Las abejas, insignes matemáticas Es muy conocida la danza que realizan las abejas exploradoras cuando regresan al colmenar después de haber encontrado alguna fuente abundante de miel. El biólogo austriaco Karl von Frisch describió en 1945 la danza y encontró, maravillado, la explicación. La abeja danzarina describe con sus movimientos una figura en forma de ocho, como se ilustra en la figura siguiente, y mientras recorre la parte central de la figura, esto es, la parte común a los dos óvalos, el tiempo que tarda en recorrerla es proporcional a la distancia entre el panal y la fuente de alimento.

Abejas Danza de la abeja exploradora

información

La danza, en consecuencia, contiene toda la información necesaria para localizar inequívocamente la fuente de alimento: esto es, dirección y magnitud del recorrido desde el panal hasta la meta. Las compañeras que presencian el espectáculo sólo necesitan, con el fin de transferir al terreno lo observado y realizar la excursión de aprovisionamiento, identificar la posición del sol en ese preciso momento.

Si el Sol está visible, basta observarlo, pero si el día está nublado, hacen falta otras guías. Esta contingencia no les preocupa, pues su equipo sensorial ha previsto este imprevisto. En caso de que haya algún parche de cielo descubierto, el plano de polarización de la luz proveniente de él les basta para adivinar la posición ocupada por el Sol en ese momento. Y si este recurso llegase a fallar, la poca radiación ultravioleta que se filtra a través de las nubes, para la cual poseen una sensibilidad extraordinaria, les permite completar la información requerida.

Arquitectura de las celdas las abejas han elegido para sus celdas la forma de prisma hexagonal, geometría que les permite construir sus panales sin dejar intersticios desaprovechados y que, al mismo tiempo, les proporciona el habitáculo más cómodo y espacioso a las larvas, por disponer de los rincones menos agudos (ángulos internos de 120 grados, contra 90 y 60 en el cuadrado y en el triángulo, respectivamente).

celdas Las tres únicas formas de llenar un plano con figuras regulares y sin que queden espacios desperdiciados son las que se muestran aquí: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

las celdas se disponen formando dos capas, de tal manera que las bocas de las celdas miran en direcciones opuestas, mientras que sus vértices se acoplan sin dejar espacios vacíos (véase parte izquierda de la figura siguiente), y las paredes de cera sirven para dos celdas simultáneamente, lo que produce una gran economía del material usado.

El problema que resuelven las abejas de manera óptima es, desde el punto de vista geométrico, equivalente a construir una celda hexagonal de volumen, lado y altura fijos, de tal manera que termine en forma de pirámide triangular y que la superficie lateral total resulte mínima; es decir, que el gasto total de cera sea mínimo.

el volumen resultante es el mismo del prisma original, independientemente del ángulo de corte, , pues las pirámides suprimidas se agregan de nuevo. Pero la superficie lateral total sí cambia al cambiar el ángulo, por lo que tiene pleno sentido preguntar por el valor que debe tomar dicho ángulo para hacer mínima la superficie lateral total de la celda construida de la manera ya descrita.   Se propone ahora determinar el valor del ángulo  (0 ≤  ≤ π / 2) que haga mínima la superficie lateral total del prisma, manteniendo constante el volumen y la longitud de la arista.

la gran sorpresa es que el valor de a medido en el panal coincide exactamente con el hallado por medio de la geometría y el cálculo diferencial. Los historiadores de la ciencia cuentan que al serle propuesto al joven matemático suizo Samuel Koening -se vivía el año 1712- el problema anterior, usando los métodos del recién descubierto cálculo infinitesimal, llegó a un resultado que difería, del valor medido en el panal, apenas en dos minutos de arco. De todos modos -pensaría satisfecho Koening-, es ya una hazaña formidable de las abejas haberse acercado a la solución óptima hasta diferir en una cantidad apreciable sólo con instrumentos de precisión.

Al revisarse los cálculos, se encontró con gran sorpresa que la falla no era de las abejas, sino que estaba escondida en la aproximación de la raíz cuadrada de 3 empleada por Koening. Corregido el pequeño error, los ángulos coincidieron exactamente con los valores medidos en el panal.