LINEA DE PROFUNDIZACION EN MAGNETISMO: LP II, MECÁNICA ESTADÍSTICA Diego Fernando Coral Laboratorio de Magnetismo y Materiales Avanzados Universidad Nacional de Colombia

MECÁNICA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Teorías físicas del comportamiento. Postulados de la Mecánica estadística. Equilibrio y fluctuaciones. ESTADÍSTICA DE PARTICULAS DISTINGUIBLES Partículas distinguibles Distribución de Maxwell-Boltzmann. Función de partición y estados degenerados. Calculo de la función de partición de sistemas de partículas distinguibles. Capacidad calorífica. ESTADÍSTICA DE PARTICULAS INDISTINGUIBLES Distribución de Maxwell-Boltzmann para partículas indistinguibles. Gases Ideales. Calor y trabajo. Distribución de velocidades de Maxwell. Paradoja de Gibbs

ESTADÍSTICA CUÁNTICA 1: ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRAC. Distribución de Fermi-Dirac. Aplicaciones de la distribución de Fermi-Dirac. ESTADÍSTICA CUÁNTICA 2: ESTADÍSTICA DE BOSE-EINSTEIN. Gas de fotones. Transiciones espontáneas inducidas. Fonones.

BIBLIOGRAFIA LEVICH. Física teórica: física estadística y procesos electromagnéticos de la materia. Volumen 2. KITTEL. Física térmica. GLAZER. Statistical mechanics. REIF. Física estadística. Berkeley Physics Course.

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA TEORÍAS FÍSICAS DEL COMPORTAMIENTO. Termodinámica: Descripción macroscópica del universo. Mecánica cuántica: Descripción microscópica del universo. Mecánica estadística: Descripción probabilística del universo. Enlace entre lo micro y macroscópico.

PROBLEMAS DE LA FÍSICA ESTADÍSTICA La física estadística se encarga del estudio de los cuerpos macroscópicos desde la teoría atómica; entendiendo “cuerpos macroscópicos” los sistemas formados por un gran número de partículas. Dos publicaciones escritas a inicios del siglo XX, han determinado los temas de estudio de la física estadística. Planck, en Berlín en 1901, publica un articulo sobre la distribución de la energía de la radiación térmica; en el mismo año, Gibbs escribió un tratado titulado “Principios Elementales en Mecánica Estadística”

La física estadística se limita a considerar las propiedades de los sistemas macroscópicos cuyos estados no varían en el tiempo. Los estados de un sistema macroscópico en los que este puede permanecer un tiempo indefinido se llaman estados de equilibrio. Por esto cabe decir que: El objeto de la física estadística es el estudio de las propiedades y del comportamiento de los sistemas macroscópicos que se encuentran en estado de equilibrio, basado en las propiedades conocidas de las partículas que lo constituyen.

En física estadística se suponen conocidas las propiedades y leyes de las partículas elementales, de los átomos y la moléculas. El problema consiste entonces en describir el comportamiento de los sistemas que contienen un número muy grande de partículas cuyas propiedades se conocen. Esta descripción ha permitido poner de manifiesto una peculiaridad fundamental e importante de estos sistemas: El comportamiento de los sistemas macroscópicos viene determinado por leyes estadísticas. La física estadística permite hallar las leyes universales del comportamiento térmico de los cuerpos en equilibrio, introduciendo un número limitado de resultados cuánticos del movimiento de las partículas que lo componen.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Deduce conclusiones a través de muestras alteradas por variaciones aleatorias o incertidumbres. Controla las incertidumbres en los resultados de los eventos, para expresar un resultado aproximado. PROBABILIDAD

PROBABILIDAD Imaginemos que en un gran número de instantes sucesivos t1, t2, t3,…., tq, hacemos observaciones, q en total, cada una de las cuales nos indica el estado del sistema. Llamaremos n(l) el número de veces en esta serie de observaciones que el sistema se encuentra en el estado l. Entonces la probabilidad P(l) de encontrar el sistema en el estado l se define por: (1) La suma de todas las probabilidades debe ser 1, lo cual quiere decir que la probabilidad total de que el sistema esté en cualquier estado es la unidad. (2)

Las probabilidades definidas por (1) conducen a la definición de valor medio de cualquier propiedad. Supongamos que A, la propiedad de interés, tiene el valor de A(l) cuando el sistema está en el estado l. El valor medio, <A> o Ā, de nuestras observaciones de la magnitud A calculado en el sistema descrito por las probabilidades se define como: (3) Esta es la definición de valor medio de A. Aquí P(l) es la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado l y n(l) es el número de veces, en una serie de q observaciones, que el sistema se encuentra en el estado l.

“Tiempo de relajación” El valor medio, es una valor medido en el tiempo sobre un sistema único. Este tiempo transcurrido entre la observación inicial y la observación final debe ser lo suficientemente largo para considerar una distribución al azar. Este tiempo se conoce como tiempo de relajación. Un sistema puede tener tantos tiempos de relajación como propiedades para medir. “Tiempo de relajación” El tiempo de relajación describe aproximadamente el tiempo necesario para que una fluctuación en las propiedades de un sistema llegue a estabilizarse.

POSTULADOS DE LA MECÁNICA ESTADÍSTICA Sistema cerrado: un sistema cerrado se define como un sistema con energía, número de partículas, y volumen constante. Estado accesible: un estado es accesible si sus propiedades son compatibles con las características del sistema. La energía del estado debe estar en el intervalo dentro del cual la energía del sistema está especificada. Cada punto dentro de la elipse representa un estado accesible de un sistema cerrado. Los puntos fuera de la elipse representan algunos estados que no son accesibles a causa de que sus propiedades no satisfacen las condiciones especificadas para el sistema.

Josiah Willard Gibbs (1839-1903) Boltzmann y Gibbs imaginaron un grupo constituido por un gran número de sistemas similares, dispuestos al azar, y tomaron los valores medios en un instante de tiempo sobre este grupo de sistemas. Josiah Willard Gibbs (1839-1903) Ludwig Boltzmann (1844-1906) El grupo de sistemas similares se conoce como conjunto de sistemas. El valor medio se llama valor medio del conjunto o valor medio térmico. Un conjunto es una construcción ideal que representa, en un instante dado, las propiedades del sistema verdadero cuando este evoluciona en el transcurso del tiempo. Un conjunto de sistemas está compuesto por muchos sistemas todos construidos de la misma forma. Cada sistema del conjunto es una réplica del sistema real en cada uno de sus estados accesibles.

Si existen g estados accesibles, entonces existirán g sistemas en el conjunto. Cada sistema en el conjunto es equivalente al sistema verdadero. Cada sistema satisface los requisitos externos indicados para el sistema original y es tan bueno como el sistema verdadero. El sistema de Gibbs reemplaza los valores medios en el tiempo de un sistema simple por valores medios del conjunto que son valores medios tomados sobre todos los sistemas de un conjunto. Los valores medios a estudiar, son valores medios del conjunto a menos que se especifique lo contrario.

Consideremos el lanzamiento de una moneda Consideremos el lanzamiento de una moneda. Para este experimento, se tienen dos eventos o sucesos posibles: CARA (C) SELLO (S) Si lanzamos 3 veces la moneda, el número de resultados está dado por la expresión: c s c s c s 8 resultados posibles. c s c s

De esta forma, la probabilidad de obtener uno de los anteriores resultados es: Así, la probabilidad de obtener el arreglo ccs, es de 1/8, la cual es la misma probabilidad para el arreglo csc, o para el arreglo sss. CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS Cada arreglo en particular se conoce como MICROESTADO MICROESTADOS Un microestado es cada uno de los posibles estados en los que puede encontrarse el sistema estudiado

PRIMER POSTULADO DE LA MECÁNICA ESTADÍSTICA “La probabilidad de obtener cualquier microestado es la misma para todos los microestados en un sistema en equilibrio”. PRIMER POSTULADO DE LA MECÁNICA ESTADÍSTICA Definimos MACROESTADO, como el conjunto de microestados iguales. En nuestro experimento con la moneda, existen 4 macroestados: ccc, sss, ccs, ssc. “El macroestado más probable es el que tenga el mayor número de microestados para un sistema en equilibrio”. SEGUNDO POSTULADO DE LA MECÁNICA ESTADÍSTICA

Los métodos utilizados en mecánica estadística, son esencialmente estadísticos en su carácter y solamente pretenden dar resultados referentes a valores medios correspondientes a un sistema particular. Los métodos conducen a calcular fluctuaciones alrededor de valores medios que son excesivamente pequeñas en el caso de la aplicaciones corrientes, y en otros casos pueden ser comparadas experimentalmente. La mecánica estadística está basada en alguna hipótesis como la de igual probabilidad, que conducen a resultados que estan de acuerdo con los encontrados experimentalmente.