PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivos Captar la idea de la programación lineal y sus posibilidades de aplicación a problemas prácticos. Saber plantear un problema de programación lineal partiendo de su enunciado en términos generales. Conocer y valorar el origen de la programación lineal y su influencia en la historia. Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: función objetivo, restricciones, región factible, etc...

Conocimientos previos: Competencias: El alumno utilizando correctamente la resolución de ecuaciones e inecuaciones será capaz de maximizar beneficios y minimizar pérdidas. Conocimientos previos: Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones de 1er grado con dos variables Funciones lineales

Breve Reseña Histórica 1776 Gaspar Monge 1939 Leonid V. Kantorovitch publica Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción. 1941-1942 Problema de transporte Post Guerra: EE.UU. Proyecto SCOOP Uso de la Programación Lineal para administrar energía y recursos de la Nación. 1947 Dantzig y el Método Simplex El nombre de PL procede del término militar “programar” = realizar planes de tiempo para el entrenamiento o despliegue.

¿Qué es la Programación Lineal? Es un método que se utiliza en la resolución de problemas donde se plantea optimizar el uso de ciertos recursos que se disponen para maximizar utilidades, beneficios, ingresos, eficiencia o minimizar costos, perjuicios, egresos, etc.

¿Qué es un Problema de programación lineal? Definición: Es una técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate. En sí, se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la  siguiente situación: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Debe cumplir con: 1. La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes. 2. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales.

3. La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no acotado y vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique todas las restricciones al mismo tiempo. Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisface las restricciones, que a su vez pueden ser: Con solución única: La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo   Con solución múltiple: si existe mas de una solución, la función objetivo es paralela a una de las restricciones. Con solución no acotada: Cuando no existe límite para la función objetivo, En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución. 4. No Factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.

Importancia de la programación lineal La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.

Algunos Ejemplos: Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; Solución de problemas de transporte.

Ejemplo 1 Gerardito es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga Lps. 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga Lps. 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

DEFINICIONES Cantidades desconocidas Variables Función Objetivo Es la que se desea maximizar o minimizar Z=ax+by+c Solución Optima Es una solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo Restricciones Son las inecuaciones lineales que limitan la región factible Solución Factible Es cualquier punto situado en la región factible Región Factible Es el polígono convexo formado al resolver gráficamente el Sistema de Inecuaciones

Planteamiento del Ejemplo 1 Paso 1 (Variables decisorias) Sea x el número de impresos A Sea y el número de impresos B Paso 2 (Construcción de la función objetivo) El objetivo es maximizar la función f(x,y) = z = 5x + 7y Paso 3 (Restricciones) Máximo de Impresos A igual 120  x ≤ 120 Máximo de Impresos B igual 100  y ≤ 100 150 impresos como máx.  x + y ≤ 150, x ≥ 0 , y ≥ 0

Esquema de Solución del Ejemplo 1 x: numero de impresos A (variable) y: número de impresos B (variable) Maximizar z = 5x + 7y (Función objetivo) Sujeto a: x ≤ 120 (restricción 1) y ≤ 100 (restricción 2) x + y ≤ 150 (restricción 3) con: x ≥ 0 , y ≥ 0

Representación gráfica de la Región Factible

Evaluando los vértices Los vértices de la región factible (0;0); (0;100); (50;100); (120;30) y (120;0) Vértice (x ; y) z = 5x + 7y (0 ; 0) (0 ; 100) 700 (50 ; 100) 950 (120 ; 30) 810 (120 ; 0) 600 Solución Optima Respuesta: Para maximizar la ganancia se debe repartir 50 impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN Identificar las variables, la función objetivo y las restricciones. Graficar el sistema de desigualdades lineales que forman las restricciones e identificar la región factible. Determinar los vértices de la región factible. Completar una tabla de valores para la función objetivo utilizando todos los vértices. Si se va a maximizar (o minimizar), el valor más grande (o pequeño) es una solución optima. Interpretar los resultados.

Problema 1 Solución: Maximizar z = 5x + 2y (Función objetivo) Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 2. ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? Solución: Maximizar z = 5x + 2y (Función objetivo) Sujeto a: x+ y ≥ 1 (restricción 1) x ≤ 3 (restricción 2) y ≤ 2 (restricción 3) con: x ≥ 0 , y ≥ 0

Respuesta: La función Z es máxima para el vértice (3,2), que es 19

Problema 2 Solución: Maximizar z = x-3y (Función objetivo) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y  ≤  10; x + y ≥ 2; x  ≤  8; x ≥ 0; y ≥ 0 Hallar el mínimo de F(x,y) = x – 3y Solución: Maximizar z = x-3y (Función objetivo) Sujeto a: x+ 2y ≤ 10 (restricción 1) x +y ≥ 2 (restricción 2) x ≤ 8 (restricción 3) con: x ≥ 0 , y ≥ 0

Respuesta: El mínimo se alcanza en (0,5) y es - 15

Problema 3 En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen S/. 4.50 y las halógenas S/. 6.00. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? Solución: x: numero de bombillas tipo normal(variable) y: número de bombillas halógenas(variable) Maximizar z = 4.50x + 6.00y (Función objetivo) Sujeto a: x+ y ≤ 500 (restricción 1) x ≤ 400 (restricción 2) y ≤ 300 (restricción 3) con: x ≥ 0 , y ≥ 0

Respuesta: Se deben producir 200 bombillas normales y 300 halógenas