Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones Probabilidad Básica Capítulo 4

Objetivos de Aprendizaje 1. Definir Probabilidad, Eventos y Espacio Muestral 2. Explicar Cómo Asignar Probabilidades y Usar las Reglas de Probabilidad As a result of this class, you will be able to ...

Definiciones Probabilidad: es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que un evento en particular ocurra. El valor numérico de la probabilidad es una proporción que o fracción cuyo valor varía entre Cero (0) y Uno (1) inclusive. Cuando calculamos el valor numérico obtenemos un decimal y luego la expresamos en porciento. Por ejemplo, si obtenemos que el cálculo es .15 podemos hablar de un 15 % de probabilidad relacionada a un evento en particular.

¿ Qué es Probabilidad? 1. Valor numérico de la posibilidad de que un 1 evento va a ocurrir Evento Simple Evento Conjunto Evento Compuesto 2. Está entre 0 & 1 La suma de los eventos es 1 1 Seguro .5 Imposible

P(x) = Definición Matemática de Probabilidad X= número de formas en la que el evento ocurre T = número total de resultados posibles

Definiciones (cont…) Evento: es una colección de uno o más ej’s resultados considerados como un grupo. ej’s Que una criatura sea varón o hembra Que gane el partido X o Y la serie mundial Que en los próximos dos exámenes obtengas una nota de A

Definiciones (cont…) Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (un evento imposible) tiene una probabilidad de Cero (0). Un evento que ocurrirá con toda seguridad (un evento seguro) tiene una probabilidad de uno (1).

Definiciones (cont…) Existen tres aproximaciones sujetas a la probabilidad: probabilidad clásica a priori probabilidad clásica empírica probabildad subjetiva

Definiciones (cont…) En una probabilidad clásica a priori, la probabildad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. Ej., Un dado tiene seis caras con un número (1,2,3,4,5 y 6) en cada una. Por lo tanto T = 6 y la probabilidad de que salga el cinco al rodar el dado X = 5 es P(5) = 1/6 = .1666 = 16.66%

Definiciones (cont…) Probabilidad clásica empírica: los resultados se basan en datos observados, no en un conocimiento previo del proceso. Por ejemplo, si en una encuesta de 1000 individuos sobre género predominante en un recinto, 750 son hembras y 250 son varones, entonces la probabilidad empírica de un varón es 25/1000= .25 o un 25%.

Definiciones (cont…) Probabilidad subjetiva: varía de persona a persona. Es asignada. La asignación de perobabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa en una combinación de experiencias pasadas del individuo,la opinión personal y el análisis de una situación particular. Por ejemplo, un gerente de Recursos Humanos puede decir que hay un 75% de probabilidad de huelga y otro decir que hay un 30% basado en lo que han observado durante las negociaciones laborales.

Eventos y Espacio Muestral 1. Evento Simple Evento con una característica 2. Evento Conjunto Evento con dos o más características Espacio Muestral Colección Completa de todos Eventos Posibles

Evento Simple A: Mujer B: Menor de 20, < 20 años C: Tiene 3 Tarjetas D: Una Baraja roja de un mazo (“deck”) de barajas (naipes) E: El “As” de un mazo (“deck”) de barajas (naipes)

Evento Conjunto A y B, : Mujer, menor de 20 años D y E, : Rojo, As de un mazo (“deck) de cartas

Evento Compuesto D o E: As o Baraja Roja de un mazo (“deck”) de naipes

Propiedades de Eventos 1. Mutuamente Excluyentes 2 Eventos que No Pueden Ocurrir al Mismo Tiempo. Se selecciona una persona y….. Ambos Hombre & Mujer en la misma persona No Excluyentes: □ 2 Eventos que Pueden Ocurrir al Mismo Tiempo Dos personas seleccionadas y que sean uno hombre la otra y mujer 3 Colectivamente Exhaustivos 1 Evento en el Espacio Muestral Tiene que Ocurrir Hombre o Mujer Experimento: Observar Género © 1984-1994 T/Maker Co.

§ Eventos Especiales Evento Nulo Evento Nulo Trebol & Diamante en 1 una baraja (naipe) Evento Nulo §

Visualizando el Espacio Muestral 1.Listado S = {Cara, Cruz} 2 Diagrama Venn 3.Tabla de Contingencia 4.Diagrama de Árbol

U DiagramaVenn Evento: Mujer Hombre Mujer Resultado U = {H, M} Other compound events could be formed: Tail on the second toss {HT, TT} At least 1 Head {HH, HT, TH} Mujer Resultado U U = {H, M}

Tabla de Contingencia Evento Conjunto: Mujer, Bajo Edad de 20 Total <20 >20 Total To be consistent with the Berenson & Levine text, a simple event is shown. Typically, this is not considered an event since it is not an outcome of the experiment. # Ob’s Total Evento Simple Mujer 47 16 63 Hombre 45 22 67 Total 92 38 130 U = {M,<20; M,>20; H,<20; H,>20} Espacio Muestral

Diagrama de Árbol <20 M >20 <20 H >20 Eventos Posibles U = {M,<20; M,>20; H,<20; H,>20}

Cálculos de Tipos de Probabilidades Probabilidad Marginal o Sencilla Probabilidad Condicional Probabilidad Conjunta Probabilidad de Eventos No Excluyentes Probabilidad de Eventos Excluyentes Probabilidad Eventos Independientes

Eventos Mutuamente Excluyentes e Igual de Probables La frase clave en la definición clásica de la probabilidad son: mutuamente excluyentes e igual de probables. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir de manera simultánea. Dos eventos son igual de probables cuando no hay razón para esperar que un evento ocurra en lugar de otro.

Eventos Mutuamente Excluyentes e Igual de Probables En el ejemplo de la tabla de contingencia de generos y edades, el evento (H) hombre, y evento (M) mujer,no ocurren a la vez, por lo tanto son excluyentes. Cualquiera de los dos puede ocurrir por lo cual son igual de probables.

Independencia Estadística Como corolario a lo antes dicho, los Eventos son Estadísticamente Independientes si la probabilidad que un evento ocurra no afecta el que el otro ocurra, sin importar que el primero haya ocurrido o no. Por ejemplo, si en la tabla de contingencia seleccionamos un (H>20) y si luego seleccionamos un (H<20) el evento Género (H) no es afectado por el evento Edad (>20 o <20) ni el orden en que ocurren.

Notación P (x): Se lee: la probabilidad del Evento X : A o B “Reunión”: : Se lee “o” : ej., : :A y B “Intersección”: : Se lee “Y” : ej., : : Se lee “ el número de veces que A ocurre”

1. Probabilidad de Evento Simple o Probabilidad Marginal ¡De100 Partes Inspeccionadas, Sólo 2 Defectos! P(Evento) = X = número de veces que el evento occure T = number total de posibles eventos A la Probabilidad de Evento Simple se le conoce como Probabilidad Marginal

Probabilidades Marginales De la Tabla de Contingencia podemos obtener las siguientes Probabilidades Marginales:

2. Probabilidad Condicional Cuando se calculan probabilidades usando un subconjunto del conjunto universal como el denominador, el resultado es una Probabilidad Condicional. Se lee; la probabilidad del evento A dado B

2. Probabilidad Condicional De la tabla de contingencia podemos ver los siguientes ejemplos;

3. Probabilidad Conjunta Eventos No Excluyentes La Probabilidad conjunta proporciona la probabilidad de ocurrencia conjunta o simultánea de dos eventos o características en un ente u objeto. En otras palabras seleccionamos un solo objeto a la vez del Conjunto Universal y observamos la ocurrencia de dos características a la vez.

3. Probabilidad Conjunta Por ejemplo en la tabla de contingencia sería que seleccionemos una persona que sea Hombre y <20 a la vez.

4. Eventos No Excluyentes Dos eventos no son mutuamente excluyentes si uno o el otro pueden ocurrir de forma independiente y tambien simultanea. Por ejemplo, en la tabla de contingencia vimos que una persona seleccionada al Azar del universo puede ser >20 o Mujer o ambos. Bajo esta condición si al seleccionar un objeto del universo si nos interesa ver si es A o B, pero si A y B pueden ocurrir a la vez tenemos entonces la siguiente regla:

4. Eventos No Excluyentes La Regla de Adición

4. Eventos No Excluyentes La Regla de Adición Por ejemplo, de la tabla de contingencia, la probabilidad de que la persona sea Mujer o >20, sería:

5. Probabilidad de Eventos Excluyentes Cuando los eventos son mutuamente excluyentes son disjuntos, es decir no se superponen o no pueden ocurrir a la vez. Cuando dos eventos cualesquiera mutuamente excluyentes A y B, la probabilidad de la ocurrencia ya sea de A o de B, es igual a la suma de sus probabilidades marginales.

5. Probabilidad de Eventos Excluyentes En la Tabla de Contingencia vemos que la características (H) y (M) son excluyentes. Así que si seleccionamos una persona del universo la probabilidad de que esta sea Hombre o Mujer sería

6. Probabilidad de Eventos Independientes Cuando dos eventos son independientes, el hecho de que un evento haya ocurrido no afecta el que el otro ocurra. Por ejemplo de la tabla de contingencia tenemos que si yo selecciono dos personas del universo, si uno es (H) no afecta que la otra se también (H) o (M). De la misma forma si uno de ellos es H>20 el otro podría ser también H>20.

6. Probabilidad de Eventos Independientes La regla para dos eventos independientes es Esto es la probabilidad de que los eventos A y B ocurran a la vez es igual al producto de sus probabilidades individuales o marginales.

6. Probabilidad de Eventos Independientes Ejemplos: 1. Si seleccionamos dos personas a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean Hombres? 2. Si seleccionamos dos personas a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea >20 y el otro sea Mujer?

El Complemento de un Evento Para todo Evento existe su Complemento. En términos de probabilidades, el complento de un evento es la probabilidad de que este no ocurra. En notación el Complemento de A se denota Ā. La probabilidad de Ā, es P(Ā)= 1-P(A) Por ejemplo, de la tabla de contingencia si P(H)=.5153, entonces Esto quiere decir que la probabilidad de que no sea Hombre es uno menos la probabilidad de que lo sea.