Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto Método Grafico. Circulo de Mohr Tutorial interactivo 3a.Parte MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Pag 11 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1: (3.1 y 3.2) Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, (3.11) sx, sy, txy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, mientras que s y t son variables. MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Por lo tanto (sx +sy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: (3.12) Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: (x-c)2 + y 2= R2 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

Por lo que la circunferencia será de radio y centro: (3.13) Construcción del circulo de Mohr 11

La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).

Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional

Método Gráfico. Circulo de Mohr Caso 1 Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar : a) Los esfuerzos componentes sx’, txy’ para q x’ = -30o b) Los esfuerzos principales normales s1, s2 . c) Su dirección y orientación d) Los esfuerzos principales cortantes t1, t2 y sn e) Su dirección y orientación sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa q x’ = -30o

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) Identificar el estado de esfuerzos Considerando el signo de acuerdo a la convención. sx = + 500MPa (T) sy = - 300MPa (c) txy = - 100MPa tyx = 100MPa 2. Representar los puntos a y b en el elemento, el a estará en la cara derecha y el b en la superior, como se indica en el dibujo. 3. El punto a y b tendrán como coordenadas: a (sx,txy) y b (sy, tyx) sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa a b tyx

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) 4. Estado de esfuerzos conocidos sx = + 500MPa (T) sy = - 300MPa (c) txy = - 100MPa tyx = 100MPa 5. Hacer una escala; dividiendo el valor mayor de todos entre 10 cm, resultando en este caso : 500MPa/10cm= escala: 50 Mpa= 1cm. 6. Pasar los puntos a y b a centímetros dividendo c/u entre la escala; Mpa = cm a (500, -100) = (10,-2) b (-300, 100) = (-6, 2). sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa a b

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) 7. Trazar los ejes s vs. t en el papel milimétrico. 8. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea. 9. Marcar el origen O y el centro C. 10.Indicar el eje X de Ca y el Y de Cb. 11. Con radio ca o cb y centro C trazar el circulo de Mohr. t Y b C s - s o a X - t

Método grafico. Circulo de Mohr 12. A partir del centro en C identificar los ejes principales. 13. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen O, activar siguiente diapositiva : Verifique estos resultados en su papel milimétrico o en su hoja cad. s Max =10.3cmx50=515MPa(+) s Min = -6.3cm x50=-315MPa t Max = 8.3cm x50= 415MPa t Min = -8.3cm x50= -415MPa sn = 2cm x50 = 100MPa

s n tmax -tmin smin smax t (s ntmax ,) Y b (s1 ,0) -s s (s2 ,0) O a X Método grafico. Circulo de Mohr sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa a b t s n (s ntmax ,) 1’ tmax Y b (s1 ,0) -s C s 2 1 (s2 ,0) 2’ O -tmin a X smin (s n ,tmin,) smax Pag 13 -t 14

Método grafico. Circulo de Mohr 14. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes Los ángulos en el circulo son el doble del valor Real y se miden a partir del eje X, considere angulos positivos en contra de las manecillas del reloj. Hágalo en su papel milimétrico o cad y Verifique estos resultados: 2q Max = +15o q 1 =+ 7.5o 2qMin = - 165º q 2 = - 82.5o 2q ’Max = + 105o q 1’ =+52.5o 2q ’Min = - 75o q 2’ = - 37.5o

X X t (s ntmax ,) Y b 2q 1’ (s1 ,0) -s s (s2 ,0) O 2q 1 a 2q 2 2q 2’ Medición de los angulos en el Circulo de Mohr sx= 500 sy = 300 txy= 100 a b Y t (s ntmax ,) X 1’ Y b 2q 1’ (s1 ,0) -s C s 2 1 (s2 ,0) 2’ O 2q 1 a 2q 2 X 2q 2’ +2q -2q X (s n ,tmin,) -t 16

15. Obtención de las componentes de esfuerzos sx’, txy’ para qx’=-30o y sus correspondientes componentes a 90o ; sy’, tyx’ . 16. Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2q trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección con el circulo será el punto cuyas coordenadas son: sx’, txy’ y a 90 o del eje X’ se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas sy’, tyx’ . Activar el procedimiento en la siguiente diapositiva. sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa q = - 30 X

s y’ y’ Y t yx’ o c t xy’ X x’ a’ Calculo de: sx’ , txy’ para q = - 30º en el circulo es el doble 2q = - 60º y para sy’ , t xy’ es q’ = -30 + 90 q’ =60º, 2q’ =120º t s y’ y’ b’ Resultado Y t yx’ b sx’ =+2.4cmx50=120MPa 2q’=120o txy’ =-6cmx50=-300 MPa 2 1 o - s c + s t xy’ 2q=-60o a x’ a’ X -t s x’