Matemáticas CCSS II Ana Pola IES Avempace Programación Lineal Matemáticas CCSS II Ana Pola IES Avempace

Inecuaciones lineales Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0 A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación

Inecuaciones lineales. Interpretación geométrica Cuando deben satisfacerse simultáneamente más de una inecuación estamos ante un sistema de inecuaciones lineales. El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por la intersección de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones. A dicha región se le llama región factible del sistema.

Un problema de máximos Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para obtener la mayor cantidad de dinero por su venta? Caja tipo A Caja tipo B Disponible Chocolate 3 2 500 Almendras 1 1,5 100 Frutas 85 Precio en € 13 13,50

Un problema de máximos. Planteamiento. x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B Caja tipo A Caja tipo B Disponible Chocolate 3 2 500 Almendras 1 1,5 100 Frutas 85 Precio en € 13 13,50 Tenemos maximizar los ingresos obtenidos por las ventas I(x, y) = 13 x + 13,50 y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todas las restricciones se llaman soluciones factibles

Un problema de mínimos Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días debería emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana? FM AM Disponible Música rock 12 5 120 Música clásica 6 8 180 Información general 10 100 Costes en € 5000 4000

Un problema de mínimos. Planteamiento. x = nº de días en FM y = nº de días en AM FM AM Disponible Música rock 12 5 120 Música clásica 6 8 180 Información general 10 100 Costes en € 5000 4000 Tenemos minimizar los costes por los días de emisión C(x, y) = 5000 x + 4000 y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todas las restricciones se llaman soluciones factibles

Obtención de soluciones Dada una función lineal y una región R convexa y acotada: La función f tiene un valor máximo y mínimo en R. Esos valores extremos se alcanzan en un vértice o en un lado de dicha región.

Método gráfico. Representamos la región factible Se dibujan las rectas de nivel todas ellas paralelas a la función objetivo Se observa el valor de k que proporciona la solución. Región factible Solución gráfica

Método analítico Representamos la región factible Calculamos los vértices de la región factible Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices Obviamente, I(D) = 0 El ingreso máximo se produce en el punto B, es decir, se deberán producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.

Problema de mínimos Solución gráfica Solución analítica Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices C(A) = 5000·0 + 4000·7 = 28000 € C(B) = 5000·0 + 4000·10 = 40000 € C(C) = 5000·7,37 + 4000·6,32 = 62130 € C(D) = 5000·10 + 4000·0 = 50000 € C(E) = 5000·7 + 4000·0 = 35000 € El coste mínimo se produce en el punto A. Se deberá emitir 7 días en AM y ningún día en FM.

¿Todos los problemas de programación lineal tienen solución?

Problema de maximización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo

Problema de minimización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay mínimo

Planteamiento general con dos variables Un problema de PL consiste en optimizar una función lineal de la forma f(x, y) = ax + by + c que llamaremos función objetivo, sujeta a unas restricciones Solución posible: es cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas las restricciones. Al conjunto de todas las soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible. Óptimo: es un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo. Un problema de PL puede: Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución.