Argumentos y Pruebas en Lógica

Argumento Lista de fórmulas. La última es la conclusión. Las demás son las premisas, hipótesis, suposiciones. Ejemplo: P  R R P

Argumentos válidos  Distinguir un argumento válido de uno que no lo es. Procedimiento: tabla de verdad, renglones críticos. Ejemplo: P  R R P

Ejemplos Indique cuales opciones contienen argumentos invalidos: p  q, ~q  ~p p ∨ q, p  ~q, p  r, r p ∧ ~q  r, q ∨ p, q  p, r p  q, ~p, ~q

Formas de argumentos válidos Modus Ponens P  Q P Q Modus Tollens ~Q ~P

 Identificar MP, MT Ejemplo 1 Ejemplo 2 Si no se descompone mi carro, es muy bueno para carretera. Se descompuso mi carro. Ejemplo 2 Tengo carro nuevo Solo los carros nuevos no se descomponen

Otras formas válidas Silogismo: Simplificación Conjuntiva: pq, qr, pr Simplificación Conjuntiva: pq, p Amplificación Disyuntiva: p, pq

Otras formas válidas Silogismo Disyuntivo: División en casos: pq, ~p, q División en casos: pq, pr, qr, r

Falacias Malos argumentos comunes Si la ciudad de México es una metrópoli, debe haber grandes edificios. Efectivamente, en México hay grandes edificios, por tanto es una metrópoli. Si te portas bien, te llevaré al cine. No te portaste bien, por lo tanto no te llevaré al cine.

Ejemplo Determine si el siguiente es un argumento válido o una falacia, y cual es: Si voy al cine, no acabaré la tarea. Si no termino la tarea, me irá mal en el examen. Por lo tanto, si voy al cine, me irá mal en el examen.

Ejemplos Si este número es mayor que 2, su cuadrado será mayor que 4. Pero este número no es mayor que 2. Por lo tanto su cuadrado no es mayor que 4. Sandra conoce tanto COBOL como C. Por lo tanto Sandra conoce C. Este número es racional o es irracional. Pero se puede probar que no es racional. Por lo tanto este número es irracional.

Ejemplos Si al menos uno de estos dos números es divisible entre 6, entonces su producto es divisible entre 6 también. Pero ninguno de estos números es divisible entre 6. Por lo tanto, su producto no es divisible entre 6. Sólo hay arcoiris cuando llueve con sol. Pero ahora no llueve con sol. Por lo tanto no puede haber arcoiris.

Argumentos compuestos Las conclusiones de un argumento pueden ser usados como premisas de otro. Asi se pueden hacer “deducciones” o “pruebas” de varios pasos para justificar una conclusión

Ejemplo Premisas: H1: p H2: p  ~q H3: ~q  ~r Conclusión: C: ~r

Ejemplo H1: p H2: p  ~q H3: ~q  ~r C: ~r 1. p…………H1 2. p  ~q…. H2 3. ~q ……….Modus ponens aplicado en 1. y 2. 4. ~q  ~r…H3 5. ~r ……….Modus ponens aplicado en 3. y 4.

Ejemplo Premisas: Conclusión: H1: p  r H2: r  s H3: t  ~s C: ~p H4: ~t  u H5: ~u Conclusión: C: ~p

Ejemplo H1: p  r H2: r  s H3: t  ~s H4: ~t  u H5: ~u C: ~p 3. ~t ………….Silogismo disjuntivo con 1. y 2. 4. t  ~s ………H3 5. ~s ………... Silogismo disjuntivo con 3. y 4. 6. r  s ……... H2 7. ~r ………… Modus tollens con 5. y 6. 8. p  r …….. H1 9. ~p ……….. Modus tollens con 7. y 8.

Resumen de reglas P  Q, P, Q (modus ponens) P  Q, ~Q, ~P (modus tollens) P, P  Q (amplific. disyuntiva) P  Q, P (simplif. conjuntiva) P, Q, P  Q (conjunción) P  Q, ~Q, P (silogismo disyunt.) P  Q, Q  R, P  R (silogismo) P  Q, P  R, Q  R, R (casos)

Llenar los blancos… P1 : p ∨ q, P2 : ¬p ∨ s, C: q ∨ s 1 _______________ hipótesis 1 2. ¬p → q _____________ 3. ¬p ∨ s hipótesis 2 4. s ∨ ¬p ______________ 5. ¬s → ¬p _____________ 6. ___________ silogismo hip. con 5 y 2 7. ¬ (¬s) ∨ q equiv. de implicación en 6 8. s ∨ q ley doble negación en 7

Opciones: 1. ¬s −→ q 2. propiedades conmutativas en 3 3. equiv. de implicación en 1 4. p ∨ q 5. equiv. de implicación en 4

Argumento válido y pruebas No es lo mismo que un argumento sea válido a que exista una prueba :  es deducible de . Se verifica con una prueba :  es consecuencia de  Se verifica con tablas de verdad en CP

Ejemplo Probar que: p ∨ q, ¬p ∨ s |= q ∨ s Probar que: p ∨ q, ¬p ∨ s |- q ∨ s (ya se hizo)