Modelado matemático de sistemas de control

Modelos Representación aproximada de la realidad Abstracción: se incluyen sólo aquellos aspectos y relaciones que son de interés. Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos. Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, “que pasa si”…., decisiones,...

Modelos Matemáticos Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del proceso de interés y representan adecuadamente su comportamiento • Relacionan las variables de salida con las variables de entrada, cuya evolución se supone conocida. • Siempre son aproximaciones de la realidad. 𝐾 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝐴 𝑥= 𝑦

Modelos estáticos y dinámicos Estáticos » Representan situaciones de equilibrio » Descritos mediante ecuaciones algebraicas » Orientados a diseño Dinámicos » Representan la evolución temporal » Descritos mediante ecuaciones diferenciales » Utilización típica: control, entrenamiento,.

Simplicidad contra exactitud “Una exactitud extrema requiere un modelo más complejo” Un modelo más simple requiere: ignorar ciertas propiedades físicas (suposiciones) obviar no linealidades no tener en cuenta parámetros distribuidos

Sistemas lineales e invariantes con el tiempo 𝒂 𝟎 𝒅 𝒏 𝒙 𝒅𝒕 𝒏 + 𝒂 𝟏 𝒅 𝒏−𝟏 𝒙 𝒅𝒕 𝒏−𝟏 +…+ 𝒂 𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝒂 𝒏 = 𝒃 𝟎 𝒅 𝒎 𝒚 𝒅𝒕 𝒎 + 𝒃 𝟏 𝒅 𝒎−𝟏 𝒚 𝒅𝒕 𝒎−𝟏 +…+ 𝒃 𝒎−𝟏 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝒃 𝒎 𝒚 𝒏≥𝒎 𝒂 𝒊 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 Sistema LTI 𝒙 𝒕 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 y(𝒕) 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂

Obtención de modelos Mediante razonamientos, por aplicación de principios generales de la física, la química, etc Mediante experimentación y análisis de datos

Metodología de modelado Establecer los límites y objetivos del modelo Establecer las hipótesis básicas Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación. Estimar el valor de los parámetros (solución y simulación) Validar el modelo

Ejemplo: Sistema Térmico Objetivo: estudiar el cambio de la temperatura del tanque 𝐸𝑝 𝑖 𝐸𝑐 𝑖 𝑝𝑉 𝑖 𝑈 𝑖 características: masa constante aislamiento bien mezclado 𝑊 𝑒 𝐻 𝑖 qi = q0 = q 𝐸𝑝 𝑜 𝐸𝑐 𝑜 𝑝𝑉 𝑜 𝑈 𝑜 ∆𝑈 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝐻 𝑜 base del modelo: balance de energía 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎=𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑒+𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝐸𝑝 𝑖 + 𝐸𝑐 𝑖 + 𝑝𝑉 𝑖 + 𝑈 𝑖 + 𝑊 𝑒 = 𝐸𝑝 𝑜 + 𝐸𝑐 𝑜 + 𝑝𝑉 𝑜 + 𝑈 𝑜 + ∆𝑈 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝐻 𝑖 (entalpía) 𝐻 𝑜

𝜌 𝑖 𝑞 𝑡 𝐻 𝑖 𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝑡 𝐻 𝑜 𝑡 +∆[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑈 𝑡 ] 𝐻 𝑖 (t) + W e (t) = 𝐻 𝑜 (t) + ∆𝑈 𝑠𝑖𝑠𝑡 (t) 𝑚 𝑖 𝐻 𝑖 (𝑡) + 𝑅 𝑖 2 𝑡 t =𝑚 𝑜 𝐻 𝑜 (𝑡) +∆[𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑈 𝑠𝑖𝑠𝑡 (t)] 𝑯 𝒊 (t) 𝑾 𝒆 (t) 𝜌 𝑖 𝑚 𝑖 = 𝜌 𝑖 𝑞 𝑡 𝑉𝑡 𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡=𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑯 𝒐 (𝒕) ∆𝑼 𝒔𝒊𝒔𝒕 (𝒕) 𝜌 𝑜 𝑚 𝑜 = 𝜌 𝑜 𝑞 𝑡 𝜌 𝑖 𝑞 𝑡 𝐻 𝑖 𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝑡 𝐻 𝑜 𝑡 +∆[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑈 𝑡 ] balance infinitesimal (t = dt ): 𝜌 𝑖 𝑞 𝐻 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑑𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝐻 𝑜 𝑡 𝑑𝑡+𝑑[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑈 𝑡 ]

cambios de energía interna: cambios de entalpía: ∆ 𝐻 𝑡 = 𝑇 𝑇 𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝐶𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑝 [𝑇− 𝑇 ] 𝐻 𝑡 =𝐶𝑝 𝑇(𝑡) 𝑇(𝑡) 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 “𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏" cambios de energía interna: ∆ 𝑈 𝑡 = 𝑇 𝑇 𝐶𝑣 𝑑𝑇 𝐶𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑣 [𝑇− 𝑇 ] 𝑇(𝑡) 𝑈 𝑡 =𝐶𝑣 𝑇(𝑡)

𝜌 𝑖 𝑞 𝐻 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑑𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝐻 𝑜 𝑡 𝑑𝑡+𝑑[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑈 𝑡 ] 𝜌 𝑖 𝑞 𝐻 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑑𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝐻 𝑜 𝑡 𝑑𝑡+𝑑[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝑈 𝑡 ] 𝐻 𝑜 𝑡 = 𝐶𝑝 𝑜 𝑇(𝑡) 𝑈 𝑡 =𝐶𝑣 𝑇(𝑡) 𝐻 𝑖 𝑡 = 𝐶𝑝 𝑖 𝑇 𝑖 𝑡 𝜌 𝑖 𝑞 𝐶𝑝 𝑖 𝑇 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝑑𝑡= 𝜌 𝑜 𝑞 𝐶𝑝 𝑜 𝑇 𝑡 𝑑𝑡+𝑑[𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝐶𝑣 𝑇 𝑡 ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜌 𝑖 𝑞 𝐶𝑝 𝑖 𝑇 𝑖 𝑡 + 𝑅 𝑖 2 𝑡 = 𝜌 𝑜 𝑞 𝐶𝑝 𝑜 𝑇 𝑡 +𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝐶𝑣 𝑑𝑇 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑡 𝜌 𝑜 𝐶𝑣 𝑑𝑇 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜌 𝑜 𝑞 𝐶𝑝 𝑜 𝑇 𝑡 = 𝜌 𝑖 𝑞 𝐶𝑝 𝑖 𝑇 𝑖 (𝑡) + 𝑅 𝑖 2 𝑡 𝝆 𝒐 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝝆 𝒐 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝑽𝒕 𝑪𝒗 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝒅𝑻 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑻 𝒕 = 𝝆 𝒊 𝑪𝒑 𝒊 𝝆 𝒐 𝑪𝒑 𝒐 𝑻 𝒊 𝒕 + 𝑹 𝝆 𝒐 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝒊 𝟐 𝒕

El modelo obtenido entradas Características del sistema salida Ti(t) entradas 𝝆 𝒊 , 𝑪𝒑𝒊 𝑽𝒕 ,𝑪𝒗 Características del sistema 𝝆 𝒐 , 𝑪𝒑𝒐 T(t) salida 𝑽𝒕 𝑪𝒗 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝒅𝑻 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑻 𝒕 = 𝝆 𝒊 𝑪𝒑 𝒊 𝝆 𝒐 𝑪𝒑 𝒐 𝑻 𝒊 𝒕 + 𝑹 𝝆 𝒐 𝒒 𝑪𝒑 𝒐 𝒊 𝟐 𝒕

Un modelo simplificado 𝑪𝒗≈𝑪𝒑 (para la mayoría de líquidos) suposiciones 𝑪𝒑𝒊≈𝑪𝒑𝒐 (cambios pequeños de temperatura) 𝝆 𝒊 ≈ 𝝆 𝒐 (∆𝑻 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒐) 𝑉𝑡 𝐶𝑣 𝑞 𝐶𝑝 𝑜 𝑑𝑇 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑇 𝑡 = 𝜌 𝑖 𝐶𝑝 𝑖 𝜌 𝑜 𝐶𝑝 𝑜 𝑇 𝑖 𝑡 + 𝑅 𝜌 𝑜 𝑞 𝐶𝑝 𝑜 𝑖 2 𝑡 𝑽𝒕 𝒒 𝒅𝑻 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑻 𝒕 = 𝑻 𝒊 𝒕 + 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 𝒊 𝟐 𝒕

Solución del modelo condiciones 𝑻 𝒊 𝒕 =𝟎 (𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏) 𝑻 𝒊 𝒕 =𝟎 (𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏) condiciones 𝒊 𝒕 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒂 𝒖𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 " 𝒊 " 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊 𝟐 𝑽𝒕 𝒒 𝒅𝑻 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑻 𝒕 = 𝑻 𝒊 𝒕 + 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 𝒊 𝟐 𝒕 𝑽𝒕 𝒒 𝒅𝑻 𝒕 𝒅𝒕 + 𝑻 𝒕 = 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 𝒊 𝟐 Resolviendo con condiciones iniciales cero (𝑻 𝟎 =𝟎) 𝑻 𝒕 = 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 𝒊 𝟐 𝟏− 𝒆 − 𝟏 𝑽𝒕 𝒒 𝒕

Gráficamente 𝑻 𝒕 = 𝑅 𝜌 𝑞 𝐶𝑝 𝑖 2 1− 𝑒 − 1 𝑉𝑡 𝑞 𝒕

Simulación del modelo Condiciones masa constante aislamiento bien mezclado 𝑻 𝒕 = 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 𝒊 𝟐 𝟏− 𝒆 − 𝟏 𝑽𝒕 𝒒 𝒕 𝑹 𝝆 𝒒 𝑪𝒑 = 𝟏𝟒,𝟑 𝟎,𝟗𝟗𝟕 𝒙 𝟐,𝟏 𝒙 𝟒,𝟏𝟖 =𝟏,𝟔𝟑𝟑 [°𝑪/𝑨2] 𝑽𝒕 𝒒 = 𝟔𝟐𝟐 𝟐,𝟏 =𝟐𝟗𝟔,𝟐 [s] 𝑻 𝒕 =𝟏,𝟔𝟑𝟑 𝒊 𝟐 𝟏− 𝒆 − 𝟏 𝟐𝟗𝟔,𝟐 𝒕

Alcanzando el estado estable

Cambio en la corriente de la resistencia

𝑻 𝒕 =𝟏,𝟔𝟑𝟑 𝒙 𝟐,𝟔𝟐 𝟐 𝟏− 𝒆 − 𝟏 𝟐𝟗𝟔,𝟐 𝒕 =𝟏𝟏,𝟐 𝟏− 𝒆 − 𝟏 𝟐𝟗𝟔,𝟐 𝒕 𝟑𝟏,𝟖 11,2 𝑻 =20,6

Validación del modelo

Validación del modelo

Respuesta dinámica

Datos Experimentales del sistema térmico 3𝟎,𝟗 𝟐𝟎,𝟔

Comparación de los datos experimentales y del modelo 𝟐𝟎,𝟔

Modelos matemáticos… • están formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas. • se usan para análisis de respuesta dinámica (entrada-salida). • es necesario conocer los principios físico-químicos involucrados. • son aproximaciones e incluyen suposiciones que deben comprobarse. • se resuelven mediante simulación. • se validan a través de la experimentación (exactitud).