TEORIA DE COLAS Integrantes: Luis Sibaja Edgar Castro Oscar Hurtado David Román Jeison Gonzales Miguel Murillo

¿Por qué hay que esperar? Concepto de la espera Generalmente como clientes no queremos esperar y los gestores de los citados servicios no quieren que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?

Descripción de un sistema de colas Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar. El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.

Características de un Sistema de Colas Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas: Patrón de llegada de los clientes Patrón de servicio de los servidores Disciplina de cola Capacidad del sistema Número de canales de servicio Número de etapas de servicio  

Patrón de llegada de los clientes: En situaciones de cola habituales la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística de éstos.

Patrón de llegada de los clientes: También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar. Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.

Patrones de servicio de los servidores: Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido.

Disciplina de cola: La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero). Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de clientes.

Disciplina de cola: En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. La segunda situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que está siendo atendido.

Capacidad del sistema: En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas.

Número de canales del servicio: Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.

Número de canales del servicio: Estructura típica: Ejemplo: Una cafetería pequeña Sistema de colas Cola Servicio Disciplina de la cola Salidas Llegadas

Número de canales del servicio: Una línea, múltiples servidores Ejemplo: Un banco Sistema de colas Salidas Servidor Cola Llegadas Salidas Servidor Salidas Servidor

Etapas de servicio: Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa: En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente.

Nomenclatura básica

M/M/1 Llegadas aleatorias

EJEMPLO Un lavacar puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema Solución: = 9 La tasa media de llegadas la obtuvimos de la información µ= 12 Número de servicios igual se obtuvo de la información (1 auto cada 5min), pero se va trabajar horas por lo que se hace la conversión (60/5=12)  =0.75 factor de utilización del sistema se obtiene mediante la formula = 𝜆 𝜇

= 9 µ= 12  = 0.75 Ls = Número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas.

Lq = Número promedio de unidades que esperan ser atendidas = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq = Número promedio de unidades que esperan ser atendidas

= 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = tiempo promedio de una unidad en el sistema

= 9 µ= 12  = 0. 75 Ls = 3 clientes Lq= 2. 25 clientes Ws = 0 = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = Tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida

= Probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = Probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío

= Probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25 = Probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes

= Probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25 = 0.32 = Probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola

= Probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25 = 0.32 = 0.22 = Probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema

Ws = 0.33 ℎ𝑟𝑠 -> 20 min de espera de los clientes en el sistema = 9 µ= 12  = 0.75 Ls = 3 clientes Lq= 2.25 clientes Ws = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25 = 0.32 = 0.22 = 0,17 Ls = 3 clientes en la cola Lq = 2.25 clientes en espera Ws = 0.33 ℎ𝑟𝑠 -> 20 min de espera de los clientes en el sistema Wq = 0.25 ℎ𝑟𝑠 -> 15 min de espera de los clientes para ser atendidos = 0.25 -> Probabilidad de que el sistema no esté trabajando = 0.32 -> Probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes = 0.22 -> Probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola = 0.17 -> Probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema

Modelo multicanal (M/M/S) Dos o más servidores o canales están disponibles para atender los clientes que llegan. Los clientes forman una sola cola y se atienden de acuerdo al servidor que quede libre. Los tiempos de servicios son distribuidos exponencialmente. Los servicios se hacen de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS).

Formulas y variables ρ 0 = 1 𝑛=0 𝑠−1 λ µ 𝑛 𝑛! + λ µ 𝑠 𝑠! 1 1− λ µ λ = Promedio de llegadas (cliente/tiempo). µ = Tiempo esperado de servicio (cliente/tiempo). S: Número de servidores. Probabilidad de que ningún cliente este en el sistema: ρ 0 = 1 𝑛=0 𝑠−1 λ µ 𝑛 𝑛! + λ µ 𝑠 𝑠! 1 1− λ µ Promedio de unidades en el sistema: Ls = λµ λ μ 𝑠 ρ 0 𝑠−1 ! (𝑠−µλ) 2 + λ μ

Formulas y variables Ws = 𝐿𝑠 𝜆 Lq = ρ 0 λ µ 𝑠+1 𝑠−1 ! 𝑠− λ µ 2 Tiempo promedio de unidad dentro del sistema: Ws = 𝐿𝑠 𝜆 Número de unidades en la fila: Lq = ρ 0 λ µ 𝑠+1 𝑠−1 ! 𝑠− λ µ 2 Tiempo de espera en la fila: Wq = 𝐿𝑞 𝜆

EJEMPLO A una tienda llegan 50 personas cada hora. En el momento de pagar, una caja puede atender 20 personas por hora. Si se tienen únicamente 3 puntos de pago. Determinemos lo siguiente:

EJEMPLO ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente este en el sistema? ¿Cuál es el promedio de clientes en el sistema? ¿Cuál es el tiempo promedio de un cliente dentro del sistema? ¿Cuál es el número de clientes en la fila? ¿Cuál es el tiempo de espera en la fila?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente este en el sistema?

2. ¿Cuál es el promedio de clientes en el sistema? Ls = λµ λ μ 𝑠 ρ 0 𝑠−1 ! (𝑠−µλ) 2 + λ μ λ=50, μ=20, s=3, ρ 0 =0,0449

3. ¿Cuál es el tiempo promedio de un cliente dentro del sistema? Ws = 𝐿𝑠 𝜆 λ=50, Ls=2,5003

4. ¿Cuál es el número de clientes en la fila? Lq = ρ 0 λ µ 𝑠+1 𝑠−1 ! 𝑠− λ µ 2 λ=50, μ=20, s=3, ρ 0 =0,0449

5. ¿Cuál es el tiempo de espera en la fila? Wq = 𝐿𝑞 𝜆 λ=50, Lq=3,5111

Modelo M/G/1 Sistema con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio, un canal de servicio y una línea de espera.

Características Las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. No es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L), primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq).

Características Posee un solo servidor. Para que la cola alcance un régimen estacionario estable el tiempo medio de servicio sea inferior al tiempo medio entre llegadas o que la capacidad de servicio (µ) sea superior a la frecuencia de llegada (λ).

Formulas 𝜆= Número de llegadas 𝜇= Número de servicios 𝜌= Congestión de un sistema ρ=λ/μ ρ<1 𝐿= Número medio de clientes en el sistema L= L q +ρ

Formulas 𝐿𝑞= Número medio de clientes en la cola 𝐿 𝑞 = 𝜆 2 ∗ 𝜎 2 + 𝜌 2 2∗(1−𝜌) 𝑊=Tiempo medio de espera de los clientes en el sistema 𝑊= 𝑊 𝑞 + 1 𝜇 𝑊𝑞= Tiempo medio de espera de los clientes en la cola 𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆

Formulas Po = Probabilidad de que no haya unidades en el sistema 𝑃 0 =1−𝜌 Ls = Número promedio de unidades en el sistema 𝐿𝑠=𝐿𝑞+ 𝜌 Ws = Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema 𝑊𝑠=𝑊𝑞+ 1 𝜇

EJEMPLO Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. σ = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

Solución Lq: Número esperado de clientes en la cola Ls: Número esperado de clientes en el sistema. Wq: Tiempo esperado de espera en la cola. Ws: Tiempo esperado de espera en el sistema.

Modelo Servicio constante  M/D/1 En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos

EJEMPLO Un lava car puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1 Solución: = 9 La tasa media de llegadas la obtuvimos de la información µ= 12 Número de servicios igual se obtuvo de la información (1 auto cada 5min), pero se va trabajar horas por lo que se hace la conversión (60/5=12)  =0.75 factor de utilización del sistema se obtiene mediante la formula = 𝜆 𝜇

Lq : Número medio de clientes en la cola = 9 µ= 12  = 0.75 Lq : Número medio de clientes en la cola

𝐿=𝐿𝑞+𝑝 L : Número medio de clientes en el sistema = 9 µ= 12  = 0.75 Lq = 1.125 clientes L : Número medio de clientes en el sistema 𝐿=𝐿𝑞+𝑝

= 9 µ= 12  = 0.75 Lq = 1.125 clientes L = 1.875 clientes Wq = Tiempo medio de espera de los clientes en la cola 𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆

𝑊= 𝑊 𝑞 + 1 𝜇 W=Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema = 9 µ= 12  = 0.75 Lq = 1.125 clientes L = 1.875 clientes Wq = 0.125 horas W=Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema 𝑊= 𝑊 𝑞 + 1 𝜇

L = 1.875 clientes en el sistema = 9 µ= 12  = 0.75 Lq = 1.125 clientes L = 1.875 clientes Wq = 0.125 horas W = 0.21 horas Lq = 1.125 clientes en la cola L = 1.875 clientes en el sistema Wq = 0.125 ℎ𝑟𝑠 = 7.5 min de espera de los clientes en la cola W = 0.21 ℎ𝑟𝑠 = 12.5 min de espera de los clientes en el sistema

Modelo M / 𝐸 𝑘 /1 Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K. Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , y su función de densidad es:

Modelo M / 𝐸 𝑘 /1 Es decir, es una distribución gamma de parámetros . Por tanto, si la distribución es estacionaria, Este caso, es fácil demostrar que la intensidad de tráfico para el sistema es:

Medidas del desempeño del sistema de colas Número esperado de clientes en la cola Lq Número esperado de clientes en el sistema Ls Tiempo esperado de espera en la cola Wq Tiempo esperado de espera en el sistema Ws Tasa media de entradas 𝜆 Probabilidad 𝜌

Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales 𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑠 + 1 μ 𝐿 𝑠 = 𝑊 𝑠 𝐿 𝑞 = 𝑊 𝑞 𝜆 𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑞 + 𝜆 μ 𝜌= 𝜆 μ

M/ 𝐸 𝑘 /1 𝐿 𝑞 = 𝜌 2 (𝜅+1) 2𝑘(1−𝜌) 𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆 𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑞 + 1 μ Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio 𝐿 𝑞 = 𝜌 2 (𝜅+1) 2𝑘(1−𝜌) 𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆 𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑞 + 1 μ 𝐿 𝑠 =𝜆 𝑊 𝑠

EJEMPLO Un parqueo puede atender un auto cada 10 min. La tasa media de llegadas es de 5 autos/hora. Suponga  = 3.5 min k=2. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

EJEMPLO λ=5 (clientes que llegan por hora) μ= 60 10 =6 (cuantos clientes se atienden por hora) 𝜌= λ μ = 0,83 𝜅=2 L q = ρ 2 (κ+1) 2k(1−ρ) W q = L q λ W s = W q + 1 μ L s =λ W s

Resultados L q =3,0392 clientes W q = 0,6078 horas o 36,47 minutos W s =0,7745 horas o 46,47 minutos L s =3,8725 clientes