Relajación y Procesamiento híbrido de restricciones Diferentes técnicas de relajación Algunas técnicas híbridas populares

Relajación Consistencia de nodo Forward check Lookahead check AC1AC3Path-consistency

3 Ejemplo  4 familias A, B, C y D viven unas junto a otras en casas numeradas 1, 2, 3 y 4.  D vive en una casa con número más bajo que B,  B vive al lado de A en una casa con número mayor,  Hay al menos una casa entre B y C,  D no vive en la casa con número 2,  C no vive en la casa con número 4.  ¿Cuál familia vive en cuál casa ?  El enigma de las 4 casas:

4 Representación:  Las variables: A, B, C y D  Los dominios: d A = d B = d C = d D = { 1, 2, 3, 4}  Restricciones:  unaria:  r(C) = C  4  r(D) = D  2  binaria:  r(A,B) = B = A + 1  r(B,D) = D  B  r(B,C) = |B - C|  1  r(A,C) = A  C  r(A,D) = A  D  r(C,D) = C  D

5 Consistencia de nodos:  Las restricciones unarias son eliminadas por reducción del dominio:  O: consistencia-1  (solo 1 variable involucrada)  r(C) = C  4  r(D) = D  2 d C = { 1, 2, 3} d D = { 1, 3, 4}

6 Red de restricciones: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}

Relajación débil Forward Check Lookahead Check

8 Forward Check:  Asuma que fijamos el valor de 1 variable zi: zi = a  Forward Check(zi) =  activar cada restricción r(zi, zj) o r(zj, zi) una vez para remover los valores inconsistentes con zi = a AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}  Nuestro ejemplo: asumir A = 2 :

9 Forward check: consistencia débil  Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valor  sugiere el uso en combinación con backtracking AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}  No produce un estado consistente  no se realiza toda la relajación

Look ahead check Método de relajación más fuerte (débil)

11 Look ahead Check:  Look Ahead Check =  activar cada restricción r(zi, zj) exactamente una vez para remover los valores inconsistentes de los dominios Di y Dj.  Nuestro ejemplo: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}

12 Ejemplo (continuac.): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  Las otras 3 restricciones:

13 Look ahead: resultados finales: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Aun no produce un estado consistente  no se realiza toda la relajación  El resultado puede depender del orden en el cual se procesan las restricciones.  La remoción de algunos valores inicialmente puede permitir hallar otros inconsistentes.

Técnicas de consistencia de arco Técnicas que reducen los dominios a estados consistentes para cada restricción (o arco). También llamadas: técnicas consistencia-2

15 AC 1 (Mackworth) AC1: Repeat Look ahead check; Look ahead check; If algún valor fue removido de If algún valor fue removido de algún dominio then algún dominio then Ocurrió_borrado := verdad Until (not Ocurrió_borrado)  Fuerza a que Look ahead alcance un estado consistente  por reactivación de Look ahead hasta consistencia Ocurrió_borrado := falso ;

16 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  Primera pasada (== Look ahead check): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Ocurrió_borrado := verdad

17 El ejemplo (2):  Segunda pasada: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Ocurrió_borrado := verdad AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}

18 El ejemplo (3):  Tercera pasada:  Ocurrió_borrado := falso AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}  Resultado: A (2 o 3), B (3 o 4), C (1 o 2), D (1 o 3)  Consistente, pero ¡¡ NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!

19 AC-3 (Mackworth) Consistencia de arco más eficiente: AC3: Remover r(x,y) de COLA; Remover r(x,y) de COLA; End-While COLA := {todas las restricciones en el problema} Remover todos los valores inconsistentes de Remover todos los valores inconsistentes de los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); While not vacia(COLA) DO If algún valor fué removido de D x (o D y ) If algún valor fué removido de D x (o D y ) then agregar todas las otras restricciones then agregar todas las otras restricciones que involucranx (o y) a COLA; que involucranx (o y) a COLA;

20 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}  Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D) Todo ya en COLA !

21 El ejemplo (2): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

22 El ejemplo (3): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}  Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)

23 El ejemplo (4): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}:  COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}  Para agregar: r(A,D), r(C,D)

24 El ejemplo (5): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}:  COLA = {r(A,C), r(A,D)}  Para agregar: r(A,C), r(A,D)

25 El ejemplo (6): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}  COLA = {r(A,C), r(A,D)}:  COLA = vacía ¡ PARAR !

26 Comparación:  Igual resultado: completa consistencia de arco:  A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3}  Eficiencia:  AC1:  3 veces 6 verificaciones = 18  AC3:  9 verificacíones de restricciones

27Consistencia-k:  consistencia-1 (consistencia de nodo):  restricciones unarias (en 1 variable) son consistentes  consistencia-2 (consistencia de arco):  restricciones binarias (en 2 variables) son consistentes  consistencia-3:  todas las restricc. que involucran 3 variables son consist. AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  Un valor se mantiene en el dominio si hay valores consistentes en los dominios de las otras 2 variables (para todas las restricciones que las conectan) Ejemplo:

28 Practicidad de la consistencia k:  Verificar la consistencia-k para k  2 es muy dificil de realizar eficientemente !!  Ejemplo: consistencia-4 para el enigma de las 4 casas es equivalente a hallar soluciones del problema original.

Procesamiento híbrido de restricciones Combina el poder de la búsqueda exhaustiva (backtrack) con (relajación) poda

Forward checking Backtracking combinado con Forward Check

31 Forward checking: Forward Checking: Execute Standard Backtracking After cada asignación de un After cada asignación de un valor a una variable zi DO valor a una variable zi DO Forward Check(zi) BUT

32 1A Funcionamiento de forward checking B2 AB CD{1}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC AB CD{1}{2}{2,3} {3,4} |B-C|  1 D BD BD BD B falla AB CD{2}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 2 B3 AB CD{2}{3}{1,3} {1,3,4} D BD BD BD B C1 AB C D{4}{3}{1}{1} CDCDCDCD falla AB CD{3}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 3 B4 AB CD{3}{4}{1,2} {1,4} D BD BD BD B AB C D{3}{4}{1}{1} CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1C 2fallaexito

Lookahead checking Backtracking combinado con Look ahead check

34 Lookahead checking: Execute Standard Backtracking Look Ahead Check BUT Look Ahead Check ; Lookahead Checking: After cada asignación de un After cada asignación de un valor a alguna variable DO valor a alguna variable DO

35 Funcionamiento de lookahead checking AB C D{1,2,3,4}{1,2,3,4}{1,2,3}{1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B |B-C|  1 CDCDCDCD AB CD{1}{3,4}{1,2} {1,3} B=A+1 falla AB C D{2}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD falla AB C D{3}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1A 2 3 B4 C2 exito

36 ¿Cuál es mejor?  Forward checking:  hace menos verificación de consistencia  tiene mas ramificación  más cercano a backtracking  Lookahead checking:  lleva más tiempo con consistencia  intenta menos valor alternativos  Usualmente: forward checking es la mejor solución de compromiso  Para problemas MUY restringidos:  Lookahead checking es necesario para podar más

37 Aplicaciones:  Todos los problemas de búsqueda combinatorios  Problemas de distribución de tareas:  Ej.: redistribución de horario de trenes cuando ha ocurrido algun problema en las vías.  Problemas de distribución de trabajos:  Ej.: computar turnos de trabajo, dadas varias res- tricciones de expertise y preferencias personales  Planeamiento de producción:  Ej.: planificar el flujo óptimo de trabajo  Problemas de carga:  Ej.: optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas

38 Técnicas alternativas  Programación lineal  técnicas numéricas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (e inecuaciones) + problemas de optimización  Ej.: algoritmo simplex  Funciona MUY bien para restricciones ‘lineales’ 4*X - 3*Y  Z + 2 X 3 - 3*Y  Z ¡ SI ! ¡ NO !  Funciona, pero no MUY bien, para problemas discretos  En tales casos: Procesam. de Restricc. es una mejor opción  También: para problemas de restricciones en datos no- numericos !