Funciones de conversión interoperacional y constantes asociadas Elaborado por Jaime Erwin Blanco Niño 1

Resumen Las funciones de conversión operacional entre funciones de sumatoria y factorial se generan por el producto funcional de interconversion reciproca dada la proporcionalidad de las cantidades comparadas. Aqui se estudian constantes numéricas asociadas a la recta de su caída o pendiente, los números áureos y ecuaciones cuadráticas áureas. Algunas de estas funciones son semiexponenciales o semilogaritmicas. Las funciones de conversión de sumatoria a factorial pueden ser amplificadoras y las de factorial a sumatoria reductoras. 2

Abstract Operational Conversion functions between summation and factorial functions are generated by the reciprocal interconversion of functional product given the proportionality of the quantities compared. Here we study numerical constants associated with the line of fall or slope, and quadratic equations Golden Numbers aureus. Some of these functions are semiexponenciales or semi-logarithmic. The conversion functions for factorial sum may be amplifying and reducing summation of factorial. 3

Estudio de la función k-funcional entre dos funciones asociadas a x Y entre funciones de producto: potencial de 2, factorial y cuadrado de x, con estudio de valores de pendiente en recta de linealizacion, ecuación cuadrática de números áureos y raíces, contantes varias relacionadas a la conversión y/0 linealizacion asociada. 4

Convertibilidad interfuncional 5

Imagen de la función sumatoria a partir de valores del factorial de x 6

Grafica de conversora fc₂ intercuadraticas f₃⁄f₁ 7

Introducción Concebir relaciones entre funciones de adición y multiplicación y procurar una expresión o interpretación de las mismas a nivel grafico es un desafío poco corriente pero quizá hoy disponible gracias a los alcances de los nuevos sistemas de comunicación y graficación en Excel particularmente. Aquí se pretende demostrar que es posible interpretar algunas relaciones entre funciones de tipo aditivo o sumatorio y funciones multiplicativas de tipo factorial por ejemplo. 8

Noción de función sumatoria o “aditiva” Básicamente se podría definir la función sumatoria como el resultado de sumarle los números de sucesión natural a un guarismo determinado según su magnitud…así por ejemplo la función sumatoria o aditiva de 3 seria …en forma análoga a como se procede calculando el producto numérico con los factoriales según el valor del numero calculado … 9

Tabla de la función sumatoria La función sumatoria o aditiva va creciendo porque a cada numero le suma los anteriores según el orden natural, a semejanza de como opera la función factorial en cada numero. Es creciente y continua en este rango. x¡

Grafica de la función sumatoria o “aditiva” La función sumatoria de x aparece como una cuerda y es creciente o continua en su rango…su recta tangente asociada le curta en dos puntos y tiene una pendiente de 3,5, es decir 7/2. 11

Interpretación de esta función Σx =x¡ Es una función de sumatoria Σx o aditiva en x que crece con el valor de x de manera casi exponencial…la pendiente asociada de la recta tangente a la cuerda vale m=3,5 por lo que la curva asemeja en proporcionalidad bastante una recta. Pero los cálculos de esta función siguen la forma: Σm =m ¡= ….( m-2 ) + (m – 1 )- m según el numero de sumandos que alcance a cubrir el numero calculado en cuestión.(Donde m=x) 12

Relación de la sumatoria con el potencial de 2. Siendo m= 7/2 se tiene que la función es casi lineal aunque hablando estrictamente no lo es. Un calculo aproximado de esta función sumatoria seria para ∑x = 1 x¡ = 2ⁿ ̄¹ ( 6 – n ) ( siendo n = - 2 ) Para ∑x=3 se tendría la formula : x¡ = 2ⁿ ( 6 – n ) - 2ⁿ o X¡ = 2ⁿ ( 5 – n ) ( siendo n = - 1 ) Para ∑x=6 y ∑x=10 se tendría la ecuación: X¡ = 2ⁿ ( 6 – n ) ( siendo n un valor N entre [ 0, 1 ] ) Para x¡ = 15 y x¡ = 21 o subsiguientes se usaría el algoritmo: X¡= 2ⁿ ( 6 – n ) - 3ⁿ̄ ̄ ² ( para n ≥ 2 estando n=N entre [ 2,3] ) y así sucesivamente se agregan sumandos en cada calculo de función sumatoria…verbigracia sumando s = 5 para n=4. Así asumiendo que hay sumandos potenciales aquí se deduce que ∑x =x¡ =2ⁿ ( 6 – n ) ±s. 13

Tabla de relación sumatoria a potencial de 2 x¡2ˣ

Grafica de función potencial reflejo de sumatoria con pendiente m= 3. 15

Función factorial ( x! ) xx!

Datos de la función factorial Los valores de x reflejados en la función factorial nos llevaran a una función creciente quizá de tipo exponencial o potencial que mostrara continuidad y incremento paulatino según el aumento de los valores de x.Una analogía podría establecerse con lo que sucede en la progresión geométrica respecto de la aritmética si se compara esta función con la sumatoria. Así aunque esta es una función especial poco abordada en los textos es útil para describir el comportamiento numérico y aumentar la comprensión del cosmos. 17

Grafica de la función factorial 18

Interpretación de la pendiente asociada a la recta que corta la curva en 2 puntos La grafica muestra una función creciente que empieza siendo constante y al curvarse genera una concavidad en ángulo,pero la función tiende de manera continua hacia sus mayorantes cada vez mas…no obstante presenta una gran punta de arco o giba en ángulo…la pendiente de la recta promedio asociada a ella tiene un valor de 19,086 que concuerda justamente con πe√5. Es decir m = πe√5 19

Tabla de valores de potencial de 2 reflejada desde factorial de x. x!2ˣ

Grafica de potencial imagen de factorial de x.Forma semilogaritmica 21

Pendiente de la relación factorial aplica a potencial, m= 0,

Pendiente de la recta asociada a la curva en esta función factorial aplica a potencial La pendiente de la recta de linealizacion asociada a la curva vale y al multiplicarla por π genera como resultado que es aproximadamente ¼ Con un delta ∆ = Es decir mπ =¼, de donde m= 1/ 4π. 23

Tabla de valores de potencial reflejada o aplicada en factorial 2ˣx!

Función factorial de forma semi- potencial 25

La pendiente de esta función =4e La grafica tiene una forma semi exponencial o semi potencial y es función factorial o gamma con una recta asociada de pendiente m= que equivale a 4e pues m/e = , es decir m= 4e. 26

Tabla de datos de función conversora para a(x) desde x=0 xvalor de f(x)=a(x)

Tabla de datos de función conversora amplificados por 100 xvalor de f(x)

Grafica de función conversora a(x) 29

Examen de la pendiente de linealización en esta función: La pendiente m= dividida en π genera el numero: m/π = , valor muy similar a log e que solo difiere de este en ∆ = ,es decir m/ π – log e = , pues z= log e = Esto es m=πz,que equivale a m = π log e. Pero a su vez π – e = , existiendo escasa diferencia entre m/π - (π – e ) = y entre : Log e – (π - e )= Así e – π +m/π = 0 equivale a e – π + log e = 0. Si se examina m= π ( π – e ) + π ( 11 / 1000) aproximadamente, de donde se infiere que: 30

El valor de la pendiente de lineal asociada a función de conversión a(x) en función cuadrática de π π² - e π + (11/1000 ) π – m = 0 de lo cual se deduce que: π² - ( e - 11/1000 ) π – m = 0 que generaría Las raíces: π₁ = [ ( e - 11/1000 ) + √ (( e - 11/1000 ) ² + 4 m ) ] / 2 π₂ = [ ( e - 11/1000 ) - √ ( ( e - 11/1000 ) ² + 4 m )] / 2, En donde si obviamos el decimal de la fracción 11 milesimales tendríamos una expresión como : π₁ = [ e + √ ( e ² + 4 m ) ] / 2 π₂ = [ e - √ ( e ² + 4 m )] / 2, donde m es la pendiente de linealización de una función de conversión para función potencial que aplica en factorial. Y donde m estaría en la ecuación cuadrática: π² - e π - m = 0, esto es m= π² - e π. 31

Ecuación cuadrática para π con 10 a la contante z y la pendiente m de la función conversora de a(x) a x! Y dado que z = log e se tiene : 10ᶻ = e, pero como log e = π – e aproximadamente entonces : z = (π – e ), es decir: π² - e π - m = 0 se transforma en : π² - 10ᶻ π - m = 0 (ecuación cuadrática para π con potencia de 10 en coeficiente de variable) con soluciones : π₁ = [10ᶻ + √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2 π₂ = [10ᶻ - √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2, pero log z = -w y log w = -z, donde z y w son los únicos números inversos que cumplen con las formulas z = 10 ̄ᵂ y w = 10 ̄ᶻ (ecuaciones potenciales inversas de base 10 con constantes inversas z y w )…entonces 32

Valor de π desde potencia de 10ᶻ. z = 1 / 10 ᵂ y en consecuencia z 10 ᵂ = 1 es decir 10 ᵂ = z ̄¹ de donde w = log ( 1 / z )….a su turno w= |log z |= similar a 1/e = pues hay solo una diferencia ínfima de ∆ = w = 10 ̄ᶻ, lo que significa que w = 1/ 10 ᶻ, es decir W 10 ᶻ = 1, de donde 10 ᶻ = 1/w que sugiere que z= log w ̄¹ = log (1/w) entonces 10 ᶻ = 10ᶦᵒᶢ ¹∕ ᵂ = 1/w = w ̄¹ De donde π²- 10ᶻ π - m = 0 se convierte en π² -w ̄¹π -m =

Valor de π desde w y m Que genera las soluciones : π₁ = [w ̄¹ + √ ( w ̄² + 4 m )] / 2 π₂ = [w ̄¹ - √ (w ̄² + 4 m )] / 2, donde siendo e = 10 ᶻ = w ̄¹ = 1/ la ecuación de e bien podría transformarse en: ( 10 ) ⁽ ̄ᵂ ⁾ e = 10, (siendo loge + logw =0 ) π = [w ̄¹ ± √ (w ̄² + 4m) ]/ 2…si se reemplaza e = w ̄¹, 10 ⁽̄ᵂ⁾ 2 [ 10 ⁽̄ᵂ⁾ ] π = [10 ± √ ( m ) ] / 2 34

Progresión de adición y producto factorial- teorema sumatorio Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra factorial mediante la constante de conversión apropiada. Teorema 1: De manera general se tendría para n₁>o,o, n₁ positivo o natural : Σx = n ₀+ 2 ( n₁ – 1 ) para n₁< 3 ; 0¡ = 1 v Σ0 = 1; 1¡ = 1 v Σ1=1; Así n₀ = 1, n₁= 1, n₂=3, n₃= 6, n₄= 10, n₅= 15, etc. En donde para n₁>3 se debe añadir un sumando de potencia de 3ᵐ así: Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + 3ᵐ ( aquí m=0 y m=1 hasta n₅ = 15 )…En general: Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] ⁽ ⁿ¯⁴ ⁾⁽ⁿ¯⁵⁾ 3ᵐ y así sucesivamente en cadena según el grado de complejidad en n o enésimo.(Formula general hasta n₅) Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra factorial mediante la constante de conversión apropiada. Teorema 1: De manera general se tendría para n₁>o,o, n₁ positivo o natural : Σx = n ₀+ 2 ( n₁ – 1 ) para n₁< 3 ; 0¡ = 1 v Σ0 = 1; 1¡ = 1 v Σ1=1; Así n₀ = 1, n₁= 1, n₂=3, n₃= 6, n₄= 10, n₅= 15, etc. En donde para n₁>3 se debe añadir un sumando de potencia de 3ᵐ así: Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + 3ᵐ ( aquí m=0 y m=1 hasta n₅ = 15 )…En general: Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] ⁽ ⁿ¯⁴ ⁾⁽ⁿ¯⁵⁾ 3ᵐ y así sucesivamente en cadena según el grado de complejidad en n o enésimo.(Formula general hasta n₅) 35

Deducción de la función conversión por despeje de la formula x!=fv ∑x (donde fv será la función de conversión o función variante ) 36

Tabla de la relación de funciones sumatoria y factorial Σx = x¡x!

Proporcionalidad interfuncional 38

Interpretación de la proporcionalidad o relación interfuncional y su recta asociada La pendiente de la recta tangente asociada es 28,052 pero existe patrón de función antes que de proporcionalidad lineal estricta, además se observa una curva con bastante vejiga lo que muestra una gran fluctuación de la función y un patrón irregular antes y después del valor de 2 en que la coordinación de progresividad de los valores de ambas funciones se altera ya que si bien factorial es mayorante respecto de sumatoria antes del valor de 2 no lo es, sino que se muestra como minorante mientras sumatoria parecería mayorante..este punto de inflexión hace verificar que la proporcionalidad varia y no se mantiene constante y que por tanto quizá las funciones asociadas de conversión tendrán esta fluctuación de manera inmanente a su comportamiento numérico. Y ello marcara el cambio decisivo en las relaciones de proporcionalidad interfuncional. 39

Influjo probable de la función de conversión en la relación interfuncional Así pues verificamos mas bien una inversión de la proporcionalidad en las relaciones entre funciones especiales que procederían del producto de otras dos funciones, una de las cuales actuaria como constante k- funcional de convertibilidad para generar la otra función de mayorante relativo o minorante relativo según el caso..en esto lo mas interesante será observar el patrón de la función asociada de conversión y su variación o inflexión en valores para generar los mayorantes o minorantes funcionales relativos de orden especial, como parte de estas funciones procedentes del producto de funciones… 40

Valor de la pendiente de la recta asociada a la relación interfuncional El valor de la pendiente de la recta asociada a la curva de relación interfuncional que es m= parece estar relacionado con el duplo del producto de 3 constantes a saber: m= 2 e ϕπ = pero en realidad es algo mas del duplo, es , que es aproximadamente la raíz sexta de 70, entonces: m=( ⁶√ 70) πϕe, donde ϕ = 1, ( numero áureo el cual elevado a la 3 y disminuido en 1 configura una constante k que a su vez elevada a la 6 y aumentada en 1 genera el numero e así: ϕᶟ - π = k = 1, , de donde k⁶ + 1 = e; además dado que k= ⁶√(e -1) se tiene ϕᶟ =π+k = π + ⁶√( e – 1 ), es decir : ϕ =ᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )], lo cual 41

La pendiente de la recta en la curva factorial en términos de e y π Generaría la expresión: m = ( ⁶√ 70) πe ᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )] aproximadamente donde ϕ ya no aparecería pues cantidades como π y e estarían por dentro y por fuera del radical en el calculo de la pendiente. No obstante el relacionar un numero de oro como ϕ presente en la naturaleza y aquí en nuestro mundo ideal de rectas y curvas funcionales resulta un punto mas a favor de la presencia de ϕ en nuestro mundo aparte de que: ϕ² = ϕ + 1 y consecuentemente: ϕ² - ϕ – 1 = 0, que configura las raíces cuadráticas : 42

Valores hallados del numero áureo ϕ = [1 + ­ √ ]/ 2, de donde: ϕ₁ = [1 + √5 ]/2 y ϕ₂= [ 1 - √5]/2, es decir ϕ₁ = y ϕ₂= , que es igual a –(ϕ – 1 ), esto es: ϕ₂ = –(ϕ – 1 ), de donde se genera ϕ₂ + (ϕ – 1 )= 0 lo que equivale a sostener que: ϕ = 1 - ϕ₂, lo que configura que la suma de estas raíces da 1, siendo una de ellas el numero áureo descrito y evidenciado en los cálculos de los datos de esta curva, así: ϕ + ϕ₂ = 1, donde ϕ = ϕ₁ que como números de reflexión mutua no son mas que el numero dorado y una de las raíces cuadráticas de la función cuadrática descrita previamente arriba mientras que la segunda raíz difiere del numero áureo pero mantiene cierta simetría aurea con el 1 al ser el sustraendo de la unidad que configura el minuendo áureo, es decir al ser un cierto minorante negativo respecto del mayorante áureo..aquí la suma de este mayorante y minorante configuran la unidad por cuanto uno de los dos números es negativo…es como si el segundo numero fuera el numero antiaureo u opuesto funcional que existe como raíz cuadrática en la función del nombre y que igual anula el valor total al aplicarse como valor variable en la función cuadrática asociada a números áureos así. 43

El áureo negativo, inverso de un anti-áureo” El numero que es – ϕ₁ surge del inverso de ϕ₂, es decir – ϕ = 1/ ϕ₂, que equivale a : -ϕ₁ ϕ₂ = 1, que a su vez seria: - ϕ ϕ₂ = 1 de donde se obtiene: 1 + ϕ₁ ϕ₂ = 0 que también se expresaría: 1 + ϕ ϕ₂ = 0. Por otra parte dado que ϕ + ϕ₂ -1 = 0 se tiene que : 1 + ϕ ϕ₂ = ϕ + ϕ₂ - 1 de lo cual se infiere que: 1 + ϕ ϕ₂ - ϕ = ϕ₂ - 1, y, ϕ (ϕ₂ - 1) - (ϕ₂ - 1) + 1 = 0, por lo cual: (ϕ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0,asi: (ϕ₁ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0.Y entonces: ϕ ϕ₂ - ϕ - ϕ₂ = 0, es decir: ϕ₁ ϕ₂ - Σ ϕ + 2= 0 que equivale a ϕ₁ ϕ₂ - (ϕ₁+ ϕ₂ ) + 2= 0 44

Numero áureo, relaciones especiales ϕ ϕ₂ - (ϕ + ϕ₂ ) + 2= 0 de lo que puede deducirse que: ∑ ϕ - ϕ ϕ₂ = 2.Y factorizando ϕ + ϕ₂ - ϕ ϕ₂ = 2 puede suponerse que: ϕ ( 1 - ϕ₂ ) = (2 - ϕ₂) y concluirse que: ϕ =( 2 - ϕ₂ ) / ( 1 - ϕ₂ ) mientras que : ϕ₂ ( 1 - ϕ ) = (2 – ϕ) Que equivale a : ϕ₂ = ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ )…en todo esto se observaría que aunque no hay sino un solo numero áureo en realidad este se define indirectamente también a partir de la resta de 1 menos ϕ₂,la segunda raíz aurea así: ϕ = 1 - ϕ₂, es decir ϕ = 1 - ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ), que equivale a : ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ) + ϕ – 1 = 0 que generaría una nueva ecuación cuadrática aurea de la forma:- ϕ² + ϕ + 1 = 0. 45

Soluciones cuadráticas áureas Que configura las raíces cuadráticas: ϕ = [-1 + ­ √ ]/ - 2 con raíces análogas a las de la anterior ecuación de este tipo ϕ₁ y ϕ₂.Donde ϕ₁ = [-1 ­ √ 5 ]/ - 2 ϕ₁ = y en que ϕ₂= = [-1 + √ 5 ]/ - 2 ϕ₂=

Tabla de valores para la ecuación y= x² - x – 1 donde x=ɸ para y=0 xy= x²- x

Ecuacion cuadrática con dos valores de ɸ en el eje y=o 48

Tabla de valores para la ecuación y= x² - x – 1 donde x=ɸ para y=0 xy=x²-x

Ecuacion cuadrática con dos valores de ɸ en el eje y=o 50

La presencia del numero áureo En una segunda instancia tenemos que : ϕᶟ - π = k, y k⁶ + 1 = e, con lo cual se tiene que: (ϕᶟ - π )⁶ + 1 = e, lo cual supondría que podemos despejar el numero áureo en termino de otros numero y viceversa o igualar a cero así: (ϕᶟ - π )⁶ - e + 1 = 0 (ecuación para 3 algunas constantes clásicas).Si se despeja la constante π por ejemplo el calculo podría introducirse en ecuaciones en que no figura el numero áureo…en este caso: ϕᶟ -π = ⁶√ (e – 1) de lo cual: π = ϕᶟ - ⁶√ (e – 1) y al mismo tiempo e = (ϕᶟ - π )⁶ + 1. Nótese que ϕ = (1 + √ 5 ) / 2 = 1 – [ (1 - √ 5 )/2 ] (numero áureo ) y que esta proporción cabe en estas regularidades.Asi se obtiene (ϕᶟ - π )⁶ - e + 1 = 0. 51

Tabla de datos para la imagen de factorial en sumatoria x!Σx = x¡

Imagen de la función sumatoria a partir de valores del factorial de x 53

Variación de la pendiente de la recta promedio de esta proporcionalidad interfunciones La pendiente de la recta tangente a la curva de proporcionalidad corta en 2 puntos la función y vale 0,0241…no obstante como la relación no es lineal sino funcional nos hallamos ante una función sumatoria que procede del producto de 2 funciones una la factorial y otra quizá la de conversión inversa por cuanto estamos reduciendo de una función de mayor magnitud a otra de menor valor, es decir la función factorial es ordinariamente mayorante respecto de la sumatoria…exceptuando el valor 2! = 2 que altera la coordinación de proporcionalidad ordinaria por cuanto ∑2 = 2¡ = 3 por lo cual observamos una fluctuación de concavidad o protuberancia en la curva que difiere el patrón general antes y después del valor de 2. 54

Interpretación del valor de la pendiente asociada a la recta tangente a la curva de relación Sea m= 0,0241 la pendiente tenemos que 1/mπ²e = π/2 Así esta pendiente que podría ser por ejemplo m =α se describiría por la ecuación: α = 2 / πᶟ e pero πᶟ =31 aproximadamente, así que α = 2/ 31 e. Esta pendiente no es segura sin embargo porque la relación de nuevo oscila entre mayorante y minorante de la imagen de factorial antes y después de los valores funcionales para x= 2.Asi las cosas hay de nuevo fluctuación aun al examinar la conversión operacional inversa de función de multiplicación factorial a sumatoria. 55

Posible influjo de la funciones de conversión en las fluctuaciones de relación interfuncional : Inferencia: De todo lo anterior se infiere que la función conversión será una función que actué generando cierta proporcionalidad a la manera de una constante entre las dos operaciones de adición y producto que generan las funciones sumatoria y factorial..Esta función llamada aquí k- funcional en realidad es muy semejante a las otras funciones descritas aquí aunque con variamientos en la pendiente asociada que alteraran la proporcionalidad generando un cambio en la misma o fluctuación a partir de cada posible caso así: 56

La función de conversión o “k- funcional”- Tabla de datos xk-funcional 11 20, ,

Función de conversión interfuncional de operaciones 58

Interpretación de la función de conversión k₁ La función de conversión tiene una leve caída por debajo de su ecuador o punto de equilibrio en 1 y vuelve a ascender sutilmente hasta 1, lo que probablemente le infiere parte de la variación funcional a las proporciones entre la función sumatoria y factorial..de ahí la forma de arco que adquiere la cuerda con gran vejiga de esta función de conversión interfuncional…cuya recta tangente le corta en 2 puntos y tiene una pendiente de m= 1,574, numero que estaría asociado con la mitad de π y con la división e/√3, es decir que: 59

La pendiente de la tangente a la curva de conversión k₁ e /√ 3 = π / 2 de donde se obtiene que π = 2 e / √ 3. Se verán simetría de esta cuerda o arco y decaimiento y ascenso alrededor de determinado limite numérico por lo cual la pendiente de la recta asociada a la curva de conversión no puede tomarse como estática sino como un valor relativo o promedio sobre la caída de dicha línea promedio. Y resulta bastante curioso que un numero tan clásico como π pudiera asociarse con esta función al ser la pendiente de la recta tangente a la curva, cuerda o arco inclinado de aproximadamente π / 2 o al ser e /√ 3 pues en realidad la ecuación de la recta solo se cumple en la recta tangente pues las funciones serian de mayor complejidad de calculo. 60

Tabla de datos de k-funcional con x=6 xk-funcional 11 20, ,

Función k-funcional hasta x=6 62

La pendiente de la función conversora El valor de m= en la recta asociada a la función conversora k-funcional supone que m= 2 e pues se trataría de una ínfima diferencia el resultado real de la división de m/e que nos daría y al restarle 2 a este resultado el margen de la diferencia seria de tan solo ∆ = Por otra parte se tiene que m= π√ 3 pues m/π = que es una valor muy aproximado a √ 3 = y al restar de esta razón la raíz de 3 se obtiene un diferencial ínfimo de tan solo ∆ =

Analogías de m con constantes y relaciones básicas entre constantes El valor de 2e = indica que hay una diferencia con la pendiente grafica de aproximadamente ∆ = , un valor realmente insignificante que marca que la pendiente grafica se acerca mas por defecto a su limite en 2e. A su vez π√3 = y al restarle m= se genera una diferencia ínfima de: ∆ = ,donde m se acerca menos por defecto a su limite en π√3 Con todo se tiene que π√3 > 2e solo ligeramente pues ∆ = (… difieren en 4 milésimas ) 64

Relación entre constantes clásicas asociadas a la función conversión Dado que π√3 = 2e en líneas generales se tiene que π = 2e / √3 y a su vez e = π √3 / 2 ( aproximadamente ), donde π = m / √3 ( constante π definida por la pendiente de una recta asociada a la función de conversión dividida entre la raíz de 3 ) o donde e = m / 2 ( constante e definida por la mitad de la pendiente de la tangente promedio asociada a la función de conversión ). Si revisamos ϕ ᶟ = = 2 + √ 5, de donde ϕ = ᶟ√ ( 2 + √ 5 ) = ( 1 + √ 5 )/2 y así: ϕ ᶟ = ( 2 + √ 5 ) = [ ( 1 + √ 5 )/2] ᶟ 65

Presencia del numero áureo en pendiente de función conversora Si dividimos m = ente ϕ se obtiene: m/ϕ = que dividido en e seria igual a el cual incrementado en 1 -igual aproximadamente a √ 5 – pues 2 ( ) es igual a , es decir 5 aproximadamente, así: m/ϕe + 1= √ 5 ①de donde se tiene que m = ϕe (√ 5 – 1) ② aproximadamente ( aparece el numero áureo en la pendiente de la función de conversión ). Además : ϕ= ( 1 + √ 5 ) / 2 pero despejando √ 5 en ① se tiene: ϕ= [ 1 + (m/ϕe + 1)]/2 de donde 2 ϕ -2 = m / ϕe y así: m = 2 ϕe (ϕ – 1) ③ ( el numero áureo en otra relación aquí) Igualando ② y ③ se tiene : ϕe (√ 5 – 1) = 2 ϕe (ϕ – 1) de lo cual 66

ϕ aparece en la función conversora (√ 5 – 1) = 2 (ϕ – 1) y despejando ϕ se deduce que : ϕ = 1 + ( √ 5 – 1 ) / 2, de donde se infiere que: ϕ – 1 = ( √ 5 – 1 ) / 2 y dado que |ϕ₂ | = ϕ – 1 se tiene que : 2 |ϕ₂ | = ( √ 5 – 1 ) pero como (√ 5 – 1) = m/ ϕe entonces se infiere que: 2 |ϕ₂ | =m/ ϕe de donde se llega a la deducción de que m = 2 ϕ |ϕ₂|e ( aparece el producto de raíces áureas de una ecuación cuadrática aurea o el producto de números áureos por el duplo de e en la pendiente m). De donde ϕ = m/2 |ϕ₂|e que equivale a suponer que: ϕ = m/ 2 ϕ | ϕ₂²|e ( definición del numero áureo desde la pendiente lineal asociada a la función de conversión k₁. El producto áureo es igual a 1 de la forma ϕ |ϕ₂| = 1 ). 67

Φ aparece en la función conversora ϕ = 1 + ( √ 5 – 1 ) / 2 y dado que |ϕ₂ | = ϕ – 1 se tiene que : m = 2 ϕ |ϕ₂ |e ( aparece el producto de raíces áureas de una ecuación cuadrática aurea o el producto de números áureos por el duplo de e en la pendiente m).De donde ϕ = m/ 2 ϕ | ϕ₂|e ( definición del numero áureo desde la pendiente lineal asociada a la función de conversión k₁. El producto áureo es igual a 1.Naturalmente que la diferencia de los áureos genera un numero de interés así: ϕ - ϕ₂ = √ 5 es decir : ( ϕ - ϕ₂ )²= 5 que genera la ecuación cuadrática : ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ + ( ϕ₂²- 5 )= 0 Dado que ϕ₂²= ( ϕ₂²- 5)= ( valor de C = ( ϕ₂²- 5 ) ) y así: ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ = 0 pero √ 22 =

Tabla de datos para cuadrática aurea con valores de ɸ desde ɸ₂ x y=x²-2xɸ₂

Grafica de cuadrática aurea con raíces semiaureas ɸ₃ y |ɸ₂| CUADRATICA AUREA CON RAICES SEMIAUREAS70

Redefiniendo la ecuación cuadrática con 3 –áureos-diferentes Que es un valor mucho mayor al valor de C en esta ecuación cuadrática, cuyo cuadrado real es alrededor de Cuando dividimos este numero C, decimal entre ϕ obtenemos | ϕ₃ | es decir: C = ϕ | ϕ₃ | de donde podemos reescribir la ecuación cuadrática asi: ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ - C = 0 ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ - ϕ | ϕ₃ | = 0 esto es : ϕ ²- ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) ϕ + 0 = 0 es decir: ϕ ² = ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) ϕ donde ϕ = ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) que significa que la suma del duplo de una raíz aurea –negativa- y del valor absoluto de otra raíz aurea ambas de ecuaciones diferentes de orden cuadrático y áureo generan el numero dorado, de oro o de la proporción divina. Y que la mitad de | ϕ₃ | es casi la raíz de 2, es decir | ϕ₃ | = 2√ 2 pues [| ϕ₃ |/2]²= es decir hay un diferencial de solo 36/1000 entre 2 y esta cantidad decimal, o delta de 3 centesimales en principio 3/100.Es decir podríamos escribir | ϕ₃ | = 2 √( 2 + 3/100 ) Donde ϕ₃ difiere poco: = Es decir ϕ - 2 ϕ₂ - | ϕ₃ | = 0, y como ϕ= ϕ₁, ϕ₁ - 2 ϕ₂ - | ϕ₃ | = 0, o lo que es Igual ϕ - 2 ϕ₂ + ϕ₃ = 0, usando la raíz reflexiva ϕ= ϕ₁ seria ϕ₁ - 2 ϕ₂ + ϕ₃ = 0. ϕ = 2 ϕ₂ - ϕ₃ pues ϕ ₃ es un numero negativo. ϕ= ϕ₁ el áureo es reflexivo con su raíz 71

Calculo del valor de la tercera raíz de solución cuadrática aurea asociada a estas funciones, solucion de ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ = 0 ϕ= ( 2 ϕ₂ +̄ √ )/2 ϕ =( 2 ϕ₂ +̄ √ 20 ) / 2 y como √ 20 = 2 √5 se tiene : ϕ = 2 (ϕ₂ +̄ √5 ) / 2 y simplificando por 2 se obtiene: ϕ = ϕ₂ +̄ √5 en donde ϕ₁ = ϕ₂ + √ 5 = Que es el numero áureo o numero dorado y ϕ₃= ϕ₂- √ 5 = es una solución cuadrática de un tercer numero cuadrático de solución aurea el cual tiene un inverso negativo semejante a -2(π – e)² = que es en realidad : 1/ = que genera un delta o diferencia de solo ∆ = que hace suponer con bastante aproximación que: -2(π – e)² = 1/ ϕ₃, es decir que ϕ₃ = 1/ -2(π – e)² que genera: ϕ₃ + 1/ 2(π – e)² = 0.Dado que loge= e-π se puede escribir -2 (-loge)² = 1/ ϕ₃, esto es: ϕ₃ = -1/2(loge)² De lo cual se infiere que: ϕ₃ + 1/2(loge)² = 0, a partir de lo cual puede 72

Correlación de raíces áureas en la naturaleza deducirse que : 1/2(log e)²= - ϕ₃, de lo cual se sigue que: -1/2ϕ₃ =(log e)² y de aquí se deduce que: √ -1/2ϕ₃ = log e y elevando 10 al factor con el radical se consigue: √ -1/2ϕ₃ e = 10 puesto que ϕ₃ es un numero negativo. Es decir que dará positiva la raíz. Si se usa valor absoluto de ϕ₃ también puede escribirse: √ 1 /2| ϕ₃ | √ 1 /2|( 2 ϕ₂ – ϕ )| e= 10,donde e = 10 es decir que esta raíz cuadrática aurea se encontraría asociada en la naturaleza o en el numero e quizá como sucede posiblemente con el numero áureo o proporción divina ϕ pues después de todo esta raíz hace parte de una ecuación con logaritmo de la forma: : ϕ₃ + 1/2(loge)² = 0 o lo que es igual | ϕ₃ | - 1/2(loge)² = 0 puesto que | ϕ₃ | = 1/2(loge)² ; 2 ϕ₂ – ϕ = - 1/2(loge)² ( donde ϕ₃ es raíz de ecuación cuadrática con raíces “aureas”diferentes entre si y diferentes a ϕ₃ y donde: ϕ = 2 ϕ₂ + 1/2(loge)² pues 2 ϕ₂ – ϕ + 1/2(loge)² = 0 equivale a |2 ϕ₂ – ϕ | - 1/2(loge) = 0 ). 73

Inferencia de otros cálculos áureos A partir de la ecuacion : ϕ ²-2 ϕ ϕ ₂ + C = 0 es decir: ϕ ²-2 ϕ ϕ ₂ + ( ϕ₂²- 5 )= ϕ ²-2 ϕ ϕ ₂ - ϕ | ϕ ₃ | = 0 se puede observar que C = ( ϕ₂²- 5 )= donde ϕ | ϕ ₃ | = 3 + ϕ de lo cual se infiere que : | ϕ ₃ | = (3 + ϕ )/ ϕ puesto que C= - ϕ | ϕ ₃ | y esto significa que podemos reemplazar en la ecuacion el producto de raices asi: ϕ ²-2 ϕ ϕ ₂ - (3 + ϕ ) = 0 que supone la generaci0n de la ecuacion cuadratica que sigue: 74 ϕ ²-2 ϕ ϕ ₂ - ϕ - 3 = 0

Una cuadrática aurea con 2 raíces o variables reflejas Esta ecuación al factorizarse quedaría: ϕ ²- ( 2 ϕ ₂ + 1 ) ϕ – 3 = 0 cuyas soluciones cuadráticas para ϕ serian: Φ = {( 2 ϕ ₂ + 1 ) ± √ [ ( 2 ϕ ₂ + 1 ) ² - 4 (1)(-3)] } / 2 (1) esto es: Φ = {( 2 ϕ ₂ + 1 ) ± √ [ ( 2 ϕ ₂ + 1 ) ² + 12 ] } / 2 que seria igual a Φ = {( 2 ϕ ₂ + 1 ) ± √ [ ( 4 ϕ ₂ ² + 4 ϕ ₂ + 13 ] } / 2 es decir: Φ = {( 2 ϕ ₂ + 1 ) ± √ } / 2 donde la raíz del valores de y cuadrática es que equivale al valor absoluto del cuádruple de ϕ ₂ aumentado luego en 1, así √ yₐ = |4 ϕ ₂ | + 1….de ahí que en la solución general factoricemos así: 75

Raiz reflexiva respecto a variable ϕ₂ Φ = {( 2 ϕ ₂ + 1 ) ± |4 ϕ ₂ | + 1 } / 2 de donde : Φ₁ = ( 2 ϕ ₂ + |4 ϕ ₂ | + 2 ) / 2 que es igual a : Φ₁ = ϕ ₂ + 2 | ϕ ₂ | + 1 = , que algebraicamente significa : Φ₁ = pues ϕ ₂ = -1/ ϕ y es un numero negativo en este caso. Asimismo Φ₁₂ = ϕ ₂ - 2 | ϕ ₂ | = que es ϕ ₂ puesto que es un numero negativo (inverso de ϕ ). Así la raíz Φ₁₂ = ϕ ₂ y es reflexiva con la variable ϕ ₂ Que se halla en el paréntesis del coeficiente de ϕ en la ecuación cuadrática que tiene variables ϕ y ( ϕ ₂) 76

Cálculos especiales para el áureo Al mismo tiempo eᶲ ≈ 5 + ( 1/10 )(log e) de donde se obtiene: ᶲ = ln [ 5 + ( 1/10 )(log e) ]. Tambien se establece la relacion: e²/ɸᵉ = 2, asi e² = 2 ɸᵉ, de donde e² - 2 ɸᵉ = 0, y en que despejando ɸᵉ =e²/2 podemos aplicar logaritmos naturales a ambos lados asi: e ln ɸ = ln (e²/2 ), de lo cual deducimos que: Ln ɸ = (ln e² - ln 2) / e, es decir : ( 2 – ln 2) / e ɸ = e … A su vez se evidencia la relacion πᶲ/ e =e²/ π de donde ɸ ln π = 3 - ln π, en donde: ɸ = ( 3 – ln π ) / ln π, que seria: ɸ = ( 3 /ln π ) - 1 y en que se verifica: π = e⁽ ³ ⁄ ⁽ᶲ ⁺ ¹ ⁾ ⁾ 77

Valores de la ecuación cuadrática con 2 aureos y otras x s. xy=x²- (2ɸ₂ +1)x

Grafica de cuadrática para raíces áureas y otras x. 79

Conversión de funciones cuadráticas Aquí se han seleccionado 3 ecuaciones especiales para funciones cuadráticas áureas para interconvertirlas y deducir en cada par su función de conversión. Estas funciones serán: F1 =y= x² - x – 1 F2=y=x²- (2 ɸ ₂ +1)x-3 F3 =x²-2x ɸ ₂ En algunos casos se cambiara la notación pero solo estas cuadráticas seran usadas en principio. A partir de sus relaciones una de sus conversiones mas simétricas resultara ser la de f2/f1 llamada fc1…de la cual trataremos de simular luego su inversa para ver su armonia. 80

Tabla corregida de valores de conversión de cuadráticas xfc

Grafica corregida de conversión de cuadráticas 82

Tabla de conversión cuadrática inversa o en vista 2 corregida fc2x

Grafica corregida de función conversora cuadrática inversa vista 2 84

Tabla para conversion de 2 cuadraticas aureas fc₂= f₃/f₁ xconversora cuadratica

Grafica de conversora fc₂ intercuadraticas f₃⁄f₁ 86

Tabla de conversion simetrica en disposicion inversa 87 conversion xx

Grafica de función de conversion cuadratica simétrica en vista 2. 88

Tabla para fc₃= f₃⁄f₂ conversion cuadratica 89 xfc₃ de conversion cuadratica

Grafica de conversión cuadrática fc₃= f₃⁄f₂ 90

Tabla para conversión cuadrática fc₃⁻¹ = f₂/f₃ xconv. Cuadra

Grafica de conversión cuadrática fc₃⁻¹ = f₂⁄f₃ El numero aureo parece ser uno de los puntos de corte de la curva con y=o.92

Valor adicional para la función de conversión xk-funcional 11 20, ,

Función de conversión k-funcional 94

Datos para la función conversora,vista 2 Columna1Columna2 xk-funcional

Grafica de la función conversora interoperacional con valores de escala divididos por

Interpretación de la pendiente de la recta asociada a la función conversora k₁ semi-exponencial La pendiente es de solo m= equivaldría aproximadamente a m = 43 π e que resulta un valor bastante exacto a juzgar por los 9 milésimos de diferencia que guardaría el guarismo 43 con el numero real de división obtenido a partir de nuestra calculadora científica del navegador de Google m/πe = y por cuanto esta grafica tiende a ser la mas real y exacta para descripción de la función conversora k₁ en lo que tiene que ver con su recta asociada graficada por Excel 97

Líneas de cuadricula muestran el corte de la tangente en la curva 98

La imagen de los datos de conversión en x mostraría otra función k-funcionalx 11 0, ,

Valores funcionales de factores de conversión contra la variable x 100

Interpretación de la pendiente en la segunda disposición de k₁ La pendiente aquí no corresponde con el inverso de la mitad de pi sino que es un valor muy diferente…el cual al parecer interactúa con pi y con e en una relación particular cuya ecuación teórica-no demostrada- seria: x⁶ π⁵= √ 1/log e = 1,525252, de donde : π = [ (√ 1/ loge )/ x⁶ ] ¹⁄ ⁵ pues la pendiente m= x es igual a : x = ⁶√ [(√ 1/log e )/ π⁵], lo que significaría que este tipo de curvas están asociadas a constantes esenciales de la matemática y que si bien el patrón no 101

La constante kₑ y x= ⁶√ kₑ/ π⁵ es lineal, un promedio estimado relaciona ampliamente los valores lineales con los de curvas o constantes de curvas como los valores de pi y de e. En nuestro caso hemos encontrado un numero bastante curioso por su periodicidad decimal en 52 tres veces luego de el 1 y de la coma y porque luego se suceden otros decimales de aproximación en cada calculo así: 1, en un caso y 1, en otro para dos cálculos bastante análogos que generarían una constante similar a la de e que repite periodo en 1828 dos veces antes de seguirse por otros decimales como aquí: e ≈ 2, Así nuestra constante será en principio aquí kₑ=1,525252……mientras se resuelve un poco la ambigüedad en números decimales. Y kₑ=x⁶ π⁵= √ 1/log e = 1, de donde π = ⁵√ x̄⁶ √ (1/log e) y así: π = x̄¹ ⁵√ x̄¹ √ (1/log e) en que x se relaciona con m o con kₑ. es lineal, un promedio estimado relaciona ampliamente los valores lineales con los de curvas o constantes de curvas como los valores de pi y de e. En nuestro caso hemos encontrado un numero bastante curioso por su periodicidad decimal en 52 tres veces luego de el 1 y de la coma y porque luego se suceden otros decimales de aproximación en cada calculo así: 1, en un caso y 1, en otro para dos cálculos bastante análogos que generarían una constante similar a la de e que repite periodo en 1828 dos veces antes de seguirse por otros decimales como aquí: e ≈ 2, Así nuestra constante será en principio aquí kₑ=1,525252……mientras se resuelve un poco la ambigüedad en números decimales. Y kₑ=x⁶ π⁵= √ 1/log e = 1, de donde π = ⁵√ x̄⁶ √ (1/log e) y así: π = x̄¹ ⁵√ x̄¹ √ (1/log e) en que x se relaciona con m o con kₑ. 102

Valores amplificados de k₁ contra x k-funcionalx

Valores de la función conversora k₁ en otra disposición 104

Forma exponencial de esta disposición a escala múltiplo de

Constantes en conversión en función semi-logarítmica o de “distribución” La pendiente en esta disposición varia ligeramente quizá por los datos amplificados y la variación de escala de graficación..se observa la forma exponencial que asume la curva de conversión. Aquí mientras los valores de k funcional decaen y aumentan,los valores de x siempre se están incrementando. Esta oscilación hace que la curva no sea de un incremento hacia la derecha de su origen sino también un poco hacia su izquierda formando una gran vejiga. La pendiente vale m= Si se multiplica m por las constantes πe ϕ se obtiene: m πe ϕ = es decir 3/2 aproximadamente de lo cual se infiere que m= 3/2 πe ϕ 106

Función conversión k₂-funcional de reducción de producto x! a adición xk

Grafica de la función de conversión k₂ 108

Grafica de la función de conversión reductora k2 con pendiente asociada 109

La pendiente de la función reductora y la constante kᵪ El valor de m=-0.28 en la pendiente podría estar asociado con funciones trascendentes o esféricas como en la siguiente formula: ( 2 – e )+ log e = ; además ln k = -k, cuando k = aproximadamente pues ln o.567 = y la mitad del numero – k seria -0.56/2 = -0.28, es decir que la pendiente m en este caso seria m= -kᵪ/2, siendo k una constante de logaritmo natural de la forma e ̄ᵏ = k, pero –k = 2m, entonces e ²ᵐ = k, y, 2m = ln kᵪ, o m= ½ ln kᵪ 110

Disposición de k2 contra x- Tabla de datos k2x

Grafica de la imagen en x de la función de conversión reductora 112

Interpretación de esta disposición de k2 L a función fluctúa nuevamente en torno a un punto de inflexión casi estéreo espacial doblemente bidimensional en apariencia…decrece continuamente en cuanto factor de conversión…pero a medida que x decae k₂ parece aumentar hasta cierto limite hasta cuando retrocede para disminuir en el punto x = 20. La fluctuación es alta y hay hasta 3 puntos de corte con la recta promedio o lineal asociada a la curva cuya pendiente se aproxima por escasos milesimales a –e. la curva pareciera decaer constantemente haciendo una s estéreo espacial que semeja una serpiente y con una concavidad corta y pronunciada en comparación con la otra alargada y poco protuberante. En la recta tangente m = -e aproximadamente…lo que configura una ecuación de la forma: y = -e x aproximadamente. Aquí e=-m y por tanto ln e = ln (–m), es decir 1= ln( –m ), o, e = -m, y consecuentemente e+m=0 aproximadamente. 113

Apéndice de datos de salto técnico graficados por Excel hasta x=6 Los detalles del salto técnico muestran un ascenso inusitado en la curva que semeja la otra función cambiada a escala decimal pero subsisten mínimas diferencias de graficación por el punto de corte de recta con la función entre x=2 y x=3 a la manera en que una pelota de tenis rebotase antes o después de la mitad de dicho intervalo según las dos graficas: la del salto técnico o la de escala decimal para la función conversora k₁ funcional. 114

Datos para la función conversora,vista 2 Columna1Columna2 xk-funcional

Grafica de la función conversora interoperacional con valores de escala divididos por

Las funciones factorial negativas de -x Cuando los valores de x son negativos los valores de la función de adición o sumatoria son todos negativos mientras que los de factorial se alternan unos negativos y otros positivos, así que esto altera la percepción de algunas relaciones en estas funciones y en las funciones de conversión asociadas a ellas así: 117

Datos de la función sumatoria de -x valor -xvalor ∑-x

Grafica de la función sumatoria en -x 119

Tabla de datos para factorial de -x valor -xvalor - x!

Grafica de la función factorial de -x 121

Presencia de cuadrados y constantes en la pendiente factorial negativa La pendiente de esta factorial negativa dividida entre (2 e π² ϕ²) genera el numero muy similar a -2/3 = Así pues puede aducirse que m/ (2 e π² ϕ²) = -2/3 es decir m= -4/3 (e π² ϕ²) aproximadamente pues habría un diferencial de (- 93.4)= es decir aproximadamente -1/4 valor este que restado a la razón anterior generaría m real así: m = -4/3 (e π² ϕ²) + ¼ 122

Valores de factorial ampliados en x valor -xvalor - x!

Grafica de factorial negativa para un rango mayor 124

Pendiente de lineal asociada a factorial negativa La pendiente m aquí seria m= = ( 7π )² aproximadamente. Resulta curiosa la relación exacta de esta proporción. 125

Relación entre sumatoria y factorial valor ∑-xx!

Función sumatoria negativa reflejada en factorial negativo 127

La pendiente con aproximaciones a constantes aparece en f (π² ) La pendiente equivale a π²e pues al dividir m/ π e = que es casi π con un delta de tan solo: ∆= es decir 4/1000 lo que equivale a suponer que m= π e (π - 4/1000 ) aproximadamente. Haciendo la expresión anterior m = π e (π - ∆ ) se tiene la ecuación cuadrática: e π² - e ∆ π – m = 0, de donde: π = [e ∆ ± √ ((e ∆ )² + 4 e m )]/ 2e pero |log 1/e|= log e = z = donde ∆ = z/100 ya que 100 ∆- z = y z - |log 1/e|= *10^(-16), z = |log w| Siendo ∆ = z /100, se tiene: π = [e z/100± √ ((e z/100 )² + 4 e m )]/ 2e aproximadamente. π = [e |log w| /100± √ ((e |log w| /100 )² + 4 e m )]/ 2e 128 f (π² ) es una función cuadrática de π

Datos de relación x! = k ∑-x x!valor ∑-x

Grafica de función factorial negativa reflejada en sumatoria de –x. 130

La pendiente de la recta lineal asociada a este tipo de función reductora de factorial a sumatoria La pendiente m= parece aproximarse bastante al calculo m= - 1 / ( π³ e ϕ )√ ln 7. De nuevo se observan algunas constantes entre ellas la constante aurea presente en la pendiente de la función lineal asociada a la función de conversión reductora. 131

Valores de k₃ funcional En este caso hemos dividido cada valor de la imagen entre su variable funcional coordinada en el rango negativo así: -1/-1 = 1, -2/3 = , -6/-6= 1, 24/-10= - 2.4, -120/-15 = 8, 720/ -21 = …Estos valores de constantes serán la imagen reflejada de nuestra variable –x para calcular la función de conversión asociada a las funciones factorial y sumatoria en el rango negativo del actual estudio según la siguiente tabla de datos: 132

Tabla de datos para k₃ -xk₃k₃

Valores amplificados por 100 para evitar la limitante de la corrección circular en Excel valor de -xfunción k₃

Función conversora k₃ 135

Interpretación de la pendiente La pendiente de la función lineal asociada a la curva de conversión amplificadora en factoriales negativos tiene una caída equivalente al siguiente calculo aproximadamente: m= 2 π³ e ² ϕ² 10 ̄³. El resultado de la división de m entre todas las constantes es que es bastante aproximado a

Datos de la función conversora k4 Los valores de la constante reductora provendrán de las divisiones : -1/-1 = 1, -3/ 2 = -1.5, -6/-6= 1, -10/ 24= , -15/-12o= 0.125, -21/ 720 = Las imágenes de la división de sumatoria de –x entre factorial de –x se verán reflejadas a partir de variables de x asociadas en cada caso. 137

Datos de parámetros de x y k₄ amplificados hasta 10⁵ xk₄

Función conversora k₄ de reducción en factoriales negativos 139

El valor de la pendiente asociada en k₄ La pendiente de multiplicada por πeϕ es igual a que es aproximadamente igual a 2/3 = pues el margen de diferencia es ínfimo siendo de: ∆ = , es decir m= 2/ 3 πeϕ aproximadamente. 140

Definición matemática de las funciones de conversión En resumen: K₁ = x!/∑x K₂ = ∑x/x! K₃ = - x!/∑-x k₄ = ∑-x/- x! F(x) = k g (x ) pero k es una función conversora, entonces X! = ( X!/ ∑x ) ∑x Por ejemplo donde cada razón de funciones definidas como k sub n representa una función conversora ( amplificadora o reductora interfuncional ). 141

Tabla de datos para x¡ y x² x¡x²

Grafica de relación sumatoria al cuadrado de x 143

El valor de la pendiente lineal Cuando se tiene una pendiente lineal de proporcionalidad como: m= se calcula su producto por e y se divide por π así: m e / π = que es un numero bastante parecido a x⁶π⁵ = , con un diferencial delta de: m =( x⁶π⁵ )π / e m = x⁶π⁶ / e donde x = m = para el lineal de k₁ reflejado en x. Y donde x = ⁶√ [(√ 1/log e )/ π⁵]. Entonces m = [(√ 1/log e )/ π⁵] π⁵ )π / e pero como π⁵ se eliminan se tiene m= π (√ 1/log e ) / e. Y dado que x= ⁶√ kₑ/ π⁵, esto es : x⁶= kₑ/ π⁵ se tiene m= ( kₑ/ π⁵ ) π⁶ / e = kₑπ /e, es decir : m = kₑπ/e Esto es : m = 1.52 π/e

Proporción entre x! y x² x!x²

Grafica de proporción entre x! y x² 146

Valor de la pendiente de proporcionalidad lineal La pendiente m= se multiplica por π y da y si se multiplica por ϕ genera: e decir aproximadamente 0.2 es decir 2/10..es decir mπϕ = 2/10 de donde se obtiene: m = 2/ 10 πϕ 147

Datos de x² aplica en factorial de x x²x!

Grafica de x² aplica en x! 149

Pendiente de la recta asociada a la función factorial imagen de x². La pendiente m= se derivaría del siguiente calculo m = 6e pues m/e = aproximadamente. Si se escribe 6/100 la diferencia decimal entonces m= 6e + 6/100 de donde m= 6 ( e + 1/100 ) aproximadamente. Se observa que los valores de factorial reflejados desde x son minorantes con relación a x² hasta la imagen de x=3 pero de ahí en adelante son en todo momento mayorantes con respecto a x², por ello la necesidad de graficar la función y enlizarla de esta manera ante esta variación, fluctuación u oscilación análoga a la que experimenta el factorial con el potencial de 2ˣ, para evidenciar la necesidad de f-conversión. 150

Tabla de datos para la función conversora de x² a factorial. valor de xvalor de k o

Tabla de datos de función conversora de productos x² a x! ampliada por 100 valor de xvalor de k

Amplificación de datos de función conversora de productos Para evitar el error de circularidad se hace preciso ampliar por 100 los datos pues de otra manera no se hubieran podido graficar. Al hacerlo se arroja una pendiente de m= que es equivalente a πᶟ/10. Así m= πᶟ/10 aproximadamente. De esto se infiere que π = ᶟ√ (10 m ) es decir π = ( 10 m ) ⅓ ( cuando m es la pendiente de la recta de linealización una función conversora de cuadrado de x a factorial ). 153

Grafica de la función conversora k 154

El producto de funciones genera una nueva función: y = f(x) g(x), donde f(x) = “k” = y/g(x) En esta grafica se observan descensos hasta x=2 y luego ascensos inexorables a partir de x=2 en la función. Esto se debe a que los valores de la función cuadrado de x eran mayorantes con respecto a factorial hasta la imagen de x=3 pero luego eran minorantes respecto de factorial y esta variación comparativa hace que la función conversora también tenga una vejiga al decrecer antes de la imagen de x=3 y crecer luego después de la imagen x=3.De aquí que y= f(x) g(x).(Un producto de funciones genera una función donde f(x) =k es función conversora). 155

Tabla de datos de potencial de 2 aplica en cuadrado de w ( w=x ) 2 ᵂᴡ²

Función w² imagen de 2ᵂ 157

Comportamiento de función y grafica de 2ᵂ aplica en w². La función cuadrado de w tenia minorantes desde la imagen de x=o hasta x= 2 en que se iguala con la función factorial, luego de x=2 ( en que hay imagen de inflexión en ambas funciones), la función w² es mayorante respecto a potencial en la imagen de potencial de 2ᵂ hasta x= 4, valor en que se igualan las pendientes al,mismo tiempo. Para la imagen de x>4 el comportamiento de la función cuadrado de w es minorante respecto de potencial. 158

Tabla de f conversora hacia cuadrado de w desde potencial 2ᵂ xf

Función conversora a w² desde potencial de 2ᵂ M = 7/1000 muestra fluctuaciones,ayorantes y minorantes alternados.160

Tabla de datos para w² aplica en potencial de 2 ᵂ. ᴡ²2 ᵂ

Función potencial de 2ᵂ imagen de w² 162

Interpretación de esta relación La función potencial varia siendo mayorante, minorante, mayorante respecto del cuadrado de w. La pendiente vale

Tabla de datos de f conversora de cuadrado de w a potencial 2ᵂ valor de xvalor de f

Grafica de f conversora de w² a 2ᵂ 165

Tabla de datos de potencial contra inversa de x=h. 2 ʰ1/h

Grafica de 2ʰ aplica en 1/h 167

Tabla de datos para f-conversora xfc= 1/h2ʰ

Grafica para la función conversora 169

Tabla de datos para potencial de 2ʰ imagen de 1/h. 1/h2 ʰ

Grafica de función potencial 2ʰ imagen de 1/h 171

Tabla para función conversora Fc=h2ʰ xFc= h2ʰ

Grafica para función conversora Fc=h2ʰ 173

El correo de las inquietudes Fin: gracias, cualquier inquietud remitirla a /mi portal en Dirección: calle 33 9 A- 20 Sabana – Los Patios, Norte de Santander Elaborado por : Jaime Erwin Blanco Niño, Lic. Español- Ingles, docente colegio José Aquilino Duran, Cúcuta…ex. estudiante de ingeniería eléctrica 4 semestre Universidad de Pamplona, núcleo Villa del Rosario 174