“Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas” 24 de marzo de 2003, Universidad de La Laguna Generación Automática de Mallas Tridimensionales para la Simulación Numérica de Procesos Medioambientales R. Montenegro, G. Montero, J.M. Escobar, E. Rodríguez y J.M. González-Yuste Instituto Universitario de Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Numéricas en Ingeniería Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Parcialmente subvencionado por MCYT y FEDER. Proyecto: REN C03-02/CLI Curso Universitario Interdisciplinar

 Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular. Contenido  Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros.  Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento.  Conclusiones y Líneas Futuras.  Optimización de Mallas de Tetraedros: Desenredo y Suavizado.

Dato: Información Digitalizada del Terreno

Definición del Dominio Tridimensional

Discretización Adaptada del Dominio 3-D

Etapas Principales del Proceso de Mallado Discretización de la superficie del terreno (Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)

Etapas Principales del Proceso de Mallado Discretización de la superficie del terreno (Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D) Definición de la nube de puntos (Función de espaciado vertical y estrategias)

Etapas Principales del Proceso de Mallado Discretización de la superficie del terreno (Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D) Generación de la malla tridimensional (Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar) Definición de la nube de puntos (Función de espaciado vertical y estrategias)

Etapas Principales del Proceso de Mallado Discretización de la superficie del terreno (Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D) Generación de la malla tridimensional (Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar) Optimización de la malla (Algoritmo simultáneo de desenredo y suavizado) Definición de la nube de puntos (Función de espaciado vertical y estrategias)

Discretización de la Superficie del Terreno  Información topográfica digitalizada de la región rectangular de estudio  Comenzamos con una malla uniforme 2-D de esta región rectangular (malla base o grosera  1 )

Discretización de la Superficie del Terreno  Realizamos m-1 refinamientos globales usando el algoritmo 4-T de Rivara T = {  1 <  2 <... <  m }  Interpolamos la información digitalizada en los nodos de  m

Discretización de la Superficie del Terreno  Aplicamos el algoritmo de desrefinamiento con la precisión  deseada T’ = {  1 <  ’ 2 <... <  ’ m’ } El nodo propio K puede ser eliminado si:

Tres subconjuntos: 11  ’ m’ Frontera superior del dominio Frontera inferior del dominio 1) Distribución uniforme de  1 para la frontera superior 2) Distribución adaptada de  ’ m’ para la frontera inferior 3) Distribución entre ambas capas atendiendo a la función de espaciado vertical Definición de la Nube de Puntos

 Función de espaciado vertical:  Si fijamos d y , obtenemos:  Si fijamos d y n, obtenemos:

Definición de la Nube de Puntos  Si fijamos d y D, obtenemos n resolviendo la ecuación no lineal: donde siendoy  Teorema del punto fijo ()() ()() tiene solución única La ecuación Puesto que: a) b) El método del punto fijo converge para cualquier aproximación inicial de

Influencia del nivel j donde el nodo P de  ’ m’ es propio Si j=1 (P es propio de la malla grosera  1 ), se generan nodos sobre la vertical de P atendiendo a la función de espaciado vertical para i = 1, 2,…, n-1. Si 2  j  m’-1, se generan nodos para i = 1, 2,…, min (m’-j,n-1). Si j=m’ (P es propio del nivel más fino  ’ m’ ), no se genera ningún nodo nuevo. Definición de la Nube de Puntos

Generación de la Malla Tridimensional  Transformación del dominio real al paralelepípedo auxiliar  Triangulación de Delaunay en el paralelepípedo  Transformación inversa al dominio real (compresión de la malla).  Ventaja: Conformidad de la malla con la superficie del terreno  Inconveniente: Posibilidad de cruces en tetraedros de la malla (enredo de la malla)

Estrategia 1: Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Impuestos  El mismo valor de n y  es impuesto para cado nodo P de  ’ m’  Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar Concentración de capas hacia el terreno  El valor de  se introduce como dato Número de capas ( n +1)  El valor de n se introduce como dato

Estrategia 2: Número de Capas Fijo y Grado de Espaciado Vertical Variable  El mismo valor de n se impone para cada nodo P de  ’ m’, pero  depende de P  El valor de  se evalúa en función de d :  El máximo valor de n se calcula automáticamente y se impone Número de capas ( n +1) Concentración de capas hacia el terreno  Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar

Estrategia 3: Número de Capas Variable y Grado de Espaciado Vertical Fijo  Diremos que para cada nodo P de  ’ m’ existe un número de capas virtuales  El mismo valor de  se impone para cada nodo P de  ’ m’, pero n depende de P  El valor de  se introduce como dato  El valor de n se evalúa en función de d : Número de capas ( n +1) Concentración de capas hacia el terreno

Estrategia 4: Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Variables  Diferentes valores de  y n se evalúan automáticamente para cada nodo P de  ’ m’  El valor de  se evalúa en función de d :  El valor de n se evalúa en función de d y D : ()() Número de capas ( n +1) Concentración de capas hacia el terreno  Diremos que para cada nodo P de  ’ m’ existe un número de capas virtuales

Ejemplo del Comportamiento de las Estrategias A B C D Sección ABCD Estrategia 1 Estrategia 4 Estrategia 3 Estrategia 2

Optimización de la Malla  Desenredo y suavizado simultáneo (algoritmo local de recolocación)  Función objetivo, a minimizar, asociada al nodo v : Vector de posición del nodo libre v que pretendemos recolocar Función objetivo asociada al tetraedro conectado con v

Optimización de la Malla

AntesDespués Optimización de la Malla: Ejemplo 1

AntesDespués Optimización de la Malla: Ejemplo 2

Evolución de la calidad media y mínima en función del número de iteraciones de optimización Optimización de la Malla: Ejemplo 2

 Área rectangular del sur de La Palma (Islas Canarias) de 45.6  31.2 km  Variación de cotas desde 0 a 2279 m La frontera superior del dominio ha sido situada a la altitud h = 9000 m Las cotas topográficas se definen sobre una retícula de 200  200 m  1 : Malla 2-D uniforme con tamaño de elemento aproximado de 2000  2000 m  ’ m’ : Malla 2-D adaptada después de 4 refinamientos globales sobre  1 y un paso de desrefinamiento con una precisión  = 40 m Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”

n = 5 (6 capas),  = 2, tetraedros, nodos, valencia máxima = 21, número de etapas de optimización = 5 Estrategia 1 Malla GeneradaMalla Optimizada Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”

Estrategia 1 Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”

n = 5 (6 capas), tetraedros, nodos, valencia máxima= 21, número de etapas de optimización = 5 Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 2 Malla GeneradaMalla Optimizada

Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 2

 = 1.5, tetraedros, nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5 Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 3 Malla GeneradaMalla Optimizada

Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 3

D = 1500 m, tetraedros, nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5 Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 4 Malla GeneradaMalla Optimizada

Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma” Estrategia 4

Estrategia 1Estrategia 2 Estrategia 3 Estrategia 4 Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”

Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave” Estrategia 1Estrategia nodos1155 nodos Número de tetraedros invertidos = 5 Número de tetraedros invertidos = 0

Estrategia 3Estrategia nodos1180 nodos Número de tetraedros invertidos = 128 Número de tetraedros invertidos = 111 Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave”

Estrategia 1Estrategia nodos1237 nodos Número de tetraedros invertidos = 43 Número de tetraedros invertidos = 0 Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Concentrada”

Estrategia 3Estrategia nodos1249 nodos Número de tetraedros invertidos = 228 Número de tetraedros invertidos = 248 Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Concentrada”

Aplicaciones Numéricas: “Volcán” Estrategia nodos Número de tetraedros invertidos = 0 Vista de la superficie (1)

3973 nodos Vista de la superficie (2) Vista de la superficie (3) Aplicaciones Numéricas: “Volcán” Estrategia 1

3973 nodos Vista de la superficie (4) Detalle de la malla (“cráter”) Aplicaciones Numéricas: “Volcán”

Estrategia nodos Dos vistas opuestas de la malla de tetraedros Aplicaciones Numéricas: “Volcán”

Estrategia nodos Número de tetraedros invertidos = 0 Estrategia 3 Estrategia nodos 4013 nodos Tetraedros invertidos = 430 Tetraedros invertidos = 576 Aplicaciones Numéricas: “Volcán”

Estrategia nodos Número de tetraedros invertidos = 266 Detalle de la malla Aplicaciones Numéricas: “Paredes Verticales”

Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros  El método de elementos finitos adaptables:

 Tipo I: Subdivisión en 8-subtetraedros Tetraedros con 6 nodos nuevos Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros

 Tipo I Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 5 nodos nuevos

 Tipo I Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 4 nodos nuevos

 Tipo I Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 3 nodos nuevos en caras diferentes

 Tipo II: Subdivisión en 4-subtetraedros Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 3 nodos nuevos en la misma cara

 Tipo III.a: Subdivisión en 4-subtetraedros Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 2 nodos nuevos en caras diferentes

 Tipo III.b: Subdivisión en 3-subtetraedros Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 2 nodos nuevos en la misma cara

 Tipo IV: Subdivisión en 2-subtetraedros Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 1 nodo nuevo

 Tipo V: No se subdivide Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros Tetraedros con 0 nodos nuevos

 El algoritmo ha sido implementado en C++ de manera recursiva.  El proceso de clasificación de los tetraedros se lleva a cabo marcando sus aristas.  La conformidad de la malla se asegura a nivel local mediante un proceso de expansión que comienza en los tetraedros de Tipo I.  Si una arista de un tetraedro transitorio debe ser marcada, debido al indicador de error o para asegurar la conformidad de la malla, entonces todos los tetrahedros transitorios son eliminados de su tetradro padre (proceso de borrado), se marcan todas las aristas del tetraedro padre y este tetraedro se introduce dentro del conjunto de tetraedros Typo I procediéndose a su subdivisión en 8 subtetraedros.  Llamamos tetraedros transitorios a los que resultan de la división de tetraedros de Tipo II, III y IV. Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros: Comentarios

Aplicación del Refinamiento Local: Malla Inicial Detalle de la malla

Aplicación del Refinamiento Local: Primera Etapa Detalle de la malla

Aplicación del Refinamiento Local: Segunda Etapa Detalle de la malla

Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento Sea un dominio acotado de frontera : campo de viento obtenido mediante interpolación de datos experimentales. Objetivo: encontrar un campo de velocidadesque se ajuste averificando  Condición de incompresibilidad :  Condición de impermeabilidad:  Entonces, el campo es la solución del problema: Hallarverificando donde

Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento  Este problema puede ser formulado introduciendo un multiplicador de Lagrange q.  El punto silla del lagrangianoverifica:  Tal que finalmente se obtiene el campo de velocidades:

Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento Malla después de 3 refinamientosMalla inicial

Campo de velocidades a 10 mCampo de velocidades a 500 m Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento

 Aplicación del modelo de campos de viento a la Isla de La Palma a partir de medidas experimentales. Campo de velocidades a 500 mLíneas de corriente a 500 m Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento

Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.

Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.

Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.  Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.

Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.  Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.  Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.

Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.  Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.  La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.  Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.

 Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.  Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.  La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).  Hemos propuesto un nuevo procedimiento para optimizar mallas que desenreda y suaviza al mismo tiempo. Conclusiones Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular  Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.  Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.

Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros  Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.

Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros  Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.  Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.

Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros  Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.  Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes.  Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.

 Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.  En futuros trabajos pretendemos implementar el algoritmo de desrefinamiento inverso al algoritmo de refinamiento. Este aspecto es fundamental para la simulación de problemas evolutivos como la dispersión de contaminantes en la atmósfera.  Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes. Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros  Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.