Introducción a la estadística Tema 1: Introducción a la estadística

Método científico y estadística

Definición de Estadística Es un conjunto de teorías y métodos que han sido desarrollados para tratar la recopilación, organización, presentación, análisis, interpretación y descripciones de datos muestrales con el fin de extraer conclusiones útiles de ellos.

Definición de Estadística Descriptiva Es la parte de la Estadística que se ocupa de la recopilación de datos y el tratamiento y análisis de los mismos.

Definición de Estadística Inferencial Es la parte de la Estadística que trata de inducir o inferir, a través de la muestra obtenida, que ley, distribución o modelo sigue la población de la cual se ha extraído aquella

Fases o etapas de los métodos estadísticos Recolección Organización Presentación Análisis Interpretación

Conceptos claves Muestra: es parte de una población de objetos, personas, empresas o cosas, que es representativa del total de elementos que conforman el universo. Población: es la totalidad de las posibles observaciones o medidas que se estén considerando en alguna investigación, de cuyo conjunto se toma una muestra. Parámetro: es una medida que describe alguna característica de la población. Estadígrafo o estadístico: es una medida que describe alguna característica de la muestra.

Conceptos claves

Adaptado de Curso de Bioestadística Tema 2: Estadígrafos Básicos Adaptado de Curso de Bioestadística Universidad de Málaga

Un brevísimo resumen sobre estadísticos Centralización o Tendencia central o promedios Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Media, mediana y moda Posición Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles, quintiles... Forma Asimetría Apuntamiento o curtosis Dispersión o Variabilidad Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza

La media aritmética [=promedio(rango)] La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante las expresiones, según el caso: Para TDNA TF TI xi representa el valor de la variable; ci representa la marca de clase.

La media como punto de equilibrio

La mediana [=mediana(rango)] La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor central o la media de los dos valores centrales. Cálculo de la mediana en el caso de variables discretas Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra. Si N es Impar, hay un término central, el término que será el valor de la mediana. Ejemplo: El conjunto de números 3,4,4,5,6,8,8,8 y 10 tiene mediana 6.

La mediana Cálculo de la mediana en el caso de variables discretas Si N es Par, hay dos términos centrales, la mediana será la media de esos dos valores Ejemplo: El conjunto de números 5,5,7,9,11,12,15 y18 tiene mediana 10

Ejemplo con variables continuas Peso M. Clase frec Fr. acum. 40 – 50 45 5 50 – 60 55 10 15 60 – 70 65 21 36 70 - 80 75 11 47 80 - 90 85 52 90 - 100 95 3 100 – 130 115 58 En el histograma se identifica “unidad de área” con “individuo”. Para calcular la media es necesario elegir un punto representante del intervalo: La marca de clase. La media se desplaza hacia los valores extremos. No coincide con la mediana. Es un punto donde el histograma “estaría en equilibrio” si tuviese masa.

Ejemplo (continuación) Peso M. Clase Fr. Fr. ac. 40 – 50 45 5 50 – 60 55 10 15 60 – 70 65 21 36 70 - 80 75 11 47 80 - 90 85 52 90 - 100 95 3 100 – 130 115 58 Moda = marca de clase de (60,70] = 65

Altura mediana

La moda [=moda(rango)] La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo. Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal según el caso.

La moda

Estadígrafos de Posición Se define el cuantil de orden a como un valor de la variable por debajo del cual se encuentra una frecuencia acumulada a. Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...

[=percentil(rango;k)] Cuantil de orden α [=percentil(rango;k)] Los cuantiles son generalizaciones de la mediana. Los cuartiles dividen a los datos en cuatro partes iguales, los deciles en diez, los quintiles en cinco, los percentiles en cien.

Cuartiles (Q): Dividen a la muestra en 4 grupos con frecuencias similares. Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25 Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,50 = mediana Tercer cuartil = Percentil 75 = Cuantil 0,75 Quintiles (K): Dividen a la muestra en 5 grupos con frecuencias similares. Primer quintil = Percentil 20 = Cuantil 0,20 Segundo quintil = Percentil 40 = Cuantil 0,40 Tercer quintil = Percentil 60 = Cuantil 0,60 Cuarto quintil = Percentil 80 = Cuantil 0,80 Deciles (D): Dividen a la muestra en 10 grupos con frecuencias similares. Tercer decil = Percentil 30 = Cuantil 0,30 Quinto decil = Percentil 50 = Cuantil 0,50 = mediana Séptimo decil = Percentil 70 = Cuantil 0,70 Percentiles (P) : Dividen a la muestra en 100 grupos con frecuencias similares. La mediana es el percentil 50 El percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las observaciones. Por encima queda el 85%

Ejemplo ¿Qué peso no llega a alcanzar el 25% de los individuos? Primer cuartil = percentil 25 = 60 Kg. ¿Qué peso es superado por el 25% de los individuos? Tercer cuartil= percentil 75= 80 kg. ¿Entre qué valores se encuentra el 50% de los individuos con un peso “más normal”? Entre el primer y tercer cuartil = entre 60 y 80 kg. Obsérvar que indica cómo de dispersos están los individuos que ocupan la “parte central” de la muestra. Ver más adelante rango intercuartílico. Los diagramas de caja (‘boxplot’) sintetizan esta información (y algo más). 50% 25% 25% 25% 25%

Ejemplo 50% 25% 25% 25% 25%

Medidas de variabilidad Rango, Rango Intercuartílico, Desviación Media, Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación Algunos datos han sido adaptados de Pedro Juan Rodríguez Esquerdo Departamento de Matemáticas UPR Río Piedras

Estadígrafos de Variabilidad o dispersión Los estudiantes de Metodología de la Investigación obtienen diferentes calificaciones en la asignatura (variabilidad). ¿A qué puede deberse? Diferencias individuales en el conocimiento de la materia. ¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)? Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel de conocimiento. ¿Las notas serían las mismas en todos? Seguramente No. Dormir poco el día de la prueba, el café estaba con somnífero... Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen. El examen no es una medida perfecta del conocimiento. Variabilidad por error de medida. En alguna pregunta difícil, se duda entre varias opciones, y al azar se elige la mala Variabilidad por azar, aleatoriedad.

Medidas de dispersión [=CUARTIL(rango;3)-CUARTIL(rango;1)] Miden el grado de dispersión (variabilidad) de los datos, independientemente de su causa. Amplitud o Rango [=max(rango)-min(rango)] La diferencia entre las observaciones extremas. 2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7 Es muy sensible a los valores extremos. Rango intercuartílico [=CUARTIL(rango;3)-CUARTIL(rango;1)] Es la distancia entre el primer y tercer cuartil. Rango intercuartílico = Q3 – Q1 = P75 - P25 = C0.75 – C0,25 Parecida al rango, pero eliminando las observaciones más extremas inferiores y superiores. No es tan sensible a valores extremos. 25% 25% 25% 25%

Muestra de edades de cinco niños En una muestra de cinco niños se observa que éstos tienen las siguientes edades: 1, 1, 4, 8 y 9 . En promedio tienen 4.6 años. ¿Cuánta variabilidad hay en las edades de los niños? ¿A qué distancia quedan las edades observadas de la media muestral 4.6 años?

Diferencias de valores observados a la media muestral -3.6 4.4 -3.6 Se usa Excel para obtener una muestra de cinco edificios del total de cien en la hoja. -.6 3.4

Desviación Absoluta Media [=desvprom(rango)] -3.6 + -3.6 + -.6 + 3.4 + 4.4 = 0 |-3.6| + |-3.6| + |-.6| + |3.4| + |4.4| = 15.6 Distancia promedio = 15.6 / 5 = 3.12 En general:

Otra medida: Varianza 3.6x3.6 Media Muestral 4.4x4.4 .6x.6 3.4x3.4

Varianza [=var(rango)] -3.6 + -3.6 + -.6 + 3.4 + 4.4 = 0 3.6(3.6) + 3.6(3.6) + .6(.6) + 3.4(3.4) + 4.4(4.4) = 57.2 área promedio = 57.2 / 4 = 14.3 En general:

Grados de libertad ¿Por qué calculamos la varianza dividiendo por n - 1, en lugar de dividir por n? Como la suma de las desviaciones es 0, la última desviación es una combinación lineal de las n - 1 desviaciones restantes. Por lo tanto, no estamos calculando el promedio de n números independientes (los desvíos). Solo n -1 de las desviaciones al cuadrado pueden variar libremente y por ello, promediamos la suma de los desvíos al cuadrado dividiendo por n -1. Al numero n -1 se lo denomina grados de libertad de la varianza o de la desviación típica.

Desviación estándar [=desvest(rango)] Así s = 3.78

Desviación estándar S2=14.3 años2 S S=3.78 años

Medidas de forma. Asimetría y Curtosis En los temas anteriores hemos visto las medidas de tendencia central, de posición y las medidas de variabilidad. Si bien la obtención de tales medidas es clave para describir una muestra y efectuar inferencias sobre la población de origen, es también fundamental saber obtener una caracterización adecuada de los datos.

Asimetría Si bien es fácil tener una idea de si la distribución es simétrica o no tras ver la representación gráfica, es importante cuantificar la posible asimetría de una distribución. Recordemos que cuando la distribución de los datos es simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden. (Y la distribución tiene la misma forma a la izquierda y la derecha del centro)

Índices de asimetría 1. Índice de asimetría de Pearson Muy sencillo de calcular. Está basado en la relación entre la media y la moda en distribuciones simétricas y asimétricas: Si la distribución es simétrica As será 0 Si la distribución es asimétrica positiva, As será mayor que 0 Si la distribución es asimétrica negativa, As será menor que 0

Índices de asimetría 2. Índice de asimetría de Fisher Está basado en la diferencia de los datos sobre la media, como la varianza, si bien esta vez se elevan los coeficientes al cubo Si la distribución es simétrica As será 0 Si la distribución es asimétrica positiva, As será mayor que 0 Si la distribución es asimétrica negativa, As será menor que 0 Desventaja: Muy influida por puntuaciones atípicas (ya lo volveremos a comentar en el último punto de este tema).

Índices de asimetría 3. Expresión en Excel En el software Excel, la función =COEFICIENTE.ASIMETRIA(A3:A14) se basa en la siguiente expresión: Si la distribución es simétrica As será 0 Si la distribución es asimétrica positiva, As será mayor que 0 Si la distribución es asimétrica negativa, As será menor que 0 Desventaja: Muy influida por puntuaciones atípicas (ya lo volveremos a comentar en el último punto de este tema).

Asimetría hacia la derecha Asimetría hacia la izquierda (asimetría positiva) Asimetría hacia la izquierda (asimetría negativa) Al ser positiva significa que la gráfica es asimétrica por la derecha de la media y por tanto los valores mayores que ella están más dispersos que los menores. Al ser negativa significa que la gráfica es asimétrica por la izquierda de la media y por tanto los valores menores que ella están más dispersos que los mayores.

Curtosis o apuntamiento La curtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, comparada con la distribución normal. Una curtosis positiva indica una distribución relativamente elevada, mientras que una curtosis negativa indica una distribución relativamente plana. El estándar es la distribución normal: distribución mesocúrtica. Si la distribución es más apuntada que la distribución normal tenemos una distribución leptocúrtica. Si la distribución es más achatada que la distribución normal tenemos una distribución platicúrtica.

Índice de curtosis Para una distribución normal (mesocúrtica) sabemos que Y esta va a ser la referencia para el índice de curtosis que vamos a emplear Si la distribución es normal (mesocúrtica), el índice vale 0 Si la distribución es leptocúrtica, el índice es superior a 0 Si la distribución es platicúrtica, el índice es inferior a 0

Índice de curtosis En el software Excel, la función =CURTOSIS(A3:A14) se basa en la siguiente expresión: Si la distribución es normal (mesocúrtica), el índice vale 0 Si la distribución es leptocúrtica, el índice es superior a 0 Si la distribución es platicúrtica, el índice es inferior a 0

Curtosis Platicúrtica Leptocúrtica Al ser negativa significa que la gráfica es menos apuntada que la gráfica de la distribución normal y por tanto los valores alrededor de la media están menos concentrados que en la Distribución Normal. Al ser positiva significa que la gráfica es más apuntada que la gráfica de la distribución normal y por tanto los valores alrededor de la media están mas concentrados que en la Distribución Normal.