ANALISIS DE FLUCTUACIONES FINANCIERAS A PARTIR DE SERIES DE TIEMPO Dr. Oswaldo Morales Matamoros Comité Nacional de Administración Integral de Riesgos Dr. Alexander Balankin Instituto Politécnico Nacional

CONTENIDO Introducción Capitulo 1: Movimiento Browniano Capitulo 2: Geometría Fractal Capitulo 3: Fluctuaciones en el Mercado Petrolero Conclusiones

Globalización Económica INTRODUCCION Globalización Económica (1973) Liberación económica Fluctuaciones de variables económicas Industria de derivados Fluctuaciones Mercados Financiero Incertidumbre Inversionistas Cobertura Ingeniería Financiera Administración de Riesgos Riesgos

INTRODUCCION Fluctuaciones en los mercados financieros Métodos VaR Administración de Riesgos Identificación y Análisis de Riesgos Fluctuaciones en los mercados financieros Medición de Riesgos Métodos VaR Control de Riesgos Cobertura con productos derivados (Ingeniería Financiera)

INTRODUCCION Precios relativos Identificación y Análisis de Riesgos Análisis de Fluctuaciones en series de tiempo financieras Precios relativos Rendimientos logarítmicos Valor absoluto de rendimientos logarítmicos Volatilidad Enfoque del mB Movimiento Browniano (Geométrico) Modelo B-S 99% valuación portafolios inversión y derivados Modelo del Movimiento Browniano Fraccional Modelo de Multifractales Enfoque Fractal

a) b) CAPITULO 1 Movimiento Browniano: Descubrimiento en 1827 por Robert Brown Comportamiento aleatorio de precios y fluctuaciones de precios a través de tiempo a) b) En 1905 Einstein explica este fenómeno de manera matemática (mecánica estadística) Louis Bachelier en 1900 formula su modelo del Movimiento Browniano para estudiar el comportamiento de precios de los activos financieros

CAPITULO 1 El Movimiento Browniano (mB) supone que: El precio evoluciona como un proceso de Markov y se ajusta a una distribución normal, entonces los precios tienen comportamiento aleatorio y pueden ser positivos y negativos Samuelson (1960) establece el modelo del Movimiento Browniano geométrico para tener solo precios positivos, pero aparecen dos parámetros desconocidos:  (rendimiento medio esperado del subyacente) y  (rendimiento que pagan las opciones)

CAPITULO 1 Fisher Black y Myron Scholes (1973) desarrollan un modelo estocástico para valuar opciones de precios; ya no hay parámetros  ni  Supuestos del modelo de Black y Scholes (B-S): Los precios se comportan como el Movimiento Browniano Geométrico (distribución log-normal) La volatilidad es constante en el tiempo (=1/2) No hay arbitraje (mercados en equilibrio) El riesgo (del impacto de la volatilidad) se elimina a diversificar los portafolios de inversión

CAPITULO 1 El modelo B-S es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, parabólica y lineal (ecuación de difusión del calor), cuya solución representan los precios de los distintos derivados (en un principio, el precio de una Opción Europea) Con el modelos B-S se valúan productos derivados Sin embargo, las crisis financieras son originadas por eventos extremos que se encuentran a 10 o mas desviaciones estándar Ejemplos de crisis económico-financieras : México 1994 y Fondo de inversión Long Term Capital Management, 1997

CASO PRACTICO: LONG TERM CAPITAL MANAGEMENT (1997) CAPITULO 1 CASO PRACTICO: LONG TERM CAPITAL MANAGEMENT (1997) Fondo de inversión fundada por Merriwether bajo el modelo B-S, Merton/Scholes Grupo arbitraje Salomon Bros y profesionales en banca de inversión (matemáticas) Ganancias, por estrategia de convergencia en varios mercados, de 17% hasta 1997 A finales 1997 se redujo capital apalancable; la crisis en Rusia provoco diferenciales en bonos gubernamentales de EU que no se corrigieron, causando mas pérdidas Administradores del fondo vendieron volatilidad (Swaps tasas de interés) Agosto/1998: el fondo pierde su base de capital por cubrir perdidas en sus derivados, por lo que hubo una liquidación masiva de activos Salvamento privado por 3,650 MM USD (90% fondo y 10% inversionistas iníciales) Fondos inversión: estrategia de inversión sin riesgo, al construir y aplicar portafolios de inversión diversificados y tomar posiciones cortas y largas en distintos activos, pero omiten eventos (“extremos”) con probabilidad de ocurrencia de 0.1% o menos (diez desviaciones estándar)

ENFOQUES PARA ANALIZAR SERIES DE TIEMPO FINANCIERAS CAPITULO 1 ENFOQUES PARA ANALIZAR SERIES DE TIEMPO FINANCIERAS MOVIMIENTO BROWNIANO Economistas/financieros aplican un modelo (Movimiento Geométrico Browniano) preconcebido con algunos parámetros desconocidos, forzando el ajuste del modelo a una serie de tiempo que no es estacionaria, mediante la “mejor elección de los parámetros” (con métodos robustos y rigurosos); concluyendo que los datos son difíciles de ajustar en escalas de tiempo muy amplias SISTEMAS COMPLEJOS (“FRACTAL”) Físicos estudian comportamiento histórico de muchos sistemas complejos a través del análisis de series de tiempo que contienen registros de las fluctuaciones de dichos sistemas; al graficar dichas series de tiempo, se obtienen curvas rugosas Se propone el Enfoque Fractal para analizar las fluctuaciones de los mercados financieros, el cual considera a los mercados financieros como sistemas complejos

CAPITULO 1 CURVAS RUGOSAS muchos quiebres que se aprecian mejor a mayor escala de observación: perímetro de costas, perfil de montañas y contorno de nubes; no son derivables en ningún punto (sin tangente)

CAPITULO 2 Geometría Fractal: herramienta matemática para cuantificar el grado de rugosidad de señales Fractales (Mandelbrot, 1970): geometrías (o curvas) complejas e irregulares (rugosas) que permanecen invariantes a cambios de escala y cuya longitud infinita se encuentra dentro de un espacio finito

Prevalece en la Naturaleza CAPITULO 2 Fractales Auto-similares Prevalece en la Naturaleza Auto-afines Determinísticos Estadísticos Aleatorios a) b) a) b) c) Si H (Exponente de Hurst o rugosidad)=0.5 mB (no estacionalidad) Si H >0.5  persistencia Si H <0.5  antipersistencia estacionalidad

CAPITULO 2 a) b) Mandelbrot en las finanzas: 1963: advierte las limitaciones del modelo de B-S: la series de tiempo de precios no son estacionarias, la varianza no tiene que ser finita, no se reconoce la presencia de discontinuidad (eventos extremos) Ajusta los precios con distribuciones de colas pesadas (Levy): ajustan fluctuaciones a pequeña escala y grandes fluctuaciones a corto plazo (modelo del Movimiento Browniano fraccional) a) b)

CAPITULO 2 El modelo Browniano fraccional no caracteriza la volatilidad a diferentes escalas de tiempo Mandelbrot desarrolla el modelo de multifractales

CAPITULO 3 Objeto de Estudio

CAPITULO 3 Análisis Estadístico

CAPITULO 3 Análisis Fractal

Generación de escenarios de precios WTI CAPITULO 3 Generación de escenarios de precios WTI

Posibles escenarios de precios WTI CAPITULO 3 Posibles escenarios de precios WTI

Precios históricos y pronosticos del WTI CAPITULO 3 Precios históricos y pronosticos del WTI

Pronósticos de precios WTI mas probables CAPITULO 3 Pronósticos de precios WTI mas probables

CONCLUSIONES Dos enfoques diferentes para analizar, caracterizar y modelar las fluctuaciones de variables financieras que reflejan el comportamiento de los mercados financieros: del Movimiento Browniano y Fractal; en ambos hay que partir de series de tiempo financieras. Enfoque Browniano: primer modelo estocástico para fluctuaciones de precios; los precios y rendimientos logarítmicos de precios son variables aleatorias independientes y distribuidas por la normal, por lo que el comportamiento de las fluctuaciones se considera un proceso estocástico que no es estacionario y para el cual α=1/2 (H=0.5). El modelo de B-S, piedra angular de la teoría financiera moderna para estrategias de cobertura, se basa en el Enfoque Browniano. Al diversificar el portafolio de inversión, se elimina el riesgo, puesto que no considera la presencia de discontinuidades (eventos extremos con 10 desviaciones estándar), que causan crisis económicas México (1994) y la quiebra de Long Term Capital Management (1997).

CONCLUSIONES Enfoque fractal: basado en la Geometría Fractal; Mandelbrot desarrolló los modelos del Movimiento Browniano fraccional y el de multifractales; este último es aplicado mejor al análisis y modelación de la volatilidad puesto que considera diferentes escalas de tiempo y permite establecer si una serie de tiempo llega a ser estacionaria (correlaciones a largo plazo). Con el modelo multifractal se generaron escenarios de los rendimientos logarítmicos de los precios del crudo WTI, obteniendo precios a la alza y considerando un escenario de precio máximo de mas de 60 usd/barril para inicios de 2006; a diferencia de los pronósticos (con Enfoque Browniano) de cinco compañías de EU que iban hacia la bajo. Enfoque Fractal puede ser herramienta cuantitativa más confiable para caracterizar el comportamiento de fluctuaciones de los mercados financieros, ya que los considera sistemas complejos que despliegan estructuras muy rugosas a diferentes escalas de tiempo-espacio. Esto, a su vez, permitiría generar pronósticos de precios, índices, tasas y tipos de cambio más precisos, los cuales ayudarían a los administradores de riesgos a desarrollar estrategias de cobertura más confiables.

DR. OSWALDO MORALES MATAMOROS SOCIO IMEF PROFESOR-INVESTIGADOR, INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL oswmm2001@yahoo.com omoralesm@ipn.mx

GRACIAS POR SU ATENCION PREGUNTAS?