MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Presentado por: Juan Alejandro Ávila Edgard Felipe Cadena Diego Eduardo García Juan Pablo Naranjo Eliana Pinto Braulio Vanegas Estadística Aplicada 2014-2

Medidas de tendencia Central: CONTENIDO Medidas de tendencia Central: Mapa mental: Pierre Simon Laplace Moda Mediana Media Aritmética Media Ponderada Media Armónica Media Cuadrática Media Cúbica Media Geométrica

MODA CONSIDERACIONES: Valor que tiene mayor frecuencia absoluta en una distribución de datos. Ej: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5. Mo=4 Cuando hay más de un valor con la misma frecuencia máxima, la distribución puede ser multimodal Ej: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 9 Mo=1, 5, 9 Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no hay moda. Ej: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 DATOS NO AGRUPADOS Que más veces se repite…datos cuali o cuantitativos. Si en la distribución hay…es decir varias modas….bimodal 2….trimodal 3 Si dos valores adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de ellas. Ej: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo=4 (No aplica si además de ellos hay otra moda) Ej: 9,9

MODA DATOS AGRUPADOS Intervalo modal: Intervalo que posee las mayor frecuencia y en el cual se encuentra la moda No se sabe cual es la moda dentro del intervalo modal, entonces se compara con las frecuencias vecinas. Proporcional en distancias a las frecuencias vecinas. Fórmula aproximada:

(Intervalos con igual amplitud) MODA DATOS AGRUPADOS EJEMPLO DE APLICACIÓN (Intervalos con igual amplitud) Intervalo Frecuencia [60, 63) 5 [63,66) 18 [66,69) 42 [69,72) 27 [72,75) 8 Total 100 Fórmula aproximada:

MODA DATOS AGRUPADOS EJEMPLO DE APLICACIÓN 2. (Intervalos con diferente amplitud) Calificaciones de 50 estudiantes Calificación Frecuencia Altura [0,5) 15 3 [5,7) 20 10 [7,9) 12 6 [9,10) Total 50 Primero se hallan las alturas Luego:

MODA Inconvenientes: Inconvenientes: Ventajas: Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor. Puede haber más de una moda o puede no darse. En distribuciones muy asimétricas suele ser un dato poco representativo. Inconvenientes: Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales dentro de una misma población. En variables agrupadas, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud, por eso es la medida de tendencia central más inestable. Ventajas: Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos. Es estable a los valores extremos

MEDIANA Me Es el valor del medio que divide la distribución de datos ordenados en dos partes. Ordenados de menor a mayor. Variables cuantitativas Me

Para datos no agrupados Ordenan datos de menor a mayor Par Me = 𝑿 𝒏 𝟐 + 𝑿 𝒏 𝟐 +𝟏 𝟐 Impar Me= 𝑿 𝒏+𝟏 𝟐

Ejemplo Resultados de un prueba aplicada por un profesor para ciertos estudiantes ( 2, 3, 4, 4, 1, 5, 5, 5, 4.5, 4.5, 3) Estudiante Puntaje X1 1 X2 2 X3 3 X4 X5 4 X6 X7 4.5 X8 X9 5 X10 X11 Me= 𝑿 𝒏+𝟏 𝟐 Me= 𝑿 𝟏𝟏+𝟏 𝟐 = 𝑋 6 El valor esta posicionado en 𝑋 6 cuyo valor es 4. El valor de la mediana para este caso equivale a 4

Para datos agrupados Donde: 𝐿 𝑖 Limite inferior de la clase donde se Tabla de frecuencias Frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas Me = 𝑳 𝒊𝒏𝒇 + 𝑵 𝟐 − 𝑭 𝒊−𝟏 𝒇 𝒊 ∙𝒂 𝒊 Donde: 𝐿 𝑖 Limite inferior de la clase donde se encuentra la mediana 𝐹 𝑖−1 Frecuencia acumulada que antecede al intervalo de la mediana 𝒇 𝒊 Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana 𝒂 𝒊 Amplitud del intervalo

Ejemplo Se hace una encuesta a una población acerca de su edad , N=31 fi Fi [0-10) 3 [10-20) 6 9 [20-30) 7 16 [30-40) 12 28 [40-50) 31 Proceso: Calculamos N/2. Para este caso 15,5 Intervalo donde se encuentra la mediana 20-30

El valor de la mediana para esta encuesta equivale a 29.286 3. Aplicamos la fórmula Me = 𝑳 𝒊𝒏𝒇 + 𝑵 𝟐 − 𝑭 𝒊−𝟏 𝒇 𝒊 ∙𝒂 𝒊 Me = 20 + 15,5−9 7 ∙ 10 Me = 29,286 El valor de la mediana para esta encuesta equivale a 29.286

Consideraciones Los datos se disponen de menor a mayor La mediana no se ve influida por los valores extremos de la variable Dado que en su calculo no intervienen los valores extremos hace que se pueda obtener fácilmente incluso en presencia de intervalos abiertos

MEDIA ARITMÉTICA Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Ejemplo. Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio. R/. 80 Kg

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es: Ejemplo:   xi fi xi · fi [10, 20) 15 1 [20, 30) 25 8 200 [30,40) 35 10 350 [40, 50) 45 9 405 [50, 60 55 440 [60,70) 65 4 260 [70, 80) 75 2 150 42 1 820 R/. 43,33

PROPIEDADES 1. 2. 3. 4.

OBSERVACIONES Se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Es independiente de las amplitudes de los intervalos. Es muy sensible a las puntuaciones extremas. No se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA PONDERADA Aplicación de la media aritmética en la que cada una de las observaciones tiene una importancia relativa respecto a las demás Aplicaciones: Notas de asignaturas IPC

Cálculo de la Media ponderada × = 𝑖=1 𝑛 𝑤𝑖∗𝑥𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑤𝑖 xi = elemento wi = peso del elemento xi

Ejemplo de cálculo La nota final de una asignatura es una media ponderada de las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:

Ejemplo de cálculo Se suman los productos de las notas por el peso de cada una y se divide por la suma de los pesos: 𝑋= 3∗5,2 + 1∗8,2 + 2∗7,4 +(4∗5,7) 3+1+2+4 =6,14

MEDIA ARMÓNICA Se calcula como el recíproco del promedio de los recíprocos de cada uno de los datos en la muestra Se emplea para transformar las variables y obtener una mejor distribución de los datos

MEDIA ARMÓNICA Datos no agrupados: xi = elemento Se emplea para datos con variables o tasas en porcentajes Se utiliza cuando la unidad de evaluación es igual al numerador de una razón No funciona con valores nulos Datos no agrupados: × = 1 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 1 𝑥𝑖 = 𝑛 𝑖=1 𝑛 1 𝑥𝑖 xi = elemento n = número de elementos

Ejemplo de cálculo La velocidad de producción de azúcar de tres máquinas procesadoras es de 0.5, 0.3 y 0.4 minutos por kilogramo, halle el tiempo promedio de producción después de 4800 minutos de proceso 𝑋= 3 1 0,5 + 1 0,3 + 1 0,4 =0,383

Cálculo de la Media armónica Datos agrupados: × = 1 1 𝑛 ∗( 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ) = 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑖 xi= elemento fi = frecuencia del elemento xi n = número de elementos

Cálculo de la Media armónica Datos agrupados en intervalos × = 1 1 𝑛 ∗( 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑚𝑖 ) = 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑚𝑖 xmi= marca de clase del intervalo fi = frecuencia del elemento xi n = número de elementos

Ejemplo de cálculo En la tabla se muestran los datos sobre el tiempo que tardan los estudiantes en hacer una prueba de estadística, calcular el tiempo promedio que tarda el estudiante en realizar esta prueba

Ejemplo de cálculo 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑚𝑖 = 40 0,611 =65,47 Con ayuda de los datos se construye la siguiente tabla: Aplicando la fórmula se obtiene: 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑚𝑖 = 40 0,611 =65,47

Media Cuadrática Es la raíz cuadrada de la media aritmética del cuadrado de una serie de datos. Para datos sin agrupar Para datos agrupados

Aplicaciones Cuando se quiere trabajar con la magnitud de las variables. Ciencias biológicas y medicas Longitudes relacionadas a áreas Determinación del valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad Velocidad de un gas

Ejemplo 1 Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas. Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15. Se aplica la media cuadrática                                 y para los valores respectivos resulta el valor del radio:               lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería          

Ejemplo 2 Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5 litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por falta o exceso de la cantidad esperada, de la siguiente manera:

Media Cúbica Es una medida derivada de la media cuadrática Consiste en obtener el valor del lado que tiene el cubo media de un conjunto de n cubos.

Ejemplo Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados. Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12 En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3                            y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:               resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería  

PIERRE SIMON LAPLACE Considerado el newton de Francia Astrónomo físico y matemático francés PIERRE SIMON LAPLACE Teoría analítica de las probabilidades Ley de Laplace-Gauss Ecuación de Laplace libros de estadística Descubrimientos Formula curiosa de probabilidad Ensayo filosófico sobre la probabilidad Transformada de Laplace

MEDIA GEOMETRICA X= ∏𝑥𝑖 1 𝑛 = 𝑥1∗𝑥2…∗𝑥𝑛 1 𝑛 PROPIEDADES El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética 𝑥1∗𝑥2…∗𝑥𝑛 1 𝑛 <,= 𝑥1+𝑥2..+𝑥𝑛 𝑛

VENTAJAS: Es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos. Considera todos los valores de la distribución DESVENTAJAS: Es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética Su cálculo es más difícil y en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor xi = 0, entonces la media geométrica se anula Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos

EJEMPLO Definitivamente no es.. (21% + 28%)/2 = 24,5%. Una cadena de expendedores de gasolina el año pasado aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del aumento porcentual? Definitivamente no es.. (21% + 28%)/2 = 24,5%.

SOLUCION El monto de la producción, al final de dos años, es 100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta: 100 → 100(1+i) → 100(1 +i)2. Entonces: 100(1 +i)2 = 154,88 (1 +i)2 = 1,54881 1+ i =  =1,244507 i = 0,244507 = 24,451%

APLICACION Es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices. En general podemos encontrar que La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total. Pero además la podemos observar en: La altura de un triángulo rectángulo cumple  𝐴=(m∗n)^(1/2) siendo m y n las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Un cateto b cumple   b=(m∗a)^(1/2) , donde m es su proyección y a la hipotenusa. La tangente t a una circunferencia   t=(s∗k)^(1/2), s es secante y k la parte interna. El lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media geométrica de los lados de este; el radio de un círculo equivalente a una elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso de la esfera con la elipsoide El lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c es  t=(a∗b∗c)^(1/3). El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y v , resulta   w=(u∗v)^(1/2)

Mapas mentales

Bibliografía http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html http://www.portaleducativo.net/terra/octavo-basico/792/Media-moda-y-mediana-para-datos-agrupados Libro: Estadística descriptiva y calculo de probabilidades. Isabel Castillo y Marta Guijarro Tomado de: http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html 1 Unidad Didáctica, “Estadística Descriptiva”, 1.1 Parte Básica. Tomado de: http://biplot.usal.es/problemas/libro/1%20Descriptiva.pdf

Bibliografía http://www.ugr.es/~eaznar/markov.htm http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/markov.htm http://www.britannica.com/EBchecked/topic/365793/Andrey-Andreyevich-Markov http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/cont_126_26.html http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/cont_124_24.html http://servicios.educarm.es/templates/portal/images/ficheros/etapasEducativas/secundaria/3/secciones/373/contenidos/9290/ponderada

Gracias