Trabajo y energía
Contenidos (1) 1.- El trabajo. Interpretación gráfica. Hacia la idea de integral. 2.- Trabajo de una fuerza variable: trabajo elástico. 3.- Energía y su degradación. 4.- Teorema de conservación de la energía. 5.- Trabajo y energía cinética.
Trabajo (W). W = F · r =|F|·|r| · cos En el caso de que la fuerza sea constante W es el producto escalar de la fuerza (F) por el vector desplazamiento (r). Es por tanto un escalar (un número). W = F · r =|F|·|r| · cos siendo “” el ángulo que forman ambos vectores. Si F y r tienen la misma dirección y sentido, entonces W = F ·r
Trabajo y unidades En el caso de que la fuerza se aplique en la dirección y sentido del desplazamiento, cos = 1 De donde W = |F| ·|r| En cambio, si F y r son perpendiculares cos = 0 y el trabajo es nulo. La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es: Julio (J) = N · m = kg · m2/s2
Ejemplo: Se tira de una vagoneta de 20 kg con una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la vagoneta. W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0 WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0 Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J
Significado gráfico del trabajo con fuerza constante F (N) Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del paralelogramo cuya base es “x” y cuya altura es la “F” constante. W F x x0 x x (m)
Definición integral del trabajo. x En el caso de que la fuerza no sea constante (p.e. fuerzas elásticas), la definición del trabajo es más compleja. Habría que considerar el trabajo como una suma de mucho trabajos en los que se pudiera considerar que al ser el desplazamiento muy pequeño F sería constante. W = r0 F · r = F · dr F x x0 El trabajo puede obte-nerse calculando el área comprendido entre la curva y el eje de abscisas, y las ordenadas que delimitan el desplazamiento.
Trabajo elástico Supongamos que el muelle actúa en la dirección del eje “x” con lo que habrá que realizar una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza elástica para estirar el muelle (– k · x) : F = k · x F depende, pues. de “x” y no es constante. W = F · dx = k · x dx = ½ k · x2
Significado gráfico del trabajo elástico F (N) Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del triángulo cuya base es “x” y cuya altura es la “Fmáx”. W = ½ Fmáx· x x Fmáx W x x (m)
Potencia Se llama potencia al cociente entre la energía transferida y el tiempo empleado en el proceso. Si toda la energía transferida se transforma en trabajo: W |F| ·| r|·cos P = — = ———————— = |F|·|v|·cos t t P = F · v La unidad de potencia es el W (watio)= J/s
Rendimiento de una máquina. Normalmente, la potencia que tiene que desarrollar una máquina (o nosotros mismos) es mayor que el trabajo útil realizado, ya que parte de la misma se emplea en realizar trabajo de rozamiento. Se llama rendimiento () a: Wútil W Wútil = —— · 100 P = — = ——— · 100 W t · t
Potencia efectiva. Si llamamos potencia efectiva a: Wútil Pefectiva = —— t Wútil Pefectiva 100 P = ——— · 100 P = ——— · t ·
Wútil 5,88 ·106 J Pef = —— = ———————— = 326,7 W t 5 h · 3600 s/h Ejemplo: Calcula la potencia que debe poseer un motor para llenar de agua una piscina de 100 m3 de capacidad en 5 horas, sacando agua de un pozo a 6 metros por debajo de la entrada a la piscina, si el rendimiento es del 80 %. m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m = = 5,88 ·106 J Wútil 5,88 ·106 J Pef = —— = ———————— = 326,7 W t 5 h · 3600 s/h Pef 326,7 W P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W 80