La Derivada

Ya vimos: los conceptos, métodos ó instrumentos necesarios para establecer el “comportamiento” de una función.  en un entorno de x o [  estudiando el : ],  para x´s “muy grandes” (  ) [  estudiando el : ],  en el punto x o [  estudiando : ] O sea, estudiamos métodos para conocer como varía f al variar x. * ¿tiene comportamiento “definido” ?, * ¿se acerca a “un valor determinado” ?, * ¿se hace “cada vez más grande” (positiva o negativamente)?, * ¿presenta “salto” ó “agujero”?). Ahora, continuamos estudiando las funciones pero “desde otra perspectiva”. Dada y = f(x) ; x o  Dom f, ahora el objetivo es determinar cuánto varía f al variar x en un entorno de x o. Introducció n continuidad de f en x o

Dada y = f (x), quedan definidas dos variables: v.i  “ x” y v.d  “y”. Al variar x en un entorno de x o  Dom f ; se generan dos tipos de “incrementos”: * el de la variable independiente :  x = x - x o ; * el de la variable dependiente :  y = y - y o y  x x o x = x o +  x x y o yy punto incrementado  y = y - y o Observaciones:   y depende de x o y de  x. Para x o fijo, depende sólo de  x.  Para x o fijo,  y es función de  x ; (   /  y =  (  x) ). CAMBIO “TOTAL” en y, al variar x de “ x o a x o +  x”

Ejemplo 1: En la empresa donde trabaja, finalizada la jornada se han llenado todos los tanques del día, excepto uno. Su jefe le pide que por favor se haga cargo de este tanque, que se quede un poco más; que en 2 hs. ya entraron 4 ls. ; sólo faltan 12 ls. para que se llene. Si sabe que hay dos tipos de tanques, ¿le convence el argumento del jefe de que 12 ls. es “poco” ?; ¿o preguntaría de que tanque se trata antes de aceptar quedarse ?. [ T1 ] t o =2  V( t o ) = 4  V = 12 ( l s )  t = ……. ( h s ) 4 ls V( ls ) V(ls)V(ls) 4 ls  t =  V = 12  t = 30  V = 12  t = 30  V = 12 0 t ( hs ) [ T2 ] t o =2  V( t o ) = 4  V = 12 ( l s )  t = ……. (h s )

  V = 12  V aumenta 12 ls (¿es mucho?, ¿ poco ?, ¿o es relativo?) [ T1] V = t 2 ; t o = 2   V = V( 2 +  t) – V( 2 ) = V(4 ) – V (2 ) = = 12 [ T2 ] V = ; t o = 2   V = V ( 2 +  t)– V( 2 ) = V(32 )–V (2 )= – 4 = 12 Evaluar el cambio total en V, requiere referir el mismo al cambio en t. [ T1]  t = 2 <<<<<  V = 12 El  V es ´poco´ en ´relación´ al  t. ( se requiere poco tiempo para llenar 12 ls.) Decimos que V aumenta rápidamente. [ T2]  t = 30 >>>>>>  V = 12 El  V es ´mucho´ en ´relación´ al  t. (se requiere mucho tiempo para llenar 12 ls ) Decimos que V aumenta lentamente. V = t 2 V = V t  t = 2  t = 30

 y = x 2 ; x o = 2   y = f ( 2 +  x ) – f ( 2 ) = 4 2 – 2 2 = 12  y = ; x o = 2   y = g ( 2 +  x ) – g ( 2 )= – 4 = 12   y = 12  y aumentó 12 unidades ( ¿ es mucho, poco o “relativo” ? ) Evaluar el cambio total en y, requiere referirlo al cambio en x. [ f ]  x = 2 <<<<<  y = 12 ( se requiere que x varíe poco para que y crezca 12 unidades) Decimos que y, aumenta rápidamente. [ g]  x = 30 >>>>>>  y = 12 ( se requiere que x varíe mucho para que y crezca 12 unidades ) Decimos que y, aumenta lentamente. y = x 2 y = y x  x = 2  t = 30

Vemos así que dada y = f(x).  el cambio total en y (  y) es un valor de relativa utilidad; mientras que,  el cambio en y “ en relación” al cambio en x, es un dato realmente útil ; informa acerca de la ´rapidez´ con que una función varía en el entorno de un punto dado. La forma practica de evaluar la rapidez es a través del cociente de los incrementos. Tan importante es este cociente que se le da un nombre y se dedica una rama del Cálculo a su estudio. Se lo llama: razón de cambio en y respecto al cambio en x, o abreviadamente, “razón de cambio ”. Razón de cambio : Este cociente recibe diversos nombres los que dependen de la disciplina de que se trate. Así, en Matemática se lo llama cociente incremental mientras que en las Ciencias Fácticas lo más habitual es llamarlo, razón de cambio.

 ¿Qué información brinda la “razón de cambio” respecto a f ?.  Razón de Cambio y Función Lineal. Dada y = f(x) con f lineal, vimos que: f lineal  = m ;   x  la razón de cambio es constante.  ¿qué dice esto de la función lineal ?:  que “ y cambia exactamente ´m´ unidades por cada cambio unitario en x ” ; o sea que “ y varía a velocidad constante ”.  fundamentalmente que ´velocidad de variación constante´ es lo que caracteriza a la función lineal. O sea, una propiedad que presenta la función lineal y sólo ella.  y =2 y = 2.x + 1  = 2  x =1

 ¿Qué información brinda la “razón de cambio” respecto a f ?.  Razón de Cambio y Función No Lineal. Investigamos un ´caso simple´ : f (x) = x 2. ¿COMO? : procedemos a:  elegir un x o  x o = 1  calcular  y para distintos  x.  calcular  y/  x;  organizar la información de modo que permita detectar alguna “regularidad” en el comportamiento de  y/  x. Cálculo de  y  dos procesos para este calculo, (I) por definición: calculando,  y = f ( 1+  x) – f (1 ) (II) por fórmula: obteniendo  y como función de  x.   y =  (  x )  x  R   y = f ( 1+  x ) – f ( 1 ) = (1+  x ) 2 – (1) 2 = 2.  x +  x 2  y =  (  x) con  (  x) = 2.  x +  x 2  y /  x cte  y /  x, ¿decrecen??  y  0 ??  x  0

Observaciones:  Vemos una tendencia en el comportamiento de los  y; estos parece que decrecen a medida que  x  0.  Preguntamos, ¿tendrán los  y un comportamiento definido ?, ¿se acercarán “tanto como quieran” a un único número?. De continuar la tabla con  x cada vez más chicos (  x = 0.1; 0.01;...) veríamos que los  y siguen acercándose a “cero” y “tanto como quieran”. ¿Cómo corroboramos o refutamos esta hipótesis?: calculando  y  y =  (  x ) = [ 2  x + (  x) 2 ] = 0 Conclusiones: *  y es un infinitésimo para  x  0 (según lo demostrado) *  x es un infinitésimo para  x  0 (trivial) * la razón de cambio, cte y es cociente de infinitésimos.

Concluimos así que la razón de cambio puede ser visualizada como,  un cociente de incrementos; o como,  un cociente de infinitésimos. Esta nueva forma de “ver” las cosas habilita un nuevo camino para investigar “ la razon de cambio ” (en un entorno de x o ):  investigar el comportamiento ´relativo´ de dos infinitésimos; o sea,  proceder a la “comparación de infinitésimos”. ¿Cómo “comparamos infinitésimos” ?: evaluando el límite del cociente entre los respectivos infinitésimos (incrementos) Concluimos así que el interrogante planteado para la razón de cambio en el caso de las funciones no lineales lo podemos resolver a través del cálculo y evaluación del.

DEFINICIÓN de DERIVADA: Dada y = f (x) y x o  D f con f ´ (x o ) indicamos la derivada de f en x o, la que definimos como: (si el limite existe finito) Observaciones:  El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación.  Si existe, decimos que la función es derivable en x o.  Si existe la derivada,  x o  D, decimos que la función es derivable en D.  Existen otras notaciones para la derivada, alguna de las cuales son:  El cálculo de una derivada es el cálculo de un límite “indeterminado”

 Cálculo “por definición” de En (*) el cociente incremental queda en función de ´x´ ; luego, es necesario cambiar la variable del límite. Para hacer esto tenemos en cuenta que: y  x x o x = x o +  x x y o yy  x  x  0 si y sólo si x  xo x o x = x o +  x  Como x = x o +  x, es evidente que: si  x  0 entonces x  x o.  Como  x = x – x o, es evidente que: si x  x o entonces  x  0.

 Para hallar la derivada de una función, por ejemplo f (x) = x n ; procedemos a:  elegir alguna forma de expresar el CI , =  calcular el límite del CI elegido  Ejemplo: cálculo por definición de f ´ ( 5 ) para f (x) = x n con n = 2; 3; 4  f (x) = x 2  = ( dividimos )= = 10  f (x) = x 3  = (dividimos)= = 75  f (x) = x 4  = (dividimos)= =500

 El análisis retrospectivo de los pasos realizados para obtener f´(5) para distintos n´ s permite apreciar un ´patrón´ en el proceso de cálculo. O sea, posibilita la detección de un esquema que se repite potencia a potencia y que permitiría generalizar el proceso, simplificar el cálculo

 El trabajo realizado permite ´inducir´ una ´fórmula´ para el cálculo de la derivada de una potencia. Como esta fórmula resulta de un ´proceso inductivo´ no se puede afirmar que sea válida  n. Esto se debe ´demostrar´ (ejercicio). Esta regla se puede generalizar a cualquier tipo de potencia, obteniéndose:

En general, el dominio de la función derivada es : Df´ = D ( ley de f´ )  Df.

 Dado que el cálculo ´por definición´ de una derivada desemboca siempre en una indeterminación del tipo 0/0 en lo que sigue vamos a buscar formas alternativas de cálculo; en particular, reglas de cálculo del estilo de las halladas para las potencias. O sea, vamos a buscar reglas de derivación que faciliten el cálculo de derivadas. TEOREMAS FUNDAMENTALES del CALCULO DIFERENCIALTEOREMA TEOREMA 1 ( relación entre derivabilidad y continuidad ) Si f es derivable en x o, entonces f es continua en x o. Demostración: (si) TEOREMA 2 (derivada de la suma o resta) : (f  g ) ´ (x) = f ´ (x)  g ´ (x). TEOREMA 3 ( derivada del producto ): (f. g ) ´ (x) = f ´ (x). g(x) + f(x). g ´ (x). TEOREMA 4 ( derivada del cociente ): (f / g ) ´ (x) = f´ (x). g(x) - f(x). g´ (x). g 2 (x) TEOREMA 5 ( derivada de la composición o “regla de la cadena” ): h = f o g  h ´ (x) = f ´ ( g (x ) ). g ´ (x)

 Pero, ¿ porqué o para qué calculamos derivadas?. Ocupados en el cálculo hemos perdido de vista el problema que dio origen al concepto de derivada; no hemos analizado aún si la derivada es efectivamente una respuesta a dicho problema. Nos detenemos entonces a reflexionar acerca de esta cuestión; es decir, si la derivada en un punto permite cuantificar o cuanto menos estimar, “el cambio en y en relación al cambio en x” (en el entorno del punto). Revisamos los resultados obtenidos y tratamos de concluir algo al respecto.