Cindy Wyels Departmento de Matemáticas y Física California State University, Channel Islands

2 Paso de empedrados: de un vértice con al menos dos piedritas, quita dos piedritas de este vértice y pone una piedrita en un vértice adyacente. Distribución de empedrados: la distribución de piedritas en los vértices de una gráfica 1 1

Otro ejemplo:

1 1 1 ¿Podemos mover una piedrita?

3 ¿A cuales vértices podemos mover una piedrita?

Quisiera mover una piedrita a cualquier vértice. ¿Cuantas piedritas necesito dar al distributador si es un enemigo ingénioso? ¿Cuantas piedritas necesito dar a la distributadora si es una amiga inteligente?

¿Cuantas piedritas necesito dar al distributador si es un enemigo ingénioso? ¿Cuantas piedritas se necesita para garantizar que todas las distribuciones sean solubles? Digamos que una distribución es soluble cuando podemos mover una piedrita a cualquier vértice. ¿Cuantas piedritas necesito dar a la distributadora si es una amiga inteligente? ¿Cuantos piedritas se necesita para tener al menos una distribución soluble?

? Pregunta: ¿podemos “empedrador” cualquier vértice? (¿Es la distribución soluble?) Sí.Sí.

3 1 3 ¿Necesitamos todas estas piedritas? 2 2 ¿Son todas las distribuciones con 9 piedritas solubles?

El número de empedrados de G, f(G), es el número más pequeno para que toda distribución de f(G) piedritas en los vértices de G sea soluble. (enemigo) El número óptimo de empedrados de G, f opt (G), es el número mínimo de piedritas para que exista una distribución soluble de f opt (G) piedritas en G. (amiga) Sea G una gráfica.

Porque hay una distribución insoluble con 9 piedritas en la gráfica de Petersen, ya sabemos que su número empedrado es más de

Porque hay una distribución soluble con 8 piedritas en la gráfica Peterson, ya sabemos que su número óptimal de empedrados es 8 ó menos

El Número Empedrado de un Camino f(P n ) = 2 n P n es el camino (“path”) de n+1 vértices. f(P 4 ) = 16 ¿Que es el número t, el más pequeno para que toda distribución de t piedritas en los vértices de P n sea soluble?

Límites para Números de Empedrados El diámetro de una gráfica, d, es el largo del camino más grande en la gráfica. 32 Sabemos: n ≤ f(G). Tenemos 2 d ≤ f(G). Sea G alguna gráfica en n vértices.

Si pongo al menos 2 d piedritas en algun vértice, o si pongo al menos 1 piedrita en cado vértice, entonces la distribución tiene que ser soluble. max{n,2 d } ≤ f(G) ≤ (2 d -1)(n-1)+1. Límites para Números de Empedrados Sea G alguna gráfica con n vértices, y supongamos que G tiene diámetro d.

Empedrados y Gráficas Completas max{n,2 d } ≤ f(G) ≤ (2 d -1)(n-1)+1 n ≤ f(K n ) ≤ n d =1 nos da esto es f(K n ) = n K5K5

10 ≤ f(Pete) ≤ 28. max{n,2 d } ≤ f(G) ≤ (2 d -1)(n-1)+1 d = 2 n = 10

Ciclos f(C 2k ) = 2 k C5C5 C6C6 f(C 2k+1 ) = 2[2 k+1 /3]+1 Aproximadamente, f(C n ) ~ 2 n/2.

Gráficas Telerañas Modificadas Una gráfica teleraña modificada,, es una gráfica teleraña con un vértice adicional al centro.

Gráficas Telerañas en comparición con Gráficas Telerañas Modificadas Nota que cuando n > 5, cambian los diámetros de las gráficas.

Pebbling numbers for Modified Web Graphs n,t NOTA: estos son límites inferiores. Juan Zuñiga (estudiante)

Empedrado de Gráficas Escalera

La meta es w 1. Hay 2 n piedritas. Caso 1: Supongamos que v 1 tiene un piedrita. Entonces hay a menos 2 n - 1 piedritas adicionales en el lado derecho o en el lado izquierdo. Pero f(E n-1 ) = 2 n-1 : hay bastante para mover una piedrita a v 1 (el segundo piedrita en v 1 ) o a w 1 (la meta). Prueba para 1

n = 1: E 1 = P 2, y ya sabemos que f(P 2 ) = 2 1. En general: supongamos que f(E n ) = 2 n. Pongamos 2 n+1 piedritas en E n+1. Nota que 2 n+1 = 2 n + 2 n ; entonces tenemos bastante piedritas para mover una piedrita a w 2, dos veces. Caso 2: Supongamos que v 1 tiene 0 piedritas. Vamos a usar el método de inducción. 0

Caso 3: la meta es w k. Parta la grafica en una copia de E k, y otra copia de E n-k_1. Si no puedo mover una piedrita de la copia de E k á w k, entonces esta E k no tiene más que 2 k -1 piedritas. Si no puedo mover una piedrita de la copia de E n-k+1 á w k, entonces esta E n-k+1 no tiene más que 2 n-k+1 -1 piedritas. Pero, 2 k n-k+1 2 n, entonces algún copia de una escalera más pequeña tiene bastante piedritas para llegar una piedrita a w k. Pero, 2 k n-k+1 -1 < 2 n, entonces algún copia de una escalera más pequeña tiene bastante piedritas para llegar una piedrita a w k.

Resultados de Escaleras para Victor X. Rodriguez (estudiante)

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas vértice que corta: si se quita este vértice de la gráfica, sera inconexa. a c b

a c b (Cada vértice invisible recibe 1 piedrita) 3 piedritas en c Si G tiene un vértice que corta entonces f(G) > n. (Cada vértice invisible recibe 1 piedrita)

Teorema: Si una gráfica G en n vértices tiene diámetro 2, entonces f(G) ≤ n+1. Nota: el corolario implica que casi toda grafica satisface f(G) = n. Corolario: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n. Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas

3-conectada es necesaria: el diámetro de G es 2, y G tiene ningun vértice que corta, pero f(G) = 7. Cor: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n. 3 3 G

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas Cor: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n. f(Pete)=10.

Números Óptimos de Empedrados ¿Cual es el número óptimo de empedrados de la gráfica Petersen? (4) Indirecta: d = 2

Escriba P n como P 3t+r donde r es 0, 1, ó 2. Teorema: El número óptimo de P 3t+r es 2t + r. Números Óptimos de Caminos f opt (P 3t+r ) = 2t + r

Escriba C n como C 3t+r donde r es 0, 1, ó 2. Teorema: El número óptimal de C 3t+r es 2t + r. Números Óptimales de Ciclos f opt (C 3t+r ) = 2t + r

Números Óptimales de Escaleras Tenemos un método para investigar los números óptimos para todas las gráficas que se pueden definir con inducción.

Una Idea Símilar: Pinzado Las reglas para mover pinzas: una pinza salta otra hasta un vértice adyacente. La pinza saltada es eliminada.

¿Podemos mover una pinza a cada vértice?

¿Qué significa esta situación cuando se habla del número pinzado de esta gráfica?

Los resultados de Jason Counihan (estudiante) g(P n ) = n-1 g opt (P 2k+r ) = k+r

g(P n ) = n-1 g opt (P 2k+r ) = k+r g(C n ) = n-2 g opt (C 2k+r ) = k+r g(K n ) = g opt (K n ) = 2 Si G es bipartita, g(G) es más que el número de vértices en el subconjunto más grande. Si d es el diámetro de G, entonces g(G)  d-1. Más resultados de Jason Counihan

Otros estudiantes (que conozco) que han descubierto algo de empedrados en gráficas Victor Moreno, (profesor), Juan Zuñiga, (profesor), Marlene Merchain, Modesty Briggs Sean Pederson, Ronald Martinez, Philip Gonzalez, Victor Rodriguez Además: Karl Fedje, Blaise Djegoue, y Jason Counihan

Algunas Preguntas Abiertas Relaciones de la conexión de vértices y el número de empedrados (al estilo: vértice que corta => f(G) > n) Falta mucho de saber en cuanto a determinar números óptimos de empedrados de varios tipos de familias de gráficas. Es posible encontrar una conexión más fuerte entre el diámetro, el número de vértices, y el número de empedrados?

Más Preguntas Abiertas La conjetura de Graham (muy famosa) El número de empedrados del producto de n copias de C 5 (Herscovici y Higgins ya resolvieron el caso de n = 2) Números de pinzados para muchos tipos o familias de gráficas Y más… ¡Si no les falta imaginacion, no les faltarán de preguntas!

¿Cuales resultados van a descubrir Ustedes? Mi pregunta final (para hoy):