Teoría de Colas Notación de Kendall – Lee Ejercicios Investigación de Operaciones Modelo Monoservidor Teoría de Colas Notación de Kendall – Lee Ejercicios Sesión Teórico/Práctica No. 2 Nelson José Pérez Díaz

Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, Colas Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Los Análisis de Colas relacionan: la longitud de la línea de espera, Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio. Los Análisis de Colas relacionan: la longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

Colas Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

Colas COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Compradores Pago en cajas Peaje Vehículos Pago de peaje Consultorio Pacientes Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación Banco Clientes Depósitos y Cobros Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación Muelle Barcos Carga y descarga

Características de una LINEA DE ESPERA CARACTERISTICAS DE ARRIBOº Colas Características de una LINEA DE ESPERA CARACTERISTICAS DE ARRIBOº DISTRIBUCION DE POISSON: P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo  = rata promedio de arribo .e = 2.71828

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

Proceso de nacimiento y muerte Colas Proceso de nacimiento y muerte Los llamados procesos de nacimiento y muerte describen una gran diversidad de situaciones prácticas cuya característica principal consiste en la aparición y/o desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1. Si N(t) expresa el número total de entes que componen la población al tiempo t, entonces N(t) puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo

Diagrama Tasas de Transición Colas Diagrama Tasas de Transición Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada n-1 n+1 ln-1 mn n ln mn+1 ... Se obtiene la ecuación de equilibrio: n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn

Colas Teoría de Colas Para calcular la probabilidad de estado es preciso tener en cuenta: El proceso de llegada de los paquetes La distribución de duración de los paquetes La política de servicio PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO) UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)

Representación general de la Formación de colas Notación de Kendall A/B/C Distribución de llegada Número de servidores Distribución de servicio

Clasificación de Kendall y Lee Colas Clasificación de Kendall y Lee Kendall y Lee 1953 Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos. El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f)

Clasificación de Kendall y Lee Colas Clasificación de Kendall y Lee DISCIPLINA DE SERVICIO DG , FIFO , LIFO RAND, PRI PATRON de LLEGADAS M: Markoviano G : General E : Erlang TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita 8 X X , x , X , X, X PATRON del SERVICIO M: Markoviano G : General E: Erlang NUMERO SERVIDORES 1: un servidor s: s servidores en paralelo TAMAÑO COLA : Infinita K : Finita 8

Clasificación de Kendall y Lee Colas Clasificación de Kendall y Lee Donde a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio. Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D : constante Ek: distribución Erlang con parámetro k G : cualquier tipo de distribución GI: distribución general independiente H : distribución hiperexponencial M : distribución exponencial

Clasificación de Kendall y Lee Colas Clasificación de Kendall y Lee c número de servidores d orden de atención de los clientes Símbolos utilizados en este campo son: FIFO : primeras entradas, primeros servicios LIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorio PR : con base en prioridades GD : en forma general e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

Colas Ejemplos Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.

Clasificación de Kendall y Lee Colas Clasificación de Kendall y Lee Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente. Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita. Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribución.

Colas M / M / 1 / DG / /  : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita 1 2 4 n lDt l mDt m 3 ....... ....

Mediante el cálculo de límite superior Colas Clasificación de Kendall y Lee Mediante cadenas de Markov de estado finito Mediante el factor de corrección K (G/G/1) (FCFS/ / ) Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine (M/G/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (d/N/f) (M/M/1) (FCFS/N/) (M/M/1) (FCFS/N/N) (M/M/S) (FCFS/N/) (M/M/S) (FCFS/N/N) Mediante cadenas de Markov y series geométricas (M/M/S) (d/  / ) (M/M/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (FCFS/  / ) Mediante el cálculo de límite superior (G/G/S) ( FCFS //) Mediante fórmulas generales

Objetivos de los modelos de colas Se pueden obtener los valores siguientes: Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC Longitud o número esperado de paquetes en el sistema LES Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la cola TEC Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el sistema antes de ser atendido TES Número promedio de canales en servicio inactivos en el sistema NCI Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o en el sistema más de un tiempo t Número promedio de paquetes atendidos

TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola Longitud de cola promedio Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). Número de clientes promedio en el sistema. Probabilidad de que el servicio se quede vacío Factor de utilización del sistema Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

Medidas de desempeño Medidas de desempeño: Utilización de Servicio Colas Medidas de desempeño Medidas de desempeño: Utilización de Servicio Tasa de entrada Promedio Número Promedio de Clientes en el sistema Número promedio de Clientes en la fila Tiempo promedio de espera en el sistema Tiempo promedio de espera en la fila Coeficiente cuadrado de variación

Área de almacenamiento temporal Colas Modelo Monoservidor Área de almacenamiento temporal Servidor Llegada de paquetes Salida de paquetes Modelo de cola en un servidor único Los paquetes son “clientes” formando cola en espera del servicio

Modelo Monoservidor Ejemplos de modelos de un solo servidor: Colas Modelo Monoservidor Ejemplos de modelos de un solo servidor: Taquilla de Pago CANTV Caja de UNITEC Cafetin Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)

Colas Modelo Monoservidor Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad promedio de: Forman una cola en espera de servicio en el área de almacenamiento temporal y luego, con alguna política de servicio especificada, son atendidos a razón de un promedio de

Modelo Monoservidor La cola empieza a formarse cuando: Colas Modelo Monoservidor La cola empieza a formarse cuando: Llegada de paquetes Capacidad de transmisión del paquete Para un área de almacenamiento temporal finita, la cola llegaría a saturación cuando exceda . Cuando el área de almacenamiento temporal se satura, se bloquean las llegadas de todos los paquetes.

Colas Modelo Monoservidor Si se supone un área de almacenamiento temporal infinita, la cola se vuelve inestable a medida que: Para la cola con un solo servidor: Asegura estabilidad

Colas Modelo Monoservidor Un parámetro crítico en el análisis de la teoría de formación de colas es: Utilización o intensidad de tráfico en el enlace Es la razón entre la carga y la capacidad del sistema Para el caso de un solo servidor se presenta congestión cuando:

TEORIA DE COLAS Modelo M/M/1 Investigación de Operaciones TEORIA DE COLAS Modelo M/M/1 Asumimos que existen las siguientes condiciones: Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.

FÓRMULAS PARA COLAS MODELO M/M/1 Investigación de Operaciones FÓRMULAS PARA COLAS MODELO M/M/1

FÓRMULAS PARA COLAS MODELO M/M/1 Investigación de Operaciones FÓRMULAS PARA COLAS MODELO M/M/1

Colas Nomenclatura pii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j después de un intervalo de tiempo Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L Número promedio de clientes en el sistema Lq Número promedio de clientes en la fila W Tiempo promedio de permanencia en el sistema Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila  Factor de utilización promedio del servicio Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Medida del performance en períodos estacionarios. Elementos a estudiar en las COLAS Medida del performance en períodos estacionarios. P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número de clientes promedio en el sistema. Lq = número de clientes promedio en la cola. W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

Medidas del Desempeño para la cola M / M /1 Elementos a estudiar en las COLAS Medidas del Desempeño para la cola M / M /1 P0 = 1- (l / m) Pn = [1 - (l / m)] (l/ m)n L = l / (m - l) Lq = l 2 / [m(m - l)] W = 1 / (m - l) Wq = l / [m(m - l)] Pw = l / m r = l / m La probabilidad de que un cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-(m - l)t

Elementos a estudiar en las COLAS Zapatería Mary’s Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson. El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

l = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. Elementos a estudiar en las COLAS SOLUCION Datos de entrada l = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. m = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora. Calculo del performance P0 = 1- (l / m) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333 Pn = [1 - (l / m)] (l/ m) = (0.3333)(0.6667)n L = l / (m - l) = 2 Lq = l2/ [m(m - l)] = 1.3333 W = 1 / (m - l) = 0.4 horas = 24 minutos Wq = l / [m(m - l)] = 0.26667 horas = 16 minutos Pw = l / m = 0.6667 r = l / m = 0.6667

Colas Ejemplo Un peluquero atiende sus clientes sin cita previa, el primero en llegar es el primero en ser atendido. La llegada de los clientes se distribuye de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 5/hora. Los clientes prefieren esperar el tiempo necesario antes de ser atendidos. El tiempo de corte del cabello está exponencialmente distribuido con un tiempo de corte promedio de 10 minutos. ¿Cual es el número promedio de clientes en el negocio y el número promedio de personas esperando a ser atendidas?

Elementos a estudiar en las COLAS Ejemplo Cont...

Elementos a estudiar en las COLAS Ejemplo Cont... La probabilidad de que los clientes no deban esperar antes de ser atendidos es P0

Ejemplo Cont... Esta probabilidad es: Elementos a estudiar en las COLAS Ejemplo Cont... Esta probabilidad es: Esto indica que el 16.7% de los clientes son atendidos sin hacer cola y el 83.3% deben esperar algún tiempo en la cola antes de pasar a la silla del peluquero.

Elementos a estudiar en las COLAS Ejemplo Cont... Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y el dueño desea conocer qué porcentaje de clientes que esperan deben hacerlo parados. La probabilidad de no encontrar silla es:

Elementos a estudiar en las COLAS Ejemplo Cont... El 40% del tiempo los clientes no encuentran silla disponible. Cuánto debe el cliente esperar en promedio en la cola y en el sistema, está dado por la formulas y LEC y LES En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de 60 minutos respectivamente.