Cap. 13 Gravitación

La Fuerza de Gravedad Hemos estado estudiando un ejemplo de una fuerza general que es la más importante para el comportamiento del universo.

La Ley de Gravitación de Newton G = 6.67 x 10 -11 Nm2/kg2 El Teorema del Cascarón Un cascarón esférico de masa atrae a una partícula que está afuera como si toda la masa del cascarón estuviese en su centro. Sobre la superficie de la tierra, M es la masa de la tierra y r su radio. = 9.8 m/s2 Obtenemos el resultado que ya conocíamos.

Dentro de la Tierra La Segunda Parte del Teorema del Cascarón La fuerza neta de un cascarón sobre una masa que está dentro del cascarón es cero. Dentro de la tierra se siente el efecto sólo de las capas que están más cerca del centro. Si la tierra tuviese densidad uniforme, la fuerza neta disminuiría mientras descendemos al centro. Eso casi pasa así pero la tierra no tiene densidad uniforme así que al principio la fuerza aumenta un poco para luego disminuir. Los teoremas del cascarón surgen del hecho de que la fuerza es proporcional a 1/r2 . Lo mismo ocurre con la fuerza eléctrica como veremos el semestre que viene.

Energía Potencial Gravitacional La derivación está en el libro. Cuando la masas se alejan la energía potencial aumenta (se hace menos negativa). La gravedad es una fuerza conservativa así que se conservará la energía mecánica en los casos en que es la única fuerza que está actuando. Esta es la fórmula correcta cuando consideramos cambios grandes de posición r . Fíjate que se ha definido el punto en infinito como el punto donde U = 0. La fórmula U = mgy se puede usar como aproximación cuando “y” es pequeña (comparada con el radio de la tierra). Cuando hemos usado esa fórmula hemos definido una altura cerca de la superficie de la tierra como la altura en la cuál U=0.

Posibles Movimientos de Objetos Lanzados Desde la Tierra Lanzado en Dirección Radial (Alejándose del Centro de la Tierra) Usando conservación de energía, para llegar al infinito (escaparse de la tierra) tiene que tener, como mínimo, energía mecánica = 0 ya que en infinito U=0 y podría llegar con K=0. Si en la superficie de la tierra tiene una energía mecánica < 0, no se escapará ya que en algun momento se detendrá y caerá hacia la tierra otra vez. Hay una velocidad de lanzamiento mínima para escaparse (velocidad de escape) que se puede encontrar poniendo la energía mecánica = 0.

Posibles Movimientos de Objetos Lanzados Desde la Tierra Lanzado en Dirección Tangencial (En realidad, primero se lanza hacia arriba y luego vira para tomar la dirección tangencial) Aquí también, si la velocidad es muy pequeña, caerá otra vez a tierra. Sin embargo, con suficiente velocidad puede moverse en una órbita circular sin caer a tierra. Esto ocurrirá cuando la fuerza de gravedad provee la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular uniforme. Podemos usar la 2da ley para averiguar qué rapidez se necesita. Fíjate que (para una R dada) esta rapidez es más pequeña que la velocidad de escape (por un factor de √2 ). A esta rapidez, no escapa pero puede orbitar sin caer a tierra.