Resolución de Problemas Método Simplex Primer Semestre 2007 EII 405 – Clase 5

Método Gráfico Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 (ó 3) variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema. Si la región de soluciones factibles del problema es un conjunto convexo, existe a lo menos un óptimo global y se encuentra en una esquina. Un conjunto es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos del conjunto se encuentra completamente dentro de él. Conjunto convexo Conjunto no convexo

Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones factibles en un problema de programación lineal Características principales: Algoritmo eficiente y rápido para encontrar el óptimo Determina la solución óptima sin evaluar todos los puntos extremos factibles Es capaz de detectar si existen múltiples soluciones, si la solución no está acotada y si existe incompatibilidad de restricciones

Método Simplex Para resolver por este método se utilizará el siguiente modelo de programación lineal Max Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn Xn a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn  b1 a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn  bi . . . am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn  bm Xi  0 i = 1, 2,..., n S.a

Método Simplex El método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones. Para convertir cada desigualdad del tipo  en una igualdad se debe agregar una nueva variable positiva llamada variable de holgura (hi). A las variables hi se les denomina de holgura porque representan la cantidad no utilizada del recurso i, es decir, es la diferencia entre la cantidad disponible del recurso i (bi) y la cantidad utilizada hi = bi -  aij xj

Método Simplex De esta manera, al incorporar las variables de holgura, el modelo queda de la siguiente forma: Max Z = C1X1 + C2X2 +...+ CnXn a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn + h1 = b1 a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn + h2 = bi . . . am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn + hm = bm Xi, hi  0 i = 1, 2,..., n S.a

Método Simplex Analicemos el siguiente ejemplo: Max Z = 200X1 + 240X2 S.a 12X1 + 6X2  120 4X1 + 8X2  64 X1, X2  0 Transformando el modelo para poder aplicar el método simplex tenemos: Max Z = 200X1 + 240X2 S.a 12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2  0

Método Simplex Procedimiento: Consiste en avanzar hacia el óptimo a través de los puntos extremos, en el sentido en que la F.O aumenta. Para ello, se utiliza una solución básica factible, se evalúa si es óptima, y si no lo es, se saca una variable de la base y se introduce otra, de manera que aumente el valor de la función objetivo

Método Simplex Para trabajar con este método se utiliza un cuadro resumen denominado “Tableau” VB CB XB X1 X2 ... Xn h1 h2 hm B1 CB1 XB1 y11 y12 y1n y1m B2 CB2 XB2 y21 y22 y2n y2m Bm CBm XBm ym1 ym2 ymn ymm Z z1-c1 z2-c2 zn-cn zm-cm c1 c2 cn cm

Método Simplex VB: Indica las variables que forman la base. CB: Indica los coeficientes en la F.O. de cada variable básica (ci). XB: Representa el vector resultado del sistema de ecuaciones, asociado a dichas variables básicas. Z: Es el valor de la F.O. para la solución encontrada, (Z =  CBi·XBi) xj : Son las variables de decisión. hj : Son las variables de holgura. yij: Son los coeficientes que permiten expresar a la variable xj (o hj) como una combinación lineal de las variables básicas Bi. (inicialmente corresponden a los aij de las restricciones) cj: Es el coeficiente de la variable j en la función objetivo. zj - cj: Es el costo reducido (o marginal) de que la variable j entre a la base. zj =  CBi·Yij

Las variables básicas deben estar en forma canónica Método Simplex Retomando el ejemplo, para construir el tableau inicial se debe elegir una solución factible, para esto se comienza con las variables de holgura en la base (VB) Max Z = 200X1 + 240X2 S.a 12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2  0 VB CB XB X1 X2 h1 h2 Las variables básicas deben estar en forma canónica h1 h2 120 12 6 1 64 4 8 1 -200 -240 200 240

Método Simplex Se determina si la solución es óptima, analizando los coeficientes zj - cj de las variables no básicas. Si todos los coeficientes son positivos (o cero) se ha llegado al óptimo, en caso contrario se debe continuar. VB CB XB X1 X2 h1 h2 120 12 6 1 64 4 8 -200 -240 200 240

Método Simplex Método Simplex Se selecciona como variable básica entrante aquella que incrementa más rápidamente la F.O. (coeficiente zj - cj más negativo). Se elige el más negativo para llegar más rápido al óptimo, pero en general basta con elegir cualquier zj - cj negativo. VB CB XB X1 X2 h1 h2 120 12 6 1 64 4 8 -200 -240 200 240

Método Simplex Método Simplex Ahora se debe determinar la variable que debe salir de la base, para eso se elige aquella que llegue más rápido a cero al incrementar la variable entrante, es decir, la que tenga el XBi / yij mínimo, con yij > 0 VB CB XB X1 X2 h1 h2 120 12 6 1 64 4 8 -200 -240 200 240 120/6 = 20 64/8 = 8

Método Simplex Método Simplex Si no existe ningún yij > 0 en la variable entrante, entonces se escoge para entrar otra variable con zj – cj negativo que si tenga al menos un yij > 0. Si no existe ninguna con estas características, entonces se dice que el problema no tiene solución pues no está acotado. Ejemplo: VB CB XB X1 X2 X3 X4 10 1 -1/2 15 -3 -5 -12 5 7 Solución no acotada

Método Simplex Método Simplex Ahora se tiene una nueva base en donde la variable entrante ocupa la posición de la variable saliente. Entonces será necesario transformar el sistema a una forma canónica. Luego se determina si se ha llegado al óptimo, de no ser así se continua iterando. VB CB XB X1 X2 h1 h2 120 12 6 1 64 4 8 -200 -240 200 240 h1 X2 240 VB CB XB X1 h2 72 9 1 -6/8 72/9 = 8 F2 * 1/8 64 * 1/8 = 8 4 * 1/8 = 1/2 8 * 1/8 = 1 0 * 1/8 = 0 1 * 1/8 = 1/8 F1 – F2 * 6/8 120 – 64 * 6/8 = 72 12 – 4 * 6/8 = 9 6 – 8 * 6/8 = 0 1 – 0 * 6/8 = 1 0 – 1 * 6/8 = -6/8 8 1/2 1 1/8 8 / 0,5 = 16 1920 -80 30 200 240

Método Simplex Método Simplex VB CB XB X1 X2 h1 h2 VB CB XB X1 X2 h1 72 9 1 -6/8 240 8 1/2 1/8 1920 -80 30 200 F2 – F1 * 1/2 8 – 8 * 1/2 = 4 1/2 – 1 * 1/2 = 0 1 – 0 * 1/2 = 1 1 – 19 * 1/2 = -1/18 1/8 + 1/12*1/2 = 1/6 F1 * 1/9 72 * 1/9 = 8 9 * 1/9 = 1 0 * 1/9 = 0 1 * 1/9 = 1 -6/8 * 1/9 = -1/12 VB CB XB X1 X2 h1 h2 200 240 8 1 1/9 -1/12 Solución óptima Z = 2560 X1 = 8 X2 = 4 4 1 -1/18 1/6 2560 80/9 70/3 200 240

Método Simplex Un taller tiene 3 tipos de máquinas A, B y C y fabrica 2 tipos de productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y finalmente a la C. La tabla muestra: 1) Las horas requeridas en c/máquina por unidad de producto. 2) Las horas totales disponibles para c/máquina por semana. 3) La ganancia por unidad vendida de cada producto ¿Qué cantidad de cada producto debe producirse por semana para obtener la máxima ganancia?¿cuántas horas semanales sobran en cada máquina?

Método Simplex F.O.: Max Z = X1 + 1,5X2 S a: 2X1 + 2X2  16 Horas disponibles en máquina A X1 + 2X2  12 Horas disponibles en máquina B 4X1 + 2X2  28 Horas disponibles en máquina C Xj  0 y entero j = 1 y 2 No negatividad Max Z = X1 + 3/2 X2 S.a 2X1 +2X2 + h1 = 16 X1 + 2X2 + h2 = 12 4X1 + 2X2 + h3 = 28 X1, X2, h1, h2, h3  0

Método Simplex VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3 h1 h2 h3 1 3/2 16 2 1 8 12 1 2 16 2 1 8 12 1 2 6 28 4 2 1 14 -1 -3/2

Método Simplex VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3 h1 X2 h3 1 3/2 4 1 -1 4 F2 / 2 4 1 -1 4 F2 / 2 6 1/2 1 3/2 12 F1 - F2 * 2 F3 - F2 * 2 16 3 -1 1 16/3 9 -1/4 3/4

Método Simplex VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3 X1 X2 h3 1 3/2 4 1 -1 F1 4 1 4 1 -1 F1 4 1 -1/2 3/2 F2 – F1 / 2 F3 – F1 * 3 4 -3 2 1 10 1/4 1/2 Solución óptima Z = 10 X1 = 4 X2 = 4 h3 = 4