ESTADISTICA TEMA 14

Estimación para la diferencia entre dos proporciones poblacionales El gerente de una franquicia de supermercados de conveniencia quiere comparar el porcentaje de clientes que pagan con tarjeta de crédito o débito en la sucursal Lomas con el de la sucursal Centro. Para hacerlo pide realizar un muestreo aleatorio de los registros de compra de la clientela en el día anterior recabando los datos siguientes:

Número de clientes en la muestra Sucursal Número de clientes en la muestra Número de clientes que pagaron con tarjeta de crédito o débito Porcentaje muestral Centro n1=144 x1 = 89 Lomas n2=225 x2 = 145

Con los datos anteriores puede calcular una estimación puntual para la diferencia entre los porcentajes muestrales en ambas sucursales. Sin embargo sabe que este valor es sólo uno de los múltiples valores que se pueden obtener como consecuencia de la variabilidad en el muestreo, por lo que desea obtener un intervalo de confianza para esta diferencia antes de tomar decisiones.

La distribución muestral para tiene las siguientes características: Para poder realizar este intervalo, hay que definir la distribución de probabilidad para la diferencia de las proporciones y posteriormente utilizar su desviación estándar con el propósito de definir el error estándar y crear el estimador. La distribución muestral para   tiene las siguientes características: Valor Esperado Desviación Estándar Esta distribución tiene la forma normal cuando los tamaños de las muestras son grandes (n1p1, n1q1, n2p2,  y n2q2 ≥5)

Basados en esta distribución y siguiendo la secuencia de argumentación acostumbrada: Diferencia entre las proporciones poblacionales = Diferencia entre las proporciones muestrales ± margen de error El error máximo posible que se puede cometer está determinado por la dispersión de los valores de las medias muestrales y por la “confianza” que se quiera tener en el estimador.

Y el estimador para la diferencia entre las proporciones poblacionales es: En el caso de nuestro ejemplo

Por lo tanto, el intervalo de confianza está determinado por los valores: (-.0747, .1273) Como el intervalo contiene el valor de cero, esto quiere decir que con la evidencia que se tiene no se puede concluir la existencia de una diferencia significativa entre los porcentajes de clientes que pagan con tarjeta de crédito o débito en ambas sucursales.

Uso de Excel para la estimación de la diferencia entre dos proporciones poblacionales Para el caso de la diferencia entre dos proporciones poblacionales tenemos que realizar la siguiente adecuación. =

Ejercicios A continuación se tienen las encuestas de opinión sobre el servicio en dos sucursales de una franquicia de hoteles para ejecutivos. Calculen un intervalo de confianza al 95% para la diferencia que existe entre las proporciones poblacionales que califican Excelente o bien entre ambas sucursales. ¿Son suficientes estos datos para afirmar una diferencia significativa en la opinión satisfactoria en las dos sucursales? Expliquen su respuesta.

Se cree que la osteoporosis esta relacionada con el sexo Se cree que la osteoporosis esta relacionada con el sexo. Para ello se elige una muestra de 100 hombres de mas de 50 anos y una muestra de 200 mujeres en las mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombres y 40 mujeres con algún grado de osteoporosis. ¿Que podemos concluir con una confianza del 95 %? Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras de marihuana y de madres que no la fumaban: Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones   Usuaria No Usuaria Tamaño Muestral 1246 11178 Número de disfunciones 42 294 Proporción muestral 0.0337 0.0263