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INTRODUCCIÓN La Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama, en colaboración con el proyecto Título V, ha desarrollado una serie de módulos instruccionales para cursos de matemática y estadística. Un módulo instruccional es una unidad autónoma de estudio independiente diseñada para individualizar y facilitar el aprendizaje. Es una herramienta adicional que le brinda al estudiante otras opciones de estudio. El estudiante tiene la oportunidad de aprender de forma individualizada. Antes de comenzar a estudiar los módulos debes contestar la pre-prueba. Es importante que pongas interés al contestarla. Te invito a que repases los temas presentados en los módulos y de tener dudas consulta con el profesor asignado al curso.

PROPÓSITO Este módulo se propone ampliar las actividades de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a las matemáticas y la estadística, incluidos en el Proyecto Título V Cooperativo: “Fortaleciendo los logros académicos por medio de un consorcio para incorporar tecnología en el currículo básico”. El proyecto está integrado por la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo, Mayagüez y Guayama; la Escuela de Artes Plásticas de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la Universidad Interamericana.

Pruebas de Hipótesis Objetivos Cuando hallas terminado de estudiar esta unidad, estarás capacitado para: Definir que es una hipótesis y una prueba de hipótesis. Describir el procedimiento de una prueba de una hipótesis (cinco pasos). Distinguir entre las pruebas de hipótesis de una y dos colas. Realizar una prueba de hipótesis acerca de una media poblacional. Definir los errores Tipo I y Tipo II.

Pre-Prueba Prueba de Hipótesis 1. En una prueba de hipótesis, la hipótesis tentativa que se asume sea cierta es: a. la hipótesis alternativa b. la hipótesis nula c. ambas hipótesis d. determinada por el estadístico de prueba e. el estadístico de prueba 2. En una prueba de hipótesis, la hipótesis nula es rechazada cuando: a. no se llega a una conclusión b. la información acumulada es incorrecta c. la hipótesis alternativa es cierta d. el tamaño de la muestra es muy pequeño e. la hipótesis alternativa es falsa

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 3. El nivel de significancia es: a. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo II b. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo I c. igual al coeficiente de confianza d. la probabilidad de rechazar la hipótesis alternativa e. igual que el valor p 4. La probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por: a. α b. ß c. 1- α d. 1- ß e. α- ß

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 5. Cuando las hipótesis siguientes son probabilidades con un nivel de significancia, la hipótesis nula será rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≥ 100 Ha: µ < 100 a. > zα b. < zα c. <- zα d. < 100 e. > 100 6. La probabilidad de cometer un error de Tipo II se denota por: a. 1- α b. ß c. α d. 1- ß e. ß- α

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 7. Para probar las hipótesis siguientes con un nivel de significancia, la hipótesis nula es rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≤ 100 Ha: µ > 100 a. > zα b. < zα c. <- zα d. < 100 e. > 100 8. En un procedimiento de pruebas de hipótesis (α) es: a. el nivel de significancia b. el valor crítico c. el nivel de confianza d. 1 – nivel de confianza e. 1 + nivel de confianza

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 9. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es correcta? a. H0: µ < 10% Ha: µ ≥ 10% b. H0: µ ≤ 10% Ha: µ > 10% c. H0: µ > 10% Ha: µ ≤ 10% d. H0: µ = 10% Ha: µ ≠ 10% e. H0: µ ≥ 10% Ha: µ < 10% 10. Un meteorólogo expresó que la temperatura durante el pasado verano en el pueblo de Ponce fue más de 80grados. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ ≥ 80 Ha: µ < 80 b. H0: µ ≤ 80 Ha: µ > 80 c. H0: µ = 80 Ha: µ ≠ 80 d. H0: µ < 80 Ha: µ ≥ 80 e. H0: µ ≠ 80 Ha: µ = 80

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 11. Un estudiante del curso de Estadística cree que la nota promedio del examen final fue por lo menos 85%. Escogió una muestra de los estudiantes del curso que tomaron para probar su afirmación. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ = 0.85 Ha: µ > 0.85 b. H0: µ < 0.85 Ha: µ ≥ 0.85 c. H0: µ ≥ 0.85 Ha: µ < 0.85 d. H0: µ ≤ 0.85 Ha: µ > 0.85 e. H0: µ > 0.85 Ha: µ ≤ 0.85 12. El Decano de Administración de una Universidad piensa que por lo menos el 35% de los estudiantes regulares toman clases en verano. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ > 0.35 Ha: µ ≤ 0.35 b. H0: µ ≤ 0.35 Ha: µ > 0.35 c. H0: µ ≥ 0.35 Ha: µ < 0.35 d. H0: µ = 0.35 Ha: µ > 0.35 e. H0: µ = 0.35 Ha: µ ≠ 0.35

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 13. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es igual a: a. 1- α b. α- ß c. 1- ß d. α e. ß 14. La hipótesis nula: a. es una afirmación sobre un parámetro de una población b. siempre contiene el signo de igualdad c. no incluye valores menores que 0 d. no contiene signo de igualdad e. la a y la b son correctas

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 15. La hipótesis alternativa: a. es aceptada cuando la hipótesis nula es rechazada b. siempre contiene el signo de igualdad c. es aceptada cuando la hipótesis nula es falsa d. la a y la c son correctas e. no contiene signo de igualdad 16. Se comete un error de Tipo I cuando: a. es correcta la decisión b. es igual al valor crítico c. se acepta la hipótesis nula cuando es falsa d. el error es determinado por el estadístico de prueba e. cuando la hipótesis nula es rechazada siendo cierta

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 17. El valor crítico es: a. calculado por la información de la muestra b. el nivel de significancia c. el punto que divide la región de rechazo de la no rechazo d. igual a la hipótesis nula e. la a y la d son correctas 18. Un error de Tipo II ocurre cuando: a. hemos aceptado la H0 siendo falsa b. hemos rechazado la Ha siendo cierta c. hemos rechazado la H0 siendo falsa d. hemos aceptado la Ha siendo falsa e. hemos rechazado H0 siendo cierta

Cont. Pre-Prueba Prueba Hipótesis 19. Error que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera: a. error de Tipo II b. error de Tipo I c. error con la información d. cuando ocurren ambos errores e. cuando la información está incompleta 20. El año pasado, el 75% de los turista que vinieron a Puerto Rico, visitaban la capital, San Juan. El alcalde de esa ciudad emprendió una campaña de promoción agresiva con el propósito de aumentar el por ciento de turistas que visitan la capital. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?: a. H0: µ > 0.75 Ha: µ ≤ 0.75 b. H0: µ < 0.75 Ha: µ ≥ 0.75 c. H0: µ ≥ 0.75 Ha: µ < 0.75 d. H0: µ = 0.75 Ha: µ ≠ 0.75 e. H0: µ ≤ 0.75 Ha: µ > 0.75 Clave Pre-prueba

Una hipótesis es una afirmación o declaración acerca de un parámetro de la población. ¿Qué es una Hipótesis? Ejemplo 1:El 90% de los jóvenes que pasan el mayor tiempo conectados a una computadora padecen de problemas musculares. Ejemplo 2: El tiempo promedio de vida de una persona que fuma es de 55 años.

Tipos de Hipótesis Hipótesis nula representada por (Ho) – es la que se formula y se quiere probar. Se asume como correcta hasta tanto la evidencia compruebe lo contrario. Comienza con el supuesto de que es cierta. Ej. El promedio de las notas de los estudiantes de estadística es de 3.00 Ej. Ho: μ=3

Tipos de Hipótesis Hipótesis alternativa representada por Ha. Es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos muéstrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula Ho es falsa. Ej. Ha≠3

Basada en la evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad Prueba de Hipótesis Prueba de hipótesis – procedimiento basado en la información obtenida de la muestra y en la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Basada en la evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad

PASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS Paso 1: Establezca las hipótesis nula y alternativa. Paso 2: Seleccione el nivel de significancia. Paso 3: Identifique el estadístico prueba. Paso 4: Formule regla de decisión. Paso 5: Tomar una muestra y llegar a una decisión: No rechazar la Hipótesis nula Rechazar la nula y aceptar alternativa

Hipótesis Alternativa H1: Paso 1: Establecer las hipótesis nula y la alternativa Hipótesis nula H0 Es una declaración acerca del valor de un parámetro de la población. Hipótesis Alternativa H1: Es una declaración que se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Paso 1: Establecer las hipótesis nula y la alternativa H0: m = 0 H1: m = 0 Una prueba de hipótesis tomando los valores de los datos de la media de la población (μ) debe asumir una de estas tres formas H0: m < 0 H1: m > 0 La hipótesis nula siempre contiene la igualdad. H0: m > 0 H1: m < 0

Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia Error Tipo I Rechazar hipótesis nula cuando es cierta (a). La probabilidad de rechazar la hipótesis cuando esta es cierta Error Tipo II Aceptar hipótesis nula cuando es falsa (b).

Nivel de Significancia Nivel de significancia – se define como la probabilidad máxima de cometer un error de Tipo I. Los niveles de significancia que se utilizan con mayor frecuencia son 0.01, 0.05 y 0.10, pero cualquier valor entre 0 y 1.00 es posible. Si los datos de la muestra son consistentes con la Hipótesis nula (Ho), se adapta la práctica de llegar a la conclusión de “no rechazar Ho”. Es preferible esta conclusión en lugar de “aceptar la Ho”, porque si se acepta Ho, se corre el riesgo de cometer un error de Tipo II.

ERROR TIPO I QUE PUEDE OCURRIR EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS Un error Tipo I ocurre cuando una hipótesis nula es verdadera y se rechaza. La probabilidad de cometer un error Tipo es igual al nivel de significancia. Esta probabilidad se designa con la letra griega α (Alfa).

ERROR TIPO II QUE PUEDE OCURRIR EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS Un error Tipo II ocurre cuando una hipótesis nula es falsa y aceptada. La probabilidad de cometer un error Tipo II se designa con la letra griega ß (Beta). La probabilidad de cometer un error Tipo II se encuentra mediante la siguiente fórmula:

Paso 2: Seleccionar el nivel de Significancia Investigador Hipótesis Aceptar Rechazar nula Ho Ho Ho es cierta Ho es falsa Decisión correcta Error Tipo I (a) Tipo II (b)

Paso 3: Determinar el estadístico de prueba El valor z se basa en la distribución del muestreo de X que sigue la distribución normal cuando la muestra es razonablemente grande. El estadístico de prueba se determina mediante la fórmula siguiente: Estadístico de prueba Valor determinado a partir de la información de la muestra, que se usa para determinar si se va a rechazar la hipótesis nula.

Paso 4: Formular la regla de decisión. Valor Crítico: Es el punto que divide la región donde la hipótesis nula es rechazada y de aquella donde no se rechaza.

Paso 5: Tomar una decisión El último paso en una prueba de Hipótesis es luego de calcular el estadístico de la prueba, se compara con el valor crítico para tomar la decisión de rechazar o no la Hipótesis nula. Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa con base en la información de la muestra.

Paso 5: Tomar la decisión ACEPTAR H0

Usando el Valor-p en una Prueba de Hipótesis Otro método que se puede usar para sacar una conclusión de la prueba de hipótesis se basa en una probabilidad llamada valor p. Asumir que la hipótesis nula es verdadera, el valor-p es la probabilidad de encontrar un valor de la estadística de prueba tan improbable como el que se observa o computado para la prueba. Valor-p Regla de Decision Si el Valor-p es mayor o igual que el nivel de significancia (a), H0 no se rechaza. Si el Valor-p es menor que el nivel de significancia (a), H0 se rechaza. Usando el Valor-p en una Prueba de Hipótesis

Ejemplo de una prueba de hipótesis bilateral de (dos colas) La etiqueta de una botella de “Fríe’ ketchup” dice que el envase contiene 16 onzas de “ketchup”. Suponga que deseamos comprobar esta aseveración mediante una prueba de hipótesis. Se tomó una muestra de 36 botellas que reveló un peso promedio de 16.32 onzas por botella. La desviación típica del proceso es 0.5 onzas y el nivel de significancia es de .05. ¿podemos concluir que el promedio por botella es diferente de 16 onzas?. Compruebe Ejemplo de una prueba de hipótesis bilateral de (dos colas)

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO H0: m = 16 H1: m = 16 Paso 1: Establecer las Hipótesis Paso 2: Seleccionar el Nivel de Significancia α = 0.05 Paso 3: Determinar el Estadístico de Prueba Paso 4: Formular la regla de decisión o de rechazo H0: m = 16 H1: m = 16

¿Cómo se selecciona el nivel de significancia? Si el nivel de significancia α = .05, significa que existe un 95% de probabilidad de cometer un error de Tipo I. Una prueba bilateral (de dos colas) el nivel de significancia se divide por 2. (.05/2)

CONTINUACIÓN Estadístico de Prueba Regla de rechazo Paso 4: Formular la regla de decisión o de rechazo Regla de rechazo Rechazar H0 si z < -1.96 ó z > 1.96 Paso 5: Tomar la Decisión No rechazar la Hipótesis nula (Ho) o Rechazar la nula y aceptar alternativa (Ha)

¿Cómo se determina la regla de rechazo? En el ejemplo que estamos solucionando, se rechaza la Ho si z es menor que -1.96 ó z mayor que 1.96. La regla de rechazo se obtiene dividiendo el nivel de significancia (.95/2) = 0.4750. Con el 0.4750 se busca el valor z en la “Tabla de Áreas, o Probabilidades, para la Distribución Normal Estándar”. Al buscar en la tabla de adentro hacia fuera obtenemos que z = 1.96. Regla de rechazo Rechazar H0 si z < -1.96 ó z > 1.96

Presentación Gráfica del Área de Rechazo y no Rechazo Asumiendo que H0 es cierta y  =16 onzas Rechazar H0 Rechazar H0 Área de no Rechazo H0   z -1.96 1.96 Ejemplo 1

CONTINUACIÓN En el ejemplo presentado como el valor de z = 2.19 (valor crítico), es mayor que los valores de la región de rechazo, por lo tanto no se rechaza la Ho. Se concluye que el envase de contiene 16 onzas. Conclusión

Pos-Prueba Prueba Hipótesis 1. El año pasado, el 75% de los turista que vinieron a Puerto Rico, visitaban la capital, San Juan. El alcalde de esa ciudad emprendió una campaña de promoción agresiva con el propósito de aumentar el por ciento de turistas que visitan la capital. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta?: a. H0: µ > 0.75 Ha: µ ≤ 0.75 b. H0: µ < 0.75 Ha: µ ≥ 0.75 c. H0: µ ≥ 0.75 Ha: µ < 0.75 d. H0: µ = 0.75 Ha: µ ≠ 0.75 e. H0: µ ≤ 0.75 Ha: µ > 0.75 2. Error que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera: a. error de Tipo II b. error de Tipo I c. error con la información d. cuando ocurren ambos errores e. cuando la información está incompleta

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 3. El nivel de significancia es: a. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo II b. es la probabilidad admisible de cometer un error de Tipo I c. igual al coeficiente de confianza d. la probabilidad de rechazar la hipótesis alternativa e. igual que el valor p 4. La probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por: a. α b. ß c. 1- α d. 1- ß e. α- ß

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 5. Cuando las hipótesis siguientes son probabilidades con un nivel de significancia, la hipótesis nula será rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≥ 100 Ha: µ < 100 a. > zα b. < zα c. <- zα d. < 100 e. > 100 6. La probabilidad de cometer un error de Tipo II se denota por: a. 1- α b. ß c. α d. 1- ß e. ß- α

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 7. Para probar las hipótesis siguientes con un nivel de significancia, la hipótesis nula es rechazada si en el estadístico de prueba z es: H0:µ ≤ 100 Ha: µ > 100 a. > zα b. < zα c. <- zα d. < 100 e. > 100 8. En un procedimiento de pruebas de hipótesis (α) es: a. el nivel de significancia b. el valor crítico c. el nivel de confianza d. 1 – nivel de confianza e. 1 + nivel de confianza

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 9. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es correcta?: a. H0: µ < 10% Ha: µ ≥ 10% b. H0: µ ≤ 10% Ha: µ > 10% c. H0: µ > 10% Ha: µ ≤ 10% d. H0: µ = 10% Ha: µ ≠ 10% e. H0: µ ≥ 10% Ha: µ < 10% 10. Un meteorólogo expresó que la temperatura durante el pasado verano en el pueblo de Ponce fue más de 80grados. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ ≥ 80 Ha: µ < 80 b. H0: µ ≤ 80 Ha: µ > 80 c. H0: µ = 80 Ha: µ ≠ 80 d. H0: µ < 80 Ha: µ ≥ 80 e. H0: µ ≠ 80 Ha: µ = 80

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 11. Un estudiante del curso de Estadística cree que la nota promedio del examen final fue por lo menos 85%. Escogió una muestra de los estudiantes del curso que tomaron para probar su afirmación. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ = 0.85 Ha: µ > 0.85 b. H0: µ < 0.85 Ha: µ ≥ 0.85 c. H0: µ ≥ 0.85 Ha: µ < 0.85 d. H0: µ ≤ 0.85 Ha: µ > 0.85 e. H0: µ > 0.85 Ha: µ ≤ 0.85 12. El Decano de Administración de una Universidad piensa que por lo menos el 35% de los estudiantes regulares toman clases en verano. ¿Cuál de las siguientes hipótesis es la correcta? a. H0: µ > 0.35 Ha: µ ≤ 0.35 b. H0: µ ≤ 0.35 Ha: µ > 0.35 c. H0: µ ≥ 0.35 Ha: µ < 0.35 d. H0: µ = 0.35 Ha: µ > 0.35 e. H0: µ = 0.35 Ha: µ ≠ 0.35

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 13. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es igual a: a. 1- α b. α- ß c. 1- ß d. α e. ß 14. La hipótesis nula: a. es una afirmación sobre un parámetro de una población b. siempre contiene el signo de igualdad c. no incluye valores menores que 0 d. no contiene signo de igualdad e. la a y la b son correctas

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 15. La hipótesis alternativa: a. es aceptada cuando la hipótesis nula es rechazada b. siempre contiene el signo de igualdad c. es aceptada cuando la hipótesis nula es falsa d. la a y la c son correctas e. no contiene signo de igualdad 16. Se comete un error de Tipo I cuando: a. es correcta la decisión b. es igual al valor crítico c. se acepta la hipótesis nula cuando es falsa d. el error es determinado por el estadístico de prueba e. cuando la hipótesis nula es rechazada siendo cierta

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 17. El valor crítico es: a. calculado por la información de la muestra b. el nivel de significancia c. el punto que divide la región de rechazo de la no rechazo d. igual a la hipótesis nula e. la a y la d son correctas 18. Un error de Tipo II ocurre cuando: a. hemos aceptado la H0 siendo falsa b. hemos rechazado la Ha siendo cierta c. hemos rechazado la H0 siendo falsa d. hemos aceptado la Ha siendo falsa e. hemos rechazado H0 siendo cierta

Cont. Pos-Prueba Prueba Hipótesis 19. En una prueba de hipótesis, la hipótesis nula es rechazada cuando: a. no se llega a una conclusión b. la información acumulada es incorrecta c. la hipótesis alternativa es cierta d. el tamaño de la muestra es muy pequeño e. la hipótesis alternativa es falsa 20. En una prueba de hipótesis, la hipótesis tentativa que se asume sea cierta es: a. la hipótesis alternativa b. la hipótesis nula c. ambas hipótesis d. determinada por el estadístico de prueba e. el estadístico de prueba Clave Pos-prueba

BIBLIOGRAFÍA Anderson, Sweeney, Williams (2004). Estadística para administración y economía . (8ª ed.). México: International Thomson. Triola, M.F. (2006). Estadística. (9ª ed). México: Addison Wesley

Clave Pre-prueba 1. B 11. C 2. C 12. B 3. B 13. C 4. A 14. E 5. B 15. D 6. B 16. E 7. A 17. C 8. A 18. A 9. E 19. B 10. A 20. E

Clave Pos-prueba 1. E 11. C 2. B 12. B 3. B 13. C 4. A 14. E 5. B 15. D 6. B 16. E 7. A 17. C 8. A 18. A 9. E 19. C 10. A 20. B