Capítulo 9 Modelos de Espera Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Introducción Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema. Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema Simulación/2002 Héctor Allende

Ejemplos de Líneas de Espera Redes de Comunicaciones y Computadores Tareas en un Computador Cajas en Supermercado o Bancos Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M) Líneas de Producción e Inventario Talleres de Reparación Hospitales Estaciones de Bomberos Sistemas de Distribución o Logísticos Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Introducción Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y las llegadas de las transacciones al sistema. Debido a que las variables están fuera del control del tomador de decisiones, será necesario realizar el modelado utilizando procesos estocásticos. Simulación/2002 Héctor Allende

de Servicio y vuelven a la Simulación/2002 Héctor Allende Esquema Líneas de Espera Clientes que entran al Sistema de Servicio y Esperan ser Atendidos Instalaciones de Servicio Población o Fuente de Entrada de Clientes Al Sistema Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio y vuelven a la Población SISTEMA Algunos Clientes pueden no entrar al sistema de Servicio Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Definición Básica Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado. El conjunto de valores que puede tomar dicha variable es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN } Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Objetivo del Estudio Determinar el nivel de desempeño del sistema: Cantidad de entidades presente Velocidad del Servicio en el sistema Interesa minimizar el costo total del sistema Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del sistema. Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los salarios, energía, mantención, etc. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Objetivo del estudio Matemáticamente : Min {Ct} = Ce S + C q Lq donde S = 1,2,3,4......... Lq= f {S,E(t),.......} Donde: S: Número de entidades que proporcionan servicio. E(t): tiempo promedio de Servicio. Lq: : Número de transacciones en espera. Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo. Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo. Ct : Costo total por unidad de tiempo Simulación/2002 Héctor Allende

Optimización de Costos Simulación/2002 Héctor Allende No. de Servidores Costo de servicio Ce.S Ct Costo de espera Cq.Lq $/tiempo Ct mínimo S* Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Líneas de Espera (LE) Los modelos de LE nos permitirán estudiar este tipo de fenómeno y determinar: Tiempo de Espera Promedio de los Clientes Largo Promedio de la LE Factor de Utilización de Servidores Distribución Tiempos de Espera (Difícil) Tiempos Ociosos Eficiencia del Sistema Pérdidas de Clientes Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Elementos Básicos de M-LE Población: Fuente de Entradas Tamaño Poblacional: Infinito ; Finito Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada Patrón de Salidas : Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la LE. Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias etc. Simulación/2002 Héctor Allende

Estructura General Sistema Espera Simulación/2002 Héctor Allende Servidores en paralelo Entrada al Sistema Salida del Sistema Fila Fuente de Transacciones potenciales Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Estructura Los elementos básicos constituyentes de un sistema de espera son los siguientes: Servidor Fila o Cola Transacciones Potenciales Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Servidor Representa el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Sus principales características son: La Cantidad asignada a cada fila existente en el sistema. La distribución de probabilidad del Tiempo de Atención a las transacciones o (Velocidad de Servicio) Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Fila Es el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Sus principales características son: Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema. De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas. Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la fila para su atención. Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc. Forma de salir : como sale de la fila mediante el proceso de servicio mediante factores de abandono : insatisfacción, desesperación, etc. Simulación/2002 Héctor Allende

Transacciones Potenciales Simulación/2002 Héctor Allende Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema. Sus principales características son: El Tamaño del conjunto de potencial de clientes. La distribución de probabilidad del Tiempo entre llegadas o tasa de entrada promedio. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Nomenclatura S número de servidores n número de clientes en el sistema N número máximo de clientes permitidos en el sistema n flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema n capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema E(t) tiempo promedio de proceso por cliente V(t) varianza del tiempo de proceso E(a) tiempo promedio entre llegadas V(a) varianza del tiempo entre llegada Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema. Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio. Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Nomenclatura pii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j después de un intervalo de tiempo Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L Número promedio de clientes en el sistema Lq Número promedio de clientes en la fila W Tiempo promedio de permanencia en el sistema Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila  Factor de utilización promedio del servicio Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo Simulación/2002 Héctor Allende

Clasificación de Kendall y Lee Simulación/2002 Héctor Allende Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos. El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f) Simulación/2002 Héctor Allende

Clasificación de Kendall y Lee Simulación/2002 Héctor Allende Donde a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio. Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D : constante Ek: distribución Erlang con parámetro k G : cualquier tipo de distribución GI: distribución general independiente H : distribución hiperexponencial M : distribución exponencial Simulación/2002 Héctor Allende

Clasificación de Kendall y Lee Simulación/2002 Héctor Allende c número de servidores d orden de atención de los clientes Símbolos utilizados en este campo son: FIFO : primeras entradas, primeros servicios LIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorio PR : con base en prioridades GD : en forma general e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplos Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común. Simulación/2002 Héctor Allende

Clasificación de Kendall y Lee Simulación/2002 Héctor Allende Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente. Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita. Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribución. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Clasificación de Kendall y Lee Mediante cadenas de Markov de estado finito Mediante el factor de corrección K (G/G/1) (FCFS/ / ) Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine (M/G/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (d/N/f) (M/M/1) (FCFS/N/) (M/M/1) (FCFS/N/N) (M/M/S) (FCFS/N/) (M/M/S) (FCFS/N/N) Mediante cadenas de Markov y series geométricas (M/M/S) (d/  / ) (M/M/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (FCFS/  / ) Mediante el cálculo de límite superior (G/G/S) ( FCFS //) Mediante fórmulas generales Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Medidas de desempeño Medidas de desempeño: Utilización de Servicio Tasa de entrada Promedio Número Promedio de Clientes en el sistema Número promedio de Clientes en la fila Tiempo promedio de espera en el sistema Tiempo promedio de espera en la fila Coeficiente cuadrado de variación Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones Generales Utilización de Servicio Tasa de entrada Promedio Número Promedio de clientes en el sistema Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones Generales Número promedio de clientes en la fila Tiempo Promedio de espera en el sistema Tiempo promedio de espera en la fila Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones Generales Coeficiente cuadrado de variación Tiempo entre llegadas Tiempo de servicio Tiempo entre salidas del servicio Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos El proceso estocástico asociado a una línea de espera tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Las probabilidades condicionales deben cumplir con Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento Probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transición( del estado i al estado j) de un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición de acuerdo con Simulación/2002 Héctor Allende

Matriz de probabilidades a un paso Simulación/2002 Héctor Allende Estado Futuro 0 1 2 . . . N 1 2 . . . N Estado Actual Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones independientes y una ecuación redundante que debe ser eliminada. Simulación/2002 Héctor Allende

Matriz de probabilidades Simulación/2002 Héctor Allende La solución a este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentra el sistema inicialmente. Estado Futuro 0 1 2 . . . N 1 2 . . . N Estado Actual Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplo Datos del ejemplo: Consultorio de Salud Número total de observaciones del SM: 73 Intervalo entre observación: 5 Minutos Tabla de relaciones existente entre datos Estado Futuro 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Estado Actual Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplo La matriz anterior se explica como: De las 73 observaciones, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a los estados 3 y 4. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplo Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso: Estado Futuro 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Estado Actual Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplo Donde claramente Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ejemplo Resolviendo el sistema de ecuaciones Número promedio de transacciones en la cola Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos Característica principal: Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: sigue una ley Poisson. Para un intervalo de tiempo t esta dado por: Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos Condiciones que se deben cumplir Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t. Solamente puede ocurrir una salida entre t y t. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t. Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo al ocurrir una llegada. Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se produce una salida. Simulación/2002 Héctor Allende

Matriz de probabilidad a un paso Simulación/2002 Héctor Allende Estado Futuro 0 1 2 3 . . . N-1 N 1 2 3 . N-1 N Estado Actual Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Procesos Markovianos Lo cual conduce a: Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones de Balance De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones de Balance Sustituyendo se obtiene Resolviendo el sistema Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Ecuaciones de Balance Generalizando Finalmente se obtiene Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Elementos Básicos de LE Cola de Espera Infinita Finita : Tamaño Máximo Instalaciones de Servicio Número Instalaciones Disposición Instalaciones de Servicio En Serie En Paralelo Redes de Servidores Distribución Tiempos de Servicio Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Elementos Básicos de LE Disciplina de Servicio LIFO Aleatorio FIFO Asignación de Prioridades A continuación realizaremos las definiciones de las cantidades que permitirán el estudio del comportamiento de un sistema de LE. Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Definiciones Elementales N(t): Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en el sistema se encuentren n clientes en el instante t ln(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t mn(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el instante t S : número de servidores o estaciones de servicio de las instalaciones de servicio del sistema Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Definiciones y Cálculos Elementales ln :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el sistema mn :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario cuando hay n clientes en el sistema bi : Probabilidad que existan i servidores ocupados b0 = P0 si hay cero servidor ocupado, entonces hay cero clientes en el sistema bi = Pi probabilidad que existan i, i < s, servidores ocupados, es igual a que existan i clientes en el sistema bs = Pn probabilidad que existan s servidores ocupados, es igual a que existan s o más clientes en el sistema 8  n=s Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Definiciones y Cálculos Elementales B Número Esperado de Servidores ocupados en un instante cualesquiera B = i * b i esto resulta ser también al número esperado siendo atendidos en un instante dado cualquiera Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema, en cualquier instante Ls = n Pn  i=0 8 [Servidores]  n=0 8 [Clientes] Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Cálculos Elementales qj Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola, en un instante dado q0 = Pn Probabilidad que existan cero clientes haciendo Cola; e.o.p., que existan s o menos clientes en el sistema qj = Ps+j j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola. Lq Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier instante. (no incluye a los que están siendo atendidos) Lq= j q j Lq = (n-1)Pn  j=0 8  n=s+1 8 [Clientes] Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Definiciones y Cálculos Elementales U Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio U = l Tasa Promedio de Llegada de Clientes l = ln Pn R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan: entran y salen del sistema. El número promedio de servicios completados por unidad de tiempo. R = l B s  n=0 8 [Clientes] [Tiempo] [Clientes] [Tiempo] Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Definiciones y Cálculos Elementales m Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa de atención del sistema es menor) m = mn bn n  s Ws tiempo esperado que un cliente cualquiera estará en el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él. Ws = Wq Tiempo promedio que un Cliente esperará antes de ser atendido Wq = s  n=1 Ls l Lq l Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Medidas de Desempeño Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema Ls = nPn Lq Número Esperado de Clientes en la cola Lq = (n-s)Pn Ws Tiempo Estimado de Espera en el Sistema Ls = l Ws l Tasa Estimada de Llegada de Clientes l = lnPn   n=0   n=s+1   n=0 Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende LE : Medidas de Desempeño Relación Tiempos de Espera Ws = Wq + 1 / m Relación Número Esperado de Clientes Ls = Lq + l / m Número Esperado de Servidores Ocupados B = Ls - Lq = l / m Tasa Esperada de Utilización de los Servidores U = m / s Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Notación en LE DISCIPLINA DE SERVICIO DG , FIFO , LIFO RAND, PRI PATRON de LLEGADAS M: Markoviano G : General E : Erlang TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita 8 X X , x , X , X, X PATRON del SERVICIO M: Markoviano G : General E: Erlang NUMERO SERVIDORES 1: un servidor s: s servidores en paralelo TAMAÑO COLA : Infinita K : Finita 8 Simulación/2002 Héctor Allende

Notación en L.E. : Distribuciones Llegadas y Salidas M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poisson o Markoviana. (Distribución Exponencial de tiempos de servicio) D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma de parámetro k entre llegadas o de servicio GI : Distribución de Llegadas General Independiente (o tiempo entre llegadas) G : Distribución de Salidas General (o tiempo de servicio) Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Estudio de L.E. Todas las definiciones y ecuaciones anteriores, junto con suposiciones acerca de las distribuciones de llegada y salida nos permitirán realizar el estudio de un sistema de l.e. en el régimen transiente. Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el primer paso el cálculo de Pn como función de n y n y así sucesivamente hasta lograr calcular todas las medidas de desempeño definidas antes. La deducción de una expresión para Pn se logra en base al diagrama de tasas de transición. Simulación/2002 Héctor Allende

Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada n-1 n+1 ln-1 mn n ln mn+1 ... Se obtiene la ecuación de equilibrio: n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en base a Diagramas Tasas de Transición A continuación ejemplificaremos el proceso de cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4 tipos de sistemas de colas definidas por tasas de llegadas y tiempos de atención poissonianos: M / M / 1 / DG / /  M / M / s / DG /  /  M / M / 1 / DG / P /  M / M / 1 / DG /  / K Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende M / M / 1 / DG / /  : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita 1 2 4 n lDt l mDt m 3 ....... .... Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende M / M / s / DG /  /  : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita lDt l l l l l l l .... .... .... 1 2 s-1 s s+1 n 1mDt 2m (s-1)m sm sm sm sm sm Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende M / M / 1 / DG / P /  : markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita Pl (P-1)l (P-2)l (P-n+1)l (P-n)l l .... .... 1 2 3 n P m m m m m m m Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende M / M / 1 / DG /  / K : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita l l l l l l .... .... 1 2 3 n K m m m m m m m Simulación/2002 Héctor Allende

Simulación/2002 Héctor Allende Estudio de otros ME Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros ejemplos de Poisson o Markovianos de interés: M / M / s / DG /  / K M / M / s / DG / P /  Caso Finito: M / M / s / DG / P /  s  P Autoservicio: M / M /  / DG /  /  Modelo de Servicio de Máquinas: M / M / s / DG / P / P s  P Simulación/2002 Héctor Allende