Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Considerando EZ= 0 y

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo E = 0 en r = a  Las condiciones de borde implican: E = 0 en r = a  Hr = 0 en r = a  Forzando esta condición en la expresión para Hz J’n (kca)  J’n (kca) = 0.

Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Obs: J’n (kca) = J’n (kcr) Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca). Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos como: X'np = kC a Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp (Tabla 4-2-1 de Liao)

Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp 1 2 3 4 5 3.832 1.841 3.054 4.201 5.317 6.416 7.016 10.173 13.324 11.706 8.536 5.331 6.706 9.696 13.170 11.346 8.015 9.282 12.682 13.987 10.520 n p ----- (Tabla 4-2-1 de Liao)

 II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ez = 0 Capítulo Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E.M. son: Ez = 0

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Impedancia de onda Obs: donde Impedancia de onda Obs: Con kc se puede calcular fc del modo de propagación. Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE11. Por lo general, se opera en el modo de dominante.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Modo evanescente En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior. En este caso: TE11 TE21 f Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión. Modo evanescente

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Parámetros de importancia para los Modos TEnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte:

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo c) Velocidad de fase: donde d) Longitud de onda:

Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío. Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES e) Impedancia de onda en la guía: donde Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Hz =0  EZ  0 2.2.3 Modos TMnp Obs: El análisis es equivalente al caso anterior. Debido a que en los modos TMnp no existe componente de campo magnético en dirección de propagación Hz =0  EZ  0

Ceros de Jn (kCa) para los modos TMnp Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Aplicando condiciones de borde, se obtiene:  Jn (kC a) = 0 Xnp = kC a  Ceros de Jn (kCa) para los modos TMnp (Tabla 4-2-2 de Liao) Las raices de Jn (Xnp) son infinitas.

Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp 1 2 3 4 5 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771 5.520 8.645 11.792 13.324 10.173 7.106 8.417 11.620 14.796 13.015 9.761 11.065 14.372 ----- 12.339 n p (Tabla 4-2-2 de Liao)

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Hz = 0 De las ecuaciones de Maxwell y considerando Hz = 0 y

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Hz = 0

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Impedancia de onda Obs: donde Impedancia de onda Obs: Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01. Pero como TE11 es menor que TM01,. El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE11.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Parámetros de importancia para los Modos TMnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte:

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde

Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío. Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES d) Longitud de onda: e) Impedancia de onda en la guía: Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares. Obs: Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO. Rectangulares.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM. Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión). Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES      

II  GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Para las ondas TM Hz= 0  Existe Ez  O bien, (x E)z = 0 Es decir: En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional.

  II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Potencial Capítulo El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero. El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V.   Potencial

II  GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Ahora, si tomamos la ecuación  y se considera Hz = 0, queda: y como  queda

jw Ez : Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento [A/m2] Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Intercambiando el orden de derivación donde jw Ez : Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento [A/m2] : [m2]

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Corriente en la dirección z. () Corriente en la dirección z. Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx. ; Y : Admitancia paralela.

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Ahora, si consideramos la ecuación  y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene: Arreglando se logra:

Cambiando el orden de derivación Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Esto se reemplaza en  Cambiando el orden de derivación

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Arreglando ()

II m e/kc2 GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo : Impedancia donde : Impedancia m e/kc2 Obs: Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas.

m e/kc2 e II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM. m e/kc2 e

II  GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo a) Modos TE ( Ez= 0): En este caso  (x H)z = 0 Por tanto: No existe rotacional para H en el plano xy. El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo.

  II  GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U.   Tomando la ecuación  y considerando Ez = 0 

Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES sabiendo que:

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Cambiando el orden de derivación se logra: Dimensión de corriente. Tiene dimensiones de voltaje

Considerando la ecuación  y reemplazando: Capítulo II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Considerando la ecuación  y reemplazando:

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo Reemplazando en  y cambiando el orden de derivación : Se obtiene:

m e II m /kc2 GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TE. m m /kc2 e

II GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2.2.8 Configuración de campos EM y métodos de excitación de modos en GG.OO. Circulares.

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