Ingeniería de la Salud IMAGEN BIOMEDICA Matemáticas de los sistemas de imagen biomédica (II) 2013-14

Métodos de adquisión de imágenes médicas Rayos- X Tomografía Computerizada (CT o CAT) Resonancia Magnética o nuclearMRI (or NMR) PET / SPECT (Positron Emission Tomography, Single Photon Emission Computerized Tomography) Ultrasound Computational What about microscopic scanners! What about electron microscopes? What about voxelization / discretization? What about synthetic methods? Provide Links to the numerous online tutorials!

RayosX

Rayos-X, Física Los rayos-X se asocian con elctrones de la capa interna del átomo. Como los electrones desaceleran cuando chocan con el objetivo, emiten una radiación electromagnética en forma de rayos-X. Se posiciona al paciente entre la fuente de rayos- X y un film _> radiografías Barato y relativamente fácil de usar Potencialmente peligroso para el tejido biológico

RAYOS-X Rayos-X Similar a la luz visible, pero con mayor cantidad de energía

Rayos-X-Visibilidad Los huesos contienen átomos pesados -> con muchos electrones, actuando como un absorbedor de rayos-X. Usado comunmente para visualizar estructuras de hueso y pulmones. Excelente para detectar cuerpos metálicos extraños Principal desventaja: pérdida de la estructura anatómica Todos los demas tejidos tienen un coeficiente de absorción similar de rayos-X

Rayos-X - Imágenes Add images!!! Los rayos-X pueden ser usados en tomografía computerizada

Tomografía Axial Computerizada

Escaner CT(CAT) y su matemática más relevante Introducción a los escaneres CT Algoritmos de reconstrucción Problemas básicos de reconstrucción a partir de proyecciones Reconstrucciones simples usando álgebra lineal El teorema de cortes de Fourier Backproyección (normal y filtrada)

Un sistema de escaner CT Diagnosis médica no-invasiva basada en TC Computer tomography CT (From Jain’s Fig.10.1) An X-ray CT scannng system Un sistema de escaner CT

Diagnosis médica no-invasiva basada en TC La fuente y dectector se mueven alrededor del cuerpo humano (From Bovik’s Handbook Fig.10.2.1)

Diagnosis médica no-invasiva basada en TC Conjunto de proyecciones (integraciones) a través de diferentes ángulos de una sección transversal. Cada proyección pierde la resolución de su estructura interna. Tipo de mediciones transmisión (rayosX), emisión, resonancia magnética (MRI) Se quiere recuperar la estructura interna a partir de las proyecciones

Diagnosis médica no invasiva basada en Tomografía de emisiones La tomografía de emisiones (PET) mide los rayos gamma por la atenuación de los isótopos de un nucleo radioactivo de ciertos componentes químicos existentes en ciertas partes del cuerpo. MRI: basado en el hecho de que los protones poseen un momento mágnetico y un spin En un campo magnético => alineación paralelos o antiparalelos. Aplicación de campo magnético=> alineación antiparalela. Eliminación de campo magnético=> energía absorbida es detectada por los sensores f(x,y) ies una imagen 2D

Principios de la Transformada de Radon Una transformada lineal f(x,y)  g(s,) Integral de línea o “suma de rayos” A través de una recta con ángulo de inclinación  a partir del eje OX y distancia al origen s Fix  to get a 1-D signal g(s) Tenemos un conjunto de imágenes g(s) que representan g(s,) (From Jain’s Fig.10.2) Es una transformada entre espacios 2D

Reconstrucción y Tomografía Lecture Overview Applications Background/history of tomography Radon Transform Fourier Slice Theorem Filtered Back Projection Algebraic techniques Measurement of Projection data Example of flame tomography

APLICACIONES Y TIPOS DE TOMOGRAFIA Medical Applications Type of Tomography Full body scan X-ray Respiratory, digestive systems, brain scanning PET Positron Emission Tomography Respiratory, digestive systems. Radio-isotopes Mammography Ultrasound Whole Body Magnetic Resonance (MRI, NMR) MRI y PET muestran lesiones en el cerebro. PET escanea el cerebro mostrando la enfermedad de Parkison

Aplicaciones (no-medicas) de la Tomografía Non Medical Applications Type of Tomography Oil Pipe Flow Turbine Plumes Resistive/Capacitance Tomography Flame Analysis Optical Tomography                                                                       ECT on industrial pipe flows

Principios de la TC o TAC En ingles CT o CAT (Computerized (Axial) Tomography) Introducida en 1972 por Hounsfield y Cormack Evolución natural de los rayos-X Basado en los principios de que un objeto tres-dimensional puede ser reconstruido a partir de sus proyecciones dos dimensionales. Basado en la transformada de Radon (una aplicación de un espacio n-dimensional a un espacio (n-1)-dimensional) ¡Nuevamente, Radon! De 2D a 3D !

Métodos TAC Mide la atenuación de los rayos a partir de varios ángulos diferentes. Un ordenador reconstruye el órgano bajo estudio en una serie de secciones planas Combina imágenes de rayos-X desde varios ángulos para reconstruir estructuras 3D

La historia del TAC Johan Radon (1917) mostró como era posible matemáticamente una reconstrucción a partir de proyecciones Cormack (1963,1964) introdujo las transformadas de Fourier en los algoritmos de reconstrucción. Hounsfield (1972) inventó el escaner de rayos X computerizado para trabajo médico (gracias al cual, Cormack y Hounsfield compartieron un premio Nobel). EMI Ltd (1971) anunció el desarrollo de un escaner EMI, el cual combinaba medidas de rayosX y sofisticados algoritmos.

Principios de la Retropropagación

Retropropagación Sabemos que ciertos objetos estan en alguna parte en las tiras negras, pero ¿dónde?

Ejemplo simple de reconstrucción por retroprogagación Dadas estas sumas, tenemos que reconstruir los valores de los píxeles A, B, C y D

Técnica de reconstrucción algebraica o ART

Técnica de reconstrucción algebraica o ART METODO 1: Técnica de Reconstrucción Algebraica Técnica iterativa Atribuida a Gordon Propuesta inicial Modelo reconstruido Retro- proyección Proyección Cortes del dato actuales 26

Reconstrucción TAC: Retropropagación filtrada o FBP ( “Filtered Back Propagation”) METODO 2 : Retropropagación filtrada Método muy común Usa la transformada de Radon y el teorema de cortes de Fourier y F(u,v) f(x,y) Gf(r) x s u gf(s) f Dominio espacial Dominio de la frecuencia

Comparación ART versus FBP Técnica de Reconstrucción Algebraica Demasiado lento Mejor calidad cuanto menos proyecciones mejor calidad para proyecto no-uniforme . Reconstrucción “guiada”. (¡propuesta inicial!) Retropropagación filtrada Barato computacionalmente En uso clínico, sobre 500 proyecciones por corte Problemático para proyecciones con mucho ruido 28

Teorema de cortes de Fourier El cuerpo del paciente se describe como una distribución espacial de los coeficientes de atenuación.

Propiedades de los coeficientes de atenuación Nuestra transformada: f(x,y)  p(r,)

Unidades Hounsfield El coeficiente de atenuación se usa en el número CT (o TAC) de los diiferentes tejidos Estos números se representan en unidades Hounsfield= HU Los números CT usan los coeficientes de atenuación.

La transformada de Radon: Propiedades Recuerda: f(x,y)  p(r,)

Sinograma versus Hough

The object An aside The sinogram AN ASIDE

Integrales de Línea y Proyecciones

Integrales de Línea y Proyecciones La función P = Radon transformada Función objeto f(x,y). La función se conoce como la transformada de Radon de la función f(x,y).

Abanico de haces Haz en paralelo Tenemos un abanico de haces cuando los rayos se cortan en un punto. Los haces paralelos se forman midiendo un projections are taken by measuring a set of parallel rays for a number of different angles Pueden ser usados varios tipos de haces

Integrales de línea y proyecciones Una proyección se forma combinando un conjunto de integrales de línea. Se muestra aquí, las proyecciones más simples son las que conforman la colección de integrales de rayos paralelos, i.e. θ constante. Notación para los cálculos en estas proyecciones

Integrales de línea y proyecciones Un diagrama simple mostrando una proyección de haz en abanico (fan beam projection)

Teorema de las secciones de Fourier

Teorema de las secciones de Fourier El teorema de las secciones de Fourier se deriva de la transformada de Fourier uno-dimensional de una proyección paralela, considerando que es igual a una sección de la transfromada de Fourier dos-dimensional del objeto original. Se sigue que dado un conjunto de proyecciones, debe ser posible estimar el objeto simplemente realizando la transformada inversa de Fourier 2D. Comenzamos definiendo la Transformada de Fourier 2D de la función objeto: Por simplicidad θ=0, que significa v=0 Definimos la proyección en el ángulo θ = Pθ(t) Definimos su transformada como Como el factor fase no depende de y, la integral puede separarse

Teorema de las secciones de Fourier Como el factor fase ya no depende de y, la integral puede separarse: La parte entre corchetes es la ecuación para la proyección a lo largo de rectas con x constante Sustituyendo en Nos queda la siguiente relación entre la proyección vertical y la transformada 2D del la función objeto:

Teorema de las secciones de Fourier Stanley and Kak No daremos ahora los detalles completos de la derivación

El teorema de las secciones de Fourier El teorema de las secciones de Fourier relaciona la transformada de Fourier del objeto a lo largo de una recta radial t Transformada de Fourier v u θ Dominio del espacio Dominio de la frecuencia

El Teorema de las secciones de Fourier Colección de proyecciones de un objeto en un número de ángulos t v u Transformada de Fourier v u θ Para la reconstrucción se determinan los valores sobre un mallado cuadrado por interpolación lineal a partir de puntos radiales. Pero para las altas frecuencias los puntos están muy separados y crea una degradación de imagen. Dominio espacial Dominio frecuencial

Retroproyección de la transformada de Radon

Retroproyección de la transformada de Radon

La retropropagación filtrada crea lados con picos- Ideal cylinder Lados borrosos Lado con picos La retropropagación filtrada crea lados con picos-

Equipo de Tomografía Computerizada

TAC - 2D vs. 3D Avance lineal (sección por sección) Método clásico El tumor puede encontrarse entre las fisuras toma mucho tiempo Movimiento helicoidal 5-8 veces más rápido

Evolución de la tecnología TAC

TC o TAC - Ventajas Se recolectan una cantidad muy grande de datos superior a los escaneos simples de rayos X mucho más fácil separar los tejidos blandos que el tejido óseo de otro (e.g. higado, riñon) los datos se reciben en forma digital-> pueden ser analizados cuantitativamente añade una cantidad de información enorme a la información diagnóstica usado en muchos hospitales y centros médicos en todo el mundo

TC o TAC- Desventajas Se recogen una cantidad ingente de datos La absorción de los rayos X del tejido blando es relativamente similar representa todavía un riesgo para la salud IRM se usa para una visualización detallada de la anatomía (no conlleva el uso de rayos X).

Resonancia Magnética Nuclear (RMN) Imagen deResonancia Magnética (MRI)

IMR (RMI) La Resonancia Magnética Nuclear (RMN) (o Imagen de Resonancia Magnética- IRM) Información anatómica más detallada No usa una radiación alta de energía, es decir, es un “método seguro”. Basado en el principio de resonancia nuclear (medicina) usa las propiedades de resonancia de los protones

Imagen de Resonancia Magnética-Polarizada Todos los átomos (núcleos) con un número impar de protones tienen un “spin”, que define su comportamiento mágnético. Hidrógeno (H) – muy común en el cuerpo humano + se magnetiza muy bien Estimula la formación de u campo magnético macroscópicamente medible

IRM - Signal to Noise Ratio Imagen de densidad de protones- mide H IRM es apropiada para tejidos blandos, pero no para hueso. Señal recogida en el dominio de frecuencias!! Ruido – cuántos más protones por unidad de volumen, más preciso son las medidas. El SNR (signal to noise ratio) es mejor a medida que decrece la resolución de la imagen.

PET/SPECT Tomografía de Emisión de Positrones Tomografía Computerizada de Emisión de Fotón Simple

PET/SPECT Positron Emission Tomography Single Photon Emission Computerized Tomography Técnica reciente envuelve la emisión de partículas de antimateria cuando el cuerpo humano es escaneado, a través de la inyección de componentes Tecnicas de reconstrucción similares a las del TC – Retroproyección Filtrada & esquemas iterativos

Ultrasonidos

Ultrasonidos El uso de ondas de sonidos de alta frecuencia (ultrasonidos) para producir imágenes de estructuras dentro del cuerpo humano por encima del rango del sonido audible para los humanos (aproximadamente por encima de los 1MHz) un cristal piezoeléctrico crea las ondas de sonido se aplica a una parte específica del cuerpo las ondas reflejan los cambios en la densidad de tejido se graban los ecos

Ultrasonidos (2) El retraso en la señal reflejada y en su amplitud determinan of la posición del tejido imágenes fijas o en movimiento dentro del cuerpo no existen ejemplos conocidos de daños en tejidos usando dispositivos de ultrasonidos convencionales se usan comunmente para examinar fetos en el útero de cara a discernir su tamaño, posición y anormalidades se usa para el corazón, hígado, riñones, pecho, ojo y vasos sanguíneos mayores.

Ultrasonido (3) de lejos el menos caro muy seguro muy ruidoso scaneres 1D, 2D, 3D muestreo irregular- problemas de reconstrucción