TEMA I. EL PROCESO DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR 1. La ecuación de la conducción del calor El modelo de la difusión de calor. Propiedades térmicas de la materia. La ecuación de difusión de calor. Condiciones frontera Conducción unidimensional en estado estable. La pared plana. Sistemas radiales. Conducción con generación de energía térmica. Análisis de aletas. .

3. Conducción bidimensional. a). El modelo de conducción bidimensional 3. Conducción bidimensional. a) El modelo de conducción bidimensional. b) Método analítico. c) Método gráfico. d) Método de diferencias finitas. 4. Conducción transitoria. a) Método de la capacitancia térmica. b) Efectos espaciales. c) La pared plana en convección. d) El sólido semi-infinito.

1. LA ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR Interpretar la Ley de Fourier como una ecuación vectorial que presenta el fenómeno de conducción en paredes planas y en formas radiales como cilindros y esferas, en su forma general y en sus formas particulares. Reconocer las propiedades térmicas de la materia en la importancia de los factores trascendentes en la conducción.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Atender al contenido conceptual que se presenta en Power-Point sobre este capítulo. 2. Revisar las tablas de las propiedades de los materiales que se presentan en los problemas conducción: conductividad térmica “K” y difusividad térmica “α” Discusión sobre las características de estas magnitudes en el proceso de conducción. 3. Reconocer los elementos que presenta la forma general de la ecuación de calor, como se reduce de acuerdo a las consideraciones según la situación que se presenta en su aplicación en problemas de ingeniería. 4. Utilizar las ecuaciones encontradas para su aplicación para los ejemplos mostrados. Compartir otros ejemplos con sus compañeros. 5. Observar detenidamente la necesidad de considerar ciertas condiciones iniciales y frontera según el caso para la solución de algún problema en particular

a) EL MODELO DE LA DIFUSIÓN DE CALOR Considerando un cilindro sólido aislado con: T1 > T2 A,T1 T2 Δx x T(x ) T1 T2 isoterma Ley de Fourier: k→ Conductividad térmica

b) PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA Conductividad térmica.

LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA Sólidos de alta conductividad “k” son llamados conductores y de conductividad baja son loa llamados aislantes. Los valores de “k” reportados en las tablas, son promedios pero ésta puede aumentar o disminuir con la temperatura “T” y en algunos casos pueden invertir su velocidad de cambio con “T”. La variación de “k” con “T” puede representarse usualmente por la ecuación: k = k0 + β T; donde k0 es la conductividad a 0 0C y β una constante. Para los líquidos “k” decrece con “T” aunque el agua es una excepción notable. Para gases y vapores, hay aumento de “k” con el aumento de “T”. Sutherland dedujo una ecuación a partir de la teoría cinética de los gases.

DIFUSIVIDAD TÉRMICA (α) ρCp es un producto que comúnmente se encuentra en transferencia de calor y se le llama “capacidad calorífica” de un material. α→ Mide la habilidad de un material para conducir energía térmica relativa a la habilidad de almacenarla. αgde→ Responde rápido a cambios del ambiente térmico αchica→ Responde con lentitud tomando mas tiempo para alcanzar una nueva condición de equilibrio

Tabla I.1.1. Difusividad térmica de materiales a la temperatura ambiente α (m2/s) Plata 149 x 10-6 Concreto 0.75 x 10-6 Oro 127 x 10-6 Ladrillo 0.52 x 10-6 Cobre 113 x 10-6 Suelo macizo Aluminio 97.5 x 10-6 Vidrio 0.34 x 10-6 Hierro 22.8 x 10-6 Lana de vidrio 0.23 x 10-6 Mercurio 4.7 x 10-6 Agua 0.14 x 10-6 Mármol 1.2 x 10-6 Carne de res Hielo Madera 0.13 x 10-6

Considerando un volumen (de control) diferencial en un medio homogéneo c) LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR T(x,y,z) Distribución de temperatura en medio homogéneo sin movimiento de volumen. dy dz dx * Dentro de un medio donde hay generación de energía asociada con la razón de energía térmica. = Razón energía generada por unidad de volumen del medio (w/m3) * La energía almacenada cuando los efectos del cambio de fase no son pertinentes. Razón en el tiempo del cambio de energía sensible del medio por unidad de volumen

CONTINUA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR Haciendo un balance de energía en el volumen diferencial (de control). Substituyendo: Según la ley de Fourier y también si: Substituyendo se llega a: Que es la Ecuación de Difusión de Calor o simplemente ECUACIÓN DE CALOR

Ejemplo 1.1. Se tiene un sólido de la forma mostrada, sin generación interna y conducción unidimensional. Encuentre k(x) cuando T(x) = -200 ( -1 + x + 2x2), A(x) = 1 + 2x y SE CONOCE: Forma simétrica con sección preescrita, distribución de temperatura y calor. ENCONTRAR: k(x) = ?. SE ASUME: No generación interna, estado estable, unidimensional. ESQUEMA: A(x) X ANÁLISIS. COMENTARIO: Note que si x= 0, k = 10 w/mK

FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN DE CALOR Si k = Cte Transferencia de calor unidimensional, estable y sin generación de energía. El flujo de calor es constante en la dirección de la transferencia.

FORMAS RADIALES DE ECUACIÓN DE CALOR En coordenadas cilíndricas: En coordenadas esféricas.

Ejemplo 1.2. Se tiene un reactor nuclear cilíndrico de 50 mm de diámetro generación interna uniforme de flujo estable con T( r ) = 800 – 4.167x 105 r2. Las propiedades del combustible son: ρ = 1100 kg/m3, k = 30 w/mK, Cp = 800 J/kg.K. ¿Cuál es la razón de TC por unidad de longitud de la barra a r = 0 y a r = 25 mm?. ESQUEMA: T(r) r0 k, ρ, Cp ANÁLISIS:

d) CONDICIONES INICIALES Y FRONTERA Condición frontera: Se tienen 3 clases para resolver la forma apropiada de la Ecuación de calor: 1) Temperatura de superficie Ts = cte. T(0,t) = Ts Ts A esta condición se le llama de 1ª. Clase o de Dirichlet T(x,t) 2) Flujo de calor de superficie constante.. x a) Flujo de calor finito Condición de Newman (2a clase) T(x,t)

CONTINÚA CONDICIONES INICIALES Y FRONTERA b) Adiabática o superficie aislada. T(x,t) 3) Condición de superficie en convección T(0,t) aire T∞,h

Resumen y reflexiones La “K” de los materiales realmente varía con la temperatura pero para fines en problemas de ingeniería, por el rango en que se trabaja, se considera constante: observe en las tablas. El concepto a que se refiere “α” va dirigido hacia la sensibilidad de los materiales con la temperatura y para la capacidad de almacenar calor. Es importante reconocer los diferentes elementos que se incluyen en la ecuación de calor. Considere las formas mas comunes de la ecuación de calor que se trabajan en los problemas de la ingeniería térmica con sus restricciones.

EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA Presentar y explicar tres casos reales donde pueda identificar el proceso de conducción: para una superficie plana, para un cilindro o tubo, y para el caso esférico determine los parámetros y las propiedades que intervienen en él. 40% Presentar tres ejemplos y su solución para tres problemas específicos: superficie plana, cilindro o tubo y esfera. 60%