Alrededor de un terreno que mide 60 m. por 80 m Alrededor de un terreno que mide 60 m. por 80 m. se quiere construir una banqueta, tal y como se indica en la figura. Expresar el área de la banqueta en términos de x. Si el metro cuadrado de banqueta tiene un costo de $ 55.00, expresa el costo de toda la banqueta en términos de x. ¿Cuál será el costo de una banqueta de 1.50 m., 1.75 m., 2.00 m., 2.50 m.,… de ancho?

Figura:

Propuestas de solución El problema anterior puede ser entendido y resuelto por los alumnos desde cualquiera de las siguientes estrategias: 1) Calcular el área del rectángulo mayor y restarle el área del rectángulo que contiene, para así obtener la superficie de la banqueta. 2) Calcular el área de toda la banqueta, subdividiéndola en cuadrados y rectángulos.

Propuestas de solución A continuación un ejemplo de cómo se puede implementar la segunda propuesta de la que se ha hecho mención. Obsérvese cómo se va calculando el área de cada figura en las que se ha dividido la banqueta.

x x² x² x Cada esquina de la banqueta está representada por un cuadrado que tiene por lado “x”. Es posible calcular el área de cada cuadrado, multiplicando lado por lado. Lo que es igual a (x)(x) =x². Al ser cuatro esquinas, se tiene un total de 4x² x² x²

Ahora bien, nótese que toda la base de la banqueta tiene una longitud igual que 60. Pero si a esta cantidad, se le “quita” el espacio ocupado por cada cuadrado que se encuentra en las esquinas, resulta 60 – 2x x x 60

Calculando el área del rectángulo: 60 – 2x x Se obtiene (60 – 2x) x = 60 x – 2 x ²

x Caso semejante se puede aplicar ante el rectángulo que se encuentra ubicado en el lado cuya medida es 80. Si a esta cantidad se le restan los valores de x señalados en la figura a la derecha, resultará: 80 x

Calculando el área, resulta: x (80 – 2x) x = 80 x – 2 x ² 80 – 2x

De tal forma, se puede llegar a la obtención del área total de la banqueta. Lo que puede representarse como se muestra a continuación:

x² 80x - 2x² x² x² 60x - 2x² 60x - 2x² x² x² 80x - 2x² x²

Sumando el área de los cuadrados, se obtiene: 4x² Sumando el área de los rectángulos de color blanco, resulta: 160x - 4x² Sumando el área de los rectángulos de color gris, se tiene: 120x - 4x²

Al sumar cada resultado, se tiene: 4x² + 160x - 4x² + 120x - 4x² Por tanto, el área de la banqueta en términos de x es: A = 280x – 4x²

Y si se quiere saber el costo de toda la banqueta, estando el metro cuadrado a $ 55.00, podría plantearse la siguiente expresión: C = 55 (280x – 4x²)

A partir de esta expresión, podrá ir sustituyéndose la variable x por cada uno de los valores que se deseen, entendiendo que estos representarán el ancho de la banqueta: C = 55 (280x – 4x²)

O bien, podrá graficarse esta misma expresión para obtener una idea del comportamiento que tiene en el plano cartesiano, logrando con ello destacar visualmente la relación entre ancho de la banqueta y costo de la misma.