Instituto Tecnológico de Tijuana Subdirección Académica Departamento de Sistemas y Computación Semestre Agosto-Diciembre 2013 Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones Matemáticas Discretas 2 3TI2A “Teoría de grafos” Unidad 1 Tijuana B.C. a 10 de Octubre del 2013

Menú ¿Qué es un grafo? Partes de un grafo Tipos de grafos Planteamiento del problema Grafo Identificando las partes de nuestro grafo Matriz de Adyacencia Matriz de Incidencia Problema #2 Tipo de grafo Algoritmo de Fleury Grafo que cumple con el algoritmo Bitácora Integrantes Maestra

¿Qué es un grafo? Diagrama que consta de un conjunto de vértices (V) y un conjunto de lados (L). Menú

Partes de un grafo -VÉRTICES (NODOS): Se indican por medio de un pequeño círculo y se le asigna un número o letra. V = {a,b,c,d}. -LADOS (RAMAS O ARISTAS): Son las líneas que unen un vértice con otro y se le asigna una letra, un número o una combinación de ambos. L = {1,2,3,4,5,6}. -LADOS PARALELOS: Son aquellas aristas que tienen relación de un mismo par de vértices. P = {2,3}. -LAZO: Es aquella arista que sale de un vértice y regresa al mismo vértice. A = {1,1,} -VALENCIA DE UN VÉRTICE: Es el número de lados que salen o entran a un vértice. Valencia (a)= 2, Valencia (b) = 4, Valencia (c) = 2, Valencia (d) = 3. Menú

Tipos de grafos Dirigidos o dígrafo: Que las aristas tengan una dirección. No dirigidos: Que las aristas no tengan una dirección. Grafo simple: Son aquellos que no tienen lazos ni lados paralelos. Grafo nulo: Este grafo no tiene vértices ni aristas. Menú

Grafo Regular de grado n: Es cuando todos los vértices tienen el mismo numero de aristas. Grado completo de n vértices(Kn): Es cuando cada vértice esta relacionado con todos los demás sin lazos ni lados paralelos. Complemento de un grafo: Es lo que le falta para ser un grafo completo de n vértices sin lazos ni lados paralelos. Menú

Grafo bipartido: Esta compuesto por 2 conjuntos(a y b), donde los elementos de un conjunto se relaciones con el otro pero no con los del mismo conjunto. Grafo bipartido completo(Kn,m):Es el grafo que esta compuesto por 2 conjuntos de vértices, a y b y, en el que cada vértice de a esta unido con todos los vértices de b, pero entre los vértice de uno mismo no existe arista que los una. Menú

Conexo(conectado): Siempre existe un camino para ir de un vértice a otro. No Conexo(No conectado):Existen vértices que no están conectados y, por lo tanto no se puede acceder a ellos. Camino de Euler: Tiene que ser conexo y siempre comienza y termina en vértices que tienen valencia impar. Circuito de Euler: Tiene que ser conexo y todos los vértices tiene valencia par. Menú

Planteamiento del problema Un prófugo de la justicia se escapa de la prisión de San Diego, se dirige hacia Las Vegas para recoger sus pertenencias, de ahí cruza la frontera y se dirige a Mexicali, después se va a Tecate a comprar pan dulce. Un día después va a Tijuana a Turistear, después va a Rosarito a conocer sus playas, en la noche regresa a Tijuana para irse a un antro donde conoce a una muchacha que es de Ensenada y la acompaña hasta allá. Al día siguiente toma un crucero para ir a Los Ángeles para pasear por todo Hollywood y de ahí se va a Las Vegas, a su casa secreta a vivir tranquilamente. Menú

Grafo Empezamos ubicando los vértices que se utilizarán Ahora, una vez que tenemos los vértices, procederemos a unirlos, siguiendo el orden que se nos planteo en el problema. “conoce a una muchacha que es de Ensenada y la acompaña hasta allá” “Un prófugo de la justicia se escapa de la prisión de San Diego” “se dirige hacia Las Vegas para recoger sus pertenencias” “toma un crucero para ir a Los Ángeles” 3.- De Mexicali a Tecate “regresa a Tijuana para irse a un antro” 7.- De Tijuana a Ensenada “después va a Rosarito a conocer sus playas” 5.- De Tijuana a Rosarito “cruza la frontera y se dirige a Mexicali” 2.- De Las Vegas a Mexicali 1.- De San Diego hacia Las Vegas “va a Tecate a comprar pan dulce” 8.- De Ensenada a Los Ángeles 9.- De Los Ángeles a Las Vegas 4.- De Tecate a Tijuana “después va a Tijuana a Turistear” 6.- De Rosarito a Tijuana Los Ángeles Las Vegas San Diego Tecate Mexicali Tijuana Rosarito Ensenada Menú

Identificando las partes de nuestro grafo Los Ángeles r9 Las Vegas b h Entonces tenemos lo siguiente: r1 San Diego r2 Vértices = 8 a Aristas = 9 Lados paralelos = 1 r8 Tecate Mexicali c Lazos = r4 d Tijuana e r3 r6 r5 Los lazos son fáciles de identificar, podemos darnos cuenta de su presencia cuando una arista sale y regresa al mismo vértice sin pasar por ningún otro. En este grafo no hay lazos presentes. Los lados paralelos se pueden identificar cuando hay una arista que sale de un vértice pasa por otro y luego regresa al mismo vértice de origen. En este caso podemos observar que existe un lado paralelo en: “e” con “f” En este caso serían {a,b,c,d,e,f,g,h} que en total son 8. Las aristas son las “líneas” que unen a los vértices, en este grafo se puede observar que son 9 Asignaremos letras a los vértices y numeraremos las aristas Los vértices o “puntos” son las partes en las que estuvo el ladrón En los vértices tomamos en cuenta el orden de lugares por los que el prófugo fue pasando, en el caso de las aristas ya que este grafo no es muy extenso. Se pueden identificar a simple vista f Rosarito Ahora pasaremos a identificar las valencias de cada uno de los vértices r7 La valencia son las aristas que salen de un vértice Ensenada g Valencia (a) = 1 Valencia (d) = 2 Valencia (g) = 2 Valencia (b) = 3 Valencia (e) = 4 Valencia (h) = 2 Valencia (c) = 2 Valencia (f) = 2 Menú

Tipos de grafos Complemento de un grafo: Es el grafo G, que les falta para completar un grafo complemento de n vértices. No dirigido: Es cuando las aristas no tienen dirección. Conexo: Siempre ahí un camino para cada vértice de ida. Menú

Matriz de Adyacencia Esta matriz nos permitirá saber la cantidad de relaciones que hay entre los vértices Los Ángeles r9 b h r1 San Diego r2 a r8 Tecate c r4 d Tijuana e r3 r6 r5 f Rosarito En una matriz de adyacencia basta con ver aristas que tiene cada vértice con los demás. Por ejemplo: “a” tiene relación con “b”, así que lo marcaremos con 1 en nuestra matriz. r7 Ensenada g Menú

Matriz de Incidencia Esta matriz nos sirve para saber las relaciones de las aristas con los vértices r9 b h r1 r2 San Diego a r8 Tecate c r4 d Tijuana e r3 r6 r5 f En esta matriz debemos de marcar con “1” en donde haya una relación entre la arista y el vértice. Rosarito r7 Ensenada g Menú

Problema #2 Un repartidor de Pizza tiene 5 pedidos a diferentes casas, solamente cuenta con 1 hora para entregarlos y regresar a su trabajo. ¿Qué camino pudiera usar para recorrerlos una vez? (Recomendable ver el primer grafo antes que este) Menú

Grafo Haremos el grafo teniendo en cuenta el planteamiento del problema “Un repartidor de Pizza” “5 Pedidos” 1 Partes del grafo Pizzería Casa 1 2 Vértices = 6 Casa 2 Aristas = 12 Casa 3 3 Lados paralelos = 4 Lazos = Casa 4 Casa 5 5 6 Valencias Valencia [1] = 4 Valencia [1] = 4 Valencia [1] = 4 Valencia [1] = 4 Valencia [1] = 4 Valencia [1] = 4 Menú

Matriz de Adyacencia / Matriz de Incidencia Tipo de grafo No dirigido: Porque las aristas no tienen dirección. Simple : Porque no tiene lazos ni lados paralelos Grado regular de n : 4 Matriz de Adyacencia / Matriz de Incidencia Menú

Algoritmo de Fleury Verificar que el grafo sea conexo y que todos los vértices tengan valencia par. Si no cumple con esas condiciones entonces el grafo no tiene Circuito de Euler y Finalizar. Si cumple con la condición anterior, seleccionar un vértice arbitrario para iniciar el recorrido. Escoger una arista a partir del vértice actual. Esa arista seleccionada no debe ser “Lado puente”; a menos que no exista otra alternativa. (Lado puente es aquella arista que si se elimina, los grafos pierden la propiedad de ser conexos. Desconectar los vértices unidos por la arista seleccionada. Si todos los vértices del grafo ya están desconectados, ya se tiene el circuito de Euler y Finalizar. De otra manera continuar con el paso 3. Menú

Grafo que cumple con el algoritmo 1 2 3 4 5 6 Comenzaremos a poner en acción el algoritmo El resultado que obtenemos es el siguiente: (1 ,2 ,6 ,4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,1 , 5, 3 , 1) Menú

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Integrantes Abrahán Reyes Moralez#13210422 Enrique Alberto Plaza Molina#13210421 Roberto Rivera Jr. Monzón#13210429 José Everardo López Anguiano#13210427 Jorge Luis Partida Espinoza#13210420 Menú

Maestra Lizeth Chavira Macías Menú