Teoría de Probabilidad La definición de probabilidad como henos dada anteriormente es suficiente para trabajar con espacios muestrales finitos Axioma 1. Axioma 2. Axioma 3 Sin embargo para espacios muestrales infinitos numerables, se hace necesario realizar una extensión al axioma 3. En rigor: Axioma 3` Para cualquier sucesión infinita de eventos mutuamente excluyentes, E1, E2, ..., se tiene que

. . . Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. En lo que sigue en estos apuntes, y la verdad es que será norma, trabajaremos con problemas concretos para después generalizar. Vamos a entregar una metodología para el cálculo de la cardinalidad de un espacio muestral finito y cardinalidad de eventos asociados a dicho espacio muestral. Supongamos que tenemos una urna con M bolitas numeradas del 1 al M . . . 1 2 3 4 5 M-1 M

. . . Teoría de Probabilidad 1 5 3 4 2 El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. . . . 1 2 3 4 5 M-1 M Supongamos que extraemos bolitas de la urna de una en una, hasta completar n extracciones. Si este es el caso decimos que hemos extraído una muestra ordenada de tamaño n. Es claro que debemos especificar si al extraer la muestra se devolvían o no las bolitas a la urna. Se dice que la muestra se hizo con reemplazo si después de cada extracción se registra el número de la bolita y se devuelve a la urna. Ahora se dice que la muestra se obtuvo sin reemplazo si la bola extraída no se devuelve a la urna. Nota: si la muestra se obtiene sin reemplazo es claro que n debe ser menor o igual a M. Y si la muestra es con reemplazo no hay restricciones para n

. . . Teoría de Probabilidad 1 5 3 4 2 El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. . . . 1 2 3 4 5 M-1 M Cualquiera sea la forma de extracción, con o sin reemplazo, un resultado de la extracción de tamaño n se puede escribir como: Donde zi representa el número de la i-ésima bolita extraida.

. . . ... Teoría de Probabilidad 1 5 3 4 2 El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. . . . 1 2 3 4 5 M-1 M ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n sin reemplazo (n menor o igual a M)? Nº resultados para cada extracción ... M M - 1 M - 2 M – (n – 1) nª 1ª 2ª 3ª Nº extracción El número de elementos es M (M – 1) (M – 2) ... (M – n + 1)

. . . ... Teoría de Probabilidad 1 5 3 4 2 El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. . . . 1 2 3 4 5 M-1 M ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n con reemplazo? Nº resultados para cada extracción ... M M M M nª 1ª 2ª 3ª Nº extracción El número de elementos es M M M ... M

... Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. ¿Cuál es el número de subconjuntos de un conjunto? Sea S = {1, 2, 3, ..., N} un conjunto cualquiera ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad k podemos formar a partir de S, para k = 0, 1, 2, ..., N? Cada “cajita”, como antes, indica el número de opciones que puede ser ocupado por un elemento de un determinado subconjunto de S de tamaño k ... N N - 1 N - 2 N – k + 1 1º 2º 3º kº

... Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. ... N N - 1 N - 2 N – k + 1 1º 2º 3º kº El valor N! / (N-k)! nos indica el número de muestras de tamaño k, sin reemplazo, que podemos obtener de N elementos diferentes. Por otro lado, este número se puede obtener de la siguiente forma. Sea a(k) el número de subconjuntos de tamaño k. Luego si para cada subconjunto de tamaño k calculamos todas las posibles permutaciones, que es k!, obtendremos el número de muestras de tamaño k, sin reemplazo, obtenida de N elementos diferentes, esto es

Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Veamos con un ejemplo el razonamiento anterior Sea S = {a, b, c, d}, vamos a obtener en número de subconjuntos de S de tamaño k = 3. Sea a(3) el número de subconjuntos de tamaño 3. En particular {a, b, d} es un subconjunto de tamaño 3, y podemos identificar a (a, b, c) como una muestra de tamaño 3 extraída de una urna que contienen a bolitas rotuladas con a, b, c, d. Nota: observe la diferencia conceptual entre {a, b, d} y (a, b, d) Las formar de extraer tres bolitas rotuladas con a, b, d son 3! (tres factorial). De manera que si a(3) es el número de subconjuntos de tamaño 3, se tendrá que a(3) 3! es el número de muestras de tamaño 3 extraídas de 4 objetos diferentes, que es 4!/1!, es decir:

Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. De manera entonces que el número de subconjuntos de tamaño k, de un subconjunto de tamaño n es Con esto concluimos que el número de todos los subconjuntos de un conjunto de tamaño n está dado por un evento de tamaño n un evento imposible “n sobre 2” eventos de tamaño 2 n eventos de tamaño 1

Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Otro problema de conteo que nos será útil es el encontar el número de particiones de un conjunto de tamaño N, y en particular del conjunto S = {1, 2, ..., N}. Sea k un entero positivo y sean n1, n2, .., nk enteros positivos tales que n1 + n2 + ... + nk = N. Por una partición de S, con respecto a k y n1, n2, .., nk, nos referimos a una divición de S en k subconjuntos tales que el primer subconjunto tenga tamaño n1, el segundo n2, y así sucesivamente hasta el k – ésimo subconjunto tenga tamaño nk Para resolver este problema nos ayudaremos con N bolitas, donde trataremos de ubicarlas en k cajitas donde la capacidad de la i-ésima caja es ni.

( ) ( ) ( ) Teoría de Probabilidad . . . N bolitas . . . ... n n n + El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N . . . N bolitas . . . ... n k n 1 n 2 + = N + + N - (n + ... +n ) 1 k-1 n k ( ) ( ) N - n 1 n 2 ( ) N n 1

( ) ( ) ( ) Teoría de Probabilidad N n N - n N - (n + ... +n ) ... = N El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N No resulta complicado demostrar que ( ) N n 1 ( ) N - n 2 N - (n + ... +n ) k-1 k ( ) ... = N ! n 1 k 2 ... Que es el número de particiones de un conjunto de tamaño N, en k subconjuntos y donde cada subconjunto tiene tamaño ni, con i = 1, ..., k; y de tal forma que n1 + ... + nk = N

Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N Coeficiente multinomial Son los coeficientes de la expansión multinomial de (a1 + a2 + ... + ak)N