Docente Adalberto Paternina A I.E PEDRO CASTELLANOS INECUACIONES Docente Adalberto Paternina A

IDENTIDADES, ECUACIONES E INECUACIONES Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de la incógnita o incógnitas: x = x (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 (x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 ECUACIÓN Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4  Sólo para x = 2 x2 = 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2 y = 2x  Sólo cuando y sea doble que el valor de x. INECUACIÓN Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: x < 2  ( - oo , 2 ) x ≥ - 4  [ - 4 , + oo ) |x| < 3  ( - 3, 3)

Inecuaciones con una incógnita Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar. Signo: Se lee: x < - 3 x es siempre MENOR que - 3 x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5 x > 7 x es siempre MAYOR que 7 x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que - 2

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta. Ejemplos: x > 4  x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc x2 – 4 < 0  x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc EQUIVALENCIA DE INECUACIONES Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes. x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.

GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES: 1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados. En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido. 2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos. En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco. R 2 R - 5

Resolución de inecuaciones PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x – 3 > 1  x – 3 + 3 > 1 + 3  x > 4 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x / 3 < 5  3. x / 3 < 3. 5  x < 15 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original. Si - x < 3  (- 1).( - x ) > (- 1).3  x > - 3

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2 SOLUCIONES: 1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) 2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) 3.- x > x + 2  x - x > 2  0 > 2 FALSO Solución = Ø (Conjunto vacío)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sea la inecuación: 2 – x x – 3 4.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6 SOLUCIÓN: 6(2 – x) – 5( x – 3 ) 4.- ----------------------------- + 2 > x 30 4.- 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x  x < 87/41 Solución = (- oo , 87/41)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3 SOLUCIONES: 5 3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15 5.- 3.(x – 1) + 30 < 5.x 5.- 3.x – 3 + 30 < 5.x 5.- – 3 + 30 < 5.x – 3.x 5.- 27 < 2.x  x > 13,5 5.- Solución = ( 13,5 , oo )

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 6.- 2 ------- + 3 ≥ 4 x + 1 SOLUCIONES: 6.- 2 + 3.(x+1) ----------------- - 4 ≥ 0 6.- 2 + 3.(x+1) – 4.(x + 1) ----------------------------- ≥ 0 6.- 1 – x -------- ≥ 0  Las raíces de numerador y denominador son el 1 y el -1 6.- Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo) 6.- Solución = ( - oo, 1 ] – { - 1}

Inecuaciones CUADRÁTICAS Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0) Siendo a > 0 siempre. Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación, x1 y x2 . Luego se factoriza el polinomio característico: (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0 Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema.

Ejemplo 1 - + + - - + Resuelve la inecuación: x2 - 5x + 6 ≤ 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 Se halla el signo de cada factor: - oo 2 3 +oo ( x – 2 ) - + + - - + ( x – 3 ) Productos + - + En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]

Ejemplo 2 - - + - + + Resuelve la inecuación: x2 + 3x - 10 > 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x + 5 ) > 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 5 2 +oo ( x – 2 ) - - + - + + ( x + 5 ) Productos + - + En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }

Ejemplo 3 - + - + Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0 Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 +oo ( x +1 ) - + - + ( x + 1 ) Productos + + No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø