Historia de las Matemáticas El álgebra en los siglos XVIII-XIX

Profesor: Francisco Guil Asensio Web: ww.um.es/mataplic/fguil/guil.html Tutorías: Martes, Miércoles y Jueves 10-11 y 11:30-12:30 3ª planta, Facultad de Informática

Bibliografía: - A history of algebra from Al-Khwarizmi to Emmy Noether. Van der Waerden. Ed. Springer. - Historia de la Matemática.- Carl B. Boyer. Alianza Universidad Textos nº 94 - El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Morris Kline. Alianza Universidad. Tomos II y III (nº 729) - The genesis of the abstract group concept. H. Wussing. Cambridge, Ma. MIT Press - Mathematics of the 19th century. Kolmogorov & Yushkevich. Ed. Birkhaüser. Vol. I

ÁLGEBRA - Estudio de las estructuras algebraicas -Históricamente Ecuaciones Polinomios Sistemas Ecuaciones indeterminadas Reglas de operación con números Teoría de números

Tipos de álgebra: - Retórica - Sincopada - Simbólica

Mat. hindú Mat. Árabe Mat. Medieval Precursores 2000 a.C. 300 a.C- 200 d.C Matemática griega Mat. hindú Mat. Árabe Mat. Medieval S. XVI Mat. Renacimiento Rec. Textos álgebra simbólica Geom.coord. Geometría Tª números

Matemática egipcia: - Papiro de Rhind. alrededor del 1650 a. C. álgebra retórica ecuaciones lineales de una incógnita. método de falsa posición los problemas se plantean verbalmente. - Papiro de El Cairo alrededor de año 300 a. C. sistemas de 2 ecuaciones en 2 incógnitas de segundo grado. No hay teoría de números.

Algebra babilónica I más avanzada que en Egipto sistema de numeración posicional aparece el uso de símbolos su álgebra es esencialmente retórica problemas a través de ejemplos no hay explicaciones ni demostraciones usan números racionales positivos aproximaciones

Algebra babilónica II resolución de ecuaciones cuadráticas solamente reconocen la raíz positiva sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnita problemas con más de dos incógnitas ecuaciones de grado mayor.

Algebra griega clásica no aceptan la existencia de números irracionales representación geométrica de cantidad. construcciones de identidades algebraicas solución de ecuaciones cuadráticas se demuestran de forma geométrica. los contenidos no van más allá que en Babilonia El enfoque geométrico ventaja: uso del razonamiento deductivo carece de valor práctico retrasó el progreso del álgebra.

Diofanto representa un alejamiento del álgebra geométrica Introduce un estilo sincopado el estilo retórico será dominante durante siglos La Aritmética ecuaciones indeterminadas No usa métodos generales hay 189 problemas y 189 métodos acepta raíces racionales positivas si hay dos soluciones, solo da una de ellas no hay estructura deductiva en su trabajo.

ALGEBRA HINDÚ I es importante después de la influencia griega. motivación basada en la astronomía y astrología - año 600 d. C. sistema posicional en base 10 el 0 se considera un número más los negativos para representar deudas - año 1114 d.C. número positivo tiene 2 raíces cuadradas procedimientos correctos para operar

ALGEBRA HINDÚ II - progresos en álgebra y aritmética. cierto simbolismo no se usa generalmente va más allá del álgebra sincopada no hay demostracione solo se dan los pasos las ecuaciones cuadráticas tienen 2 raíces incluyen raíces negativas e irracionales soluciones completas de ax + by = c consideran ecuaciones cuadráticas.

Algebra árabe I conservan el conocimiento griego traducciones -> conocimiento actual origen de ALGEBRA y ALGORITMO álgebra retórica numeración mejoran la numeración hindú algoritmos para operaciones influencia en en Europa en el año 1200

Algebra árabe II trabajan con irracionales rechazan los números negativos ecuaciones cuadráticas métodos generales reconocen las dos soluciones normalmente descartan una ecuaciones cúbicas métodos geométricos intersección de cónicas trabajan con ecuaciones indeterminadas

Cardano - Stevin - Bombelli - Vieta EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA SIMBÓLICA 1545 ARS MAGNA de Cardano Consolidación del cálculo aritmético Números decimales (Stevin, 1585) Cálculo de logaritmos y primeras tablas (Napier, Whiggs, Burgui) Resolución ecuaciones tercer y cuarto grado Cardano - Stevin - Bombelli - Vieta Paso del álgebra sincopada a la literal 1637 LA GEOMETRÍA de Descartes

Precursores del Cálculo Descartes Fermat 1637 Geometría de coordenadas Trabajos en Tª de números Precursores del Cálculo Newton Leibniz S XVIII

Newton Leibniz Cotes Johan Bernouilli Jean Bernouilli Taylor Stirling D. Bernouilli Euler D’Alembert Lagrange Legendre Laplace Carnot Condorcet Monge

SITUACIÓN SOCIAL A FINALES DEL S. XVIII - Búsqueda de aplicaciones - Poco desarrollo de la Matemática por sí misma - Desarrollo rápido acompañado de falta de rigor - Paso de las Academias a las Universidades - Primeras sociedades matemáticas - Primeras revistas - Crecimiento de la comunidad matemática

Problemas relevantes a finales del XVIII - Ecuaciones polinómicas Teorema fundamental Métodos de resolución - Tª de números Notación Unificación Problemas abiertos representación divisibilidad

- Distintos tipos de números Nº naturales, enteros, racionales, reales, complejos Distinción algebraicos y trascendentes ¿Qué son? ¿cuáles son sus limitaciones? - Geometría Nuevos tipos de geometría: descriptiva, proyectiva Preocupación por uso de coordenadas

Surgen las estructuras algebraicas: - Tª de Grupos Ecuaciones polinómicas Tª de números Geometría Ecuaciones diferenciales Es la primera en desarrollarse Sus métodos y resultados influirán en las demás

- Tª de Cuerpos Ecuaciones polinómicas Tª de números (ideales) Problemas de fundamentación: Kronecker y extensiones trascendentes Primera estructura totalmente axiomatizada - Tª anillos conmutativos Anillos de polinomios Geometría (invariantes)

- Tª anillos no conmutativos y álgebras Tipos de números Nº complejos Geometría (movimientos) Matrices Álgebra lineal Las teorías de anillos conmutativos y no conmutativos se influirán mutuamente en el siglo XX a través del concepto central de módulo

UNA MIRADA AL SIGLO XX - Relaciones entre estructuras - Visiones estructurales Los retículos de Ore Las estructuras de Bourbaki La teoría de categorías - Métodos topológicos: homología