Programación Lineal Entera Binaria

Programación Lineal Entera Binaria

Estudiamos el problema de Programación Lineal en números enteros en el que las variables solo puedan tomar los valores «0» y «1».

Estudiamos el problema de Programación Lineal en números enteros en el que las variables solo puedan tomar los valores «0» y «1». Su resolución no se hará mediante algoritmos sino mediante las funciones Maximize[ ]/Minimize[ ] ó Nmaximize[ ]/Nminimize[ ].

Estudiamos el problema de Programación Lineal en números enteros en el que las variables solo puedan tomar los valores «0» y «1». Su resolución no se hará mediante algoritmos sino mediante las funciones Maximize[ ]/Minimize[ ] ó Nmaximize[ ]/Nminimize[ ]. Como ejemplo damos el Problema de la Mochila de interesantes aplicaciones a la Economía.

Introducción Consideremos el problema: Maximizar F(x) = ct x Sujeta a: A x ≤ b x ≥ 0, xi  Z en el que todas o algunas variables tomen valores enteros.

Introducción Consideremos el problema: Maximizar F(x) = ct x Sujeta a: A x ≤ b x ≥ 0, xi  Z en el que todas o algunas variables tomen valores enteros. Si las variables de decisión solo pueden tomar los valores 0 ó 1, entonces se llamarán binarias y el problema será de P.L. Entera Binaria:

Introducción Consideremos el problema: Maximizar F(x) = ct x Sujeta a: A x ≤ b x ≥ 0, xi  Z en el que todas o algunas variables tomen valores enteros. Si las variables de decisión solo pueden tomar los valores 0 ó 1, entonces se llamarán binarias y el problema será de P.L. Entera Binaria: xj = 0 ó 1

Ejemplo: Una empresa está estudiando la posibilidad de expansión mediante la construcción de una nueva fábrica ya sea en Ciudad 1 ó en Ciudad 2 ó en ambas ciudades. Si construye una fábrica en la Ciudad x, se puede construir un almacén en dicha Ciudad, pero solo se construiría uno. La siguiente tabla muestra el beneficio aportado por la inversión y los costes. El capital total disponible es de 10 um. Se pide encontrar la solución que maximiza el beneficio total. Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2

En este ejemplo, al ser sencillo, podemos estudiar exhaustivamente todas las combinaciones posibles 2 𝑛 (n=número de variables, en nuestro caso 2 4 = 16 casos posibles) y elegir la que sea más conveniente:

Casos Fábrica 1 2 Almacén 1 Almacén 2 S N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Casos Fábrica 1 2 Almacén 1 Almacén 2 Bene-ficio Coste ¿Admisi- ble? S N 20 14 NO 3 18 11 4 5 6 9 SI 7 15 8 10 12 13 16

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4:

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0)

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 - Restricciones: - Limitaciones de capital: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 - Restricciones: - Limitaciones de capital: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 - Restricciones: - Limitaciones de capital: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 - Solo se construye un almacén: x3 + x4 ≤ 1

Este problema puede ponerse en P.L. Entera: Variables de decisión: x1,x2,x3,x4: x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2 x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2 Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0) - Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 - Restricciones: - Limitaciones de capital: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 - Solo se construye un almacén: x3 + x4 ≤ 1 - Se construye el almacén solo si se construye la fábrica : x3 ≤ x1 , x4 ≤ x2

Luego el modelo es: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 Sujeta a: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 x3 + x4 ≤ 1 x3 ≤ x1 x4 ≤ x2

Luego el modelo es: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 Sujeta a: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 x3 + x4 ≤ 1 x3 ≤ x1 x4 ≤ x2 Hemos de añadir las siguientes restricciones: Las variables son enteras: x1, x2, x3, x4  Z

Luego el modelo es: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 Sujeta a: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 x3 + x4 ≤ 1 x3 ≤ x1 x4 ≤ x2 Hemos de añadir las siguientes restricciones: Las variables son enteras: x1, x2, x3, x4  Z Las variables solo pueden tomar loa valores 0 ó 1: x1, x2, x3, x4  [0,1]

Lo resolvemos con Mathematica: Que nos indica que el beneficio se maximiza construyendo solo las fábricas 1 y 2 y ningún almacén. Hemos obtenido el mismo resultado que por el método extensivo.

Cambiemos ahora algunos datos: Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2 Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2

Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2 Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 4 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 Almacén Ciudad 2

Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2 Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2

Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste 1 Fábrica Ciudad 1 9 6 2 Fábrica Ciudad 2 5 3 Almacén Ciudad 1 4 Almacén Ciudad 2 El capital total disponible es de 10 um. El capital total disponible es de 11 um

En el siguiente mini-video veremos El Problema de la Mochila

Mini-video 2 de 2

Introducción Consideremos el problema: Maximizar F(x) = ct x Sujeta a: A x ≤ b x ≥ 0, xi  Z en el que todas o algunas variables tomen valores enteros. Si las variables de decisión solo pueden tomar los valores 0 ó 1, entonces se llamarán binarias y el problema será de P.L. Entera Binaria: xj = 0 ó 1

El Problema de la Mochila

Ejemplo 1 Sea una empresa que fabrica objetos de papelería, que en el ejercicio económico que se cierra ha obtenido un excedente de €; se plantea invertir esta cantidad (o parte de ella) en algunos productos, teniendo en cuenta que los beneficios son: Lápices de colores con un beneficio de € Gomas de borrar con un beneficio de € Carboncillos con un beneficio de € Por otra parte, los costes son: Coste de las instalaciones para fabricar lápices de colores: € Coste de las instalaciones para fabricar gomas de borrar: € Coste de las instalaciones para fabricar carboncillos: €

Queremos elegir alguno (o varios) de los productos anteriores. Parece lógico tener en cuenta la relación bi/ci en el que consideramos los beneficios y los costes a la vez (algoritmos voraces): En nuestro ejemplo, si calculamos este ratio, obtenemos: Lápices de colores: / = 1.1 Gomas de borrar: / = 1.5 Carboncillos: 1.000/4.000 = 0.25 De forma que elegiríamos primero “Gomas de borrar” pues su ratio es el mayor (con un coste de €); el siguiente ratio (1.1) sobrepasa el peso de la mochila máximo, por lo que elegimos “carboncillos” (con un coste de €), no pudiendo elegir más, ya que nuestro presupuesto era de €.

Con esta solución, el beneficio obtenido es de = €. Como veremos más adelante, si este problema se resuelve por técnicas de Programación Lineal, la solución obtenida no es la misma, resulta que elegimos “Lápices de colores”, el cual nos proporciona un beneficio mayor, €. En este ejemplo, al ser sencillo, podemos estudiar exhaustivamente todas las combinaciones posibles 2 𝑛 (n=número de variables, en nuestro caso 2 3 = 8 casos posibles) y elegir la que sea más conveniente:

Lápices Gomas Carboncillos Coste Beneficio Admisibles 1 Si 20.000 21.000 No 2 16.000 3 14.000 12.000 4 10.000 5 11.000 6 6.000 9.000 7 4.000 1.000 8

Formulación mediante Programación Lineal Llamaremos: n : número de objetos entre los que se puede elegir. ci : peso del objeto “i”; ci representa el coste de escoger un objeto, pues va a ocupar “espacio de la mochila” y dejará fuera otros objetos. bi: utilidad o beneficio que proporciona cada objeto. P: capacidad de la mochila, lo que equivale al presupuesto máximo del que se dispone. Las variables del problema, xi, son binarias, es decir, sólo pueden tomar dos valores: El valor “1” si el objeto se incluye en la mochila El valor “0” si el objeto se excluye de la mochila

Hemos de maximizar el beneficio total: b1x1+…+bnxn Pero estamos sujetos a la restricción de la capacidad de la mochila, es decir: c1x1+…+cnxn  P Luego el problema le formulamos como:

Ejemplo 1 mediante Programación Lineal: x1: lápices de colores, x2: gomas de borrar, x3: carboncillos Objetivo: Maximizar x x x3 Restricciones: x x x310000 x1,x2,x3  [0,1] x1,x2,x3  Z

Ejemplo 1 mediante Programación Lineal: x1: lápices de colores, x2: gomas de borrar, x3: carboncillos Objetivo: Maximizar x x x3 Restricciones: x x x310000 x1,x2,x3  [0,1] x1,x2,x3  Z Beneficio Coste Lápices € € Gomas 9.000 € 6.000 € Carboncillos 1.000 € 4.000 € 10.000

Ejemplo 1 mediante Programación Lineal: x1: lápices de colores, x2: gomas de borrar, x3: carboncillos Objetivo: Maximizar x x x3 Restricciones: x x x310000 x1,x2,x3  [0,1] x1,x2,x3  Z

Ejemplo 1 mediante Programación Lineal: x1: lápices de colores, x2: gomas de borrar, x3: carboncillos Objetivo: Maximizar x x x3 Restricciones: x x x310000 x1,x2,x3  [0,1] x1,x2,x3  Z En resumen: Mediante “algoritmos voraces”, fabricar gomas de borrar y carboncillos con un beneficio de €. Solución mediante el “problema de la mochila”: fabricar solo lápices con un beneficio de €.

Ejemplo 2 Una empresa dispone de un millón de euros para invertir en nuevos proyectos. En concreto dispone de 3 nuevos proyectos posibles. En la siguiente tabla aparece el coste que supone cada uno de ellos, así como el beneficio que se espera de su realización. La empresa desea saber en cuál debe invertir si quiere maximizar su beneficio esperado sin superar su presupuesto: Coste inversión Beneficio esperado Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4

Si utilizamos para resolverlo el “razonamiento lógico” que consiste en elegir, en primer lugar, aquel que ofrezca un mayor ratio: Beneficio esperado / Coste de inversión

Si utilizamos para resolverlo el “razonamiento lógico” que consiste en elegir, en primer lugar, aquel que ofrezca un mayor ratio: Beneficio esperado / Coste de inversión De tal forma que elegiríamos los Proyectos 3 y 1 (no podemos más ya que elegir el 4 supondría un coste mayor del millón de euros), con un beneficio esperado de = €

Para resolverlo mediante Programación Lineal, llamamos xi a una variable binaria que toma el valor 1 si se elige el proyecto i ( i = 1, 2, 3, 4) y cero en caso contrario. La formularemos: Maximizar x x x x4 Sujeta: x x x x4 ≤ 106 x1, x2, x3, x4  [0,1] x1, x2, x3, x4  Z

Para resolverlo mediante Programación Lineal, llamamos xi a una variable binaria que toma el valor 1 si se elige el proyecto i ( i = 1, 2, 3, 4) y cero en caso contrario. La formularemos: Maximizar x x x x4 Sujeta: x x x x4 ≤ 106 x1, x2, x3, x4  [0,1] x1, x2, x3, x4  Z Coste inversión Beneficio esperado Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4

Para resolverlo mediante Programación Lineal, llamamos xi a una variable binaria que toma el valor 1 si se elige el proyecto i ( i = 1, 2, 3, 4) y cero en caso contrario. La formularemos: Maximizar x x x x4 Sujeta: x x x x4 ≤ 106 x1, x2, x3, x4  [0,1] x1, x2, x3, x4  Z

Para resolverlo mediante Programación Lineal, llamamos xi a una variable binaria que toma el valor 1 si se elige el proyecto i ( i = 1, 2, 3, 4) y cero en caso contrario. La formularemos: Maximizar x x x x4 Sujeta: x x x x4 ≤ 106 x1, x2, x3, x4  [0,1] x1, x2, x3, x4  Z El beneficio esperado es de €, € mas que por el método anterior.

Ejemplo 3 El Club Baloncesto Unicaja de Málaga quiere contratar uno o varios jugadores nuevos; para ello, ha sondeado el mercado y ha encontrado a 5 jugadores, sabiendo que el club dispone de un presupuesto máximo de €/ mes. En la siguiente tabla aparece una relación de los candidatos a ser fichados junto con su aportación esperada y el sueldo que percibirían: Sueldo Aportación Jugador 1 50.000 15 Jugador 2 25.200 8 Jugador 3 36.000 Jugador 4 47.000 17 Jugador 5 12.000 7

Resolviendo mediante programación lineal: Maximizar 15x1+8x2+15x3+17x4+7x5 Sujeta a: x x x x x5 ≤ x1, x2, x3, x4, x5  [0,1] x1, x2, x3, x4, x5   O dividiendo la primera restricción por 1000: Sujeta a: x x x x x5 ≤ 103 x1, x2, x3, x4, x5  Z

Obtenemos entonces que sería rentable la contratación de los jugadores 3 y 5 con un coste de =48000€/mes, cantidad menor que la permitida de 50000€/mes

Obtenemos que sería rentable la contratación de los jugadores 3 y 5 con un coste de =48000€/mes, menor que la permitida de 50000€/mes Podríamos escoger como criterio el ratio "Aportación/Sueldo", ya que tenemos en cuenta ambos factores en la decisión: cuanto más alto sea este ratio, preferible será contratar a este jugador. Reconsideraremos el sueldo, dividiéndolo por para hacer el ratio más operativo: Sueldo Aportación Aportación / Sueldo Jugador 1 50 15 0,3000 Jugador 2 25,2 8 0,3175 Jugador 3 36 0,4167 Jugador 4 47 17 0,3617 Jugador 5 12 7 0,5833

Como hemos dicho, escogeremos aquellos jugadores con mejor ratio hasta agotar el presupuesto: Jugador 5: ratio =0,58333, sueldo = € Jugador 3: ratio =0,41666, sueldo = €

Como el total disponible era de € y tenemos acumulado €, no hay más jugadores cuyo sueldo pueda entrar en presupuesto, así que éste es nuestro resultado definitivo por este método, resultado que coincide con el obtenido mediante Programación Lineal.

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