Características básicas de los datos económicos de series temporales Introducción: Características básicas de los datos económicos de series temporales

Breve Repaso de Tª de la Probabilidad Espacio Muestral: , el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio Resultado: , un elemento del Espacio Muestral Suceso: , un subconjunto del Espacio Muestral Algebra: , colección de sucesos que nos interesa estudiar Variable Aletoria: , una función del Espacio Muestral al conjunto de estados S Conjunto de Estados: S, el espacio que contiene todos los posibles valores de una variable aleatoria. Las elecciones mas comunes son los numeros naturales N, los reales R, vectores de dimension k Rk, los reales positivos R+, etc Probabilidad: Distribución: es un Borel Set (conjunto de la recta real que puede expresarse como uniones o interseccion de intervalos)

Breve Repaso (cont) Vector de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zk) es un vector de dimensión k donde cada componente es una variable aleatoria Sucesión de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zn) es una sucesion de n variables aleatorias Si interpretamos t=1, ..., n como momentos equidistantes en el tiempo, Zt puede interpretarse como el resultado de un experimento aleatorio en el momento de tiempo t . Por ejemplo la sucesión de variables aleatorias podria ser los precios de las acciones de Toyota Zt en n dias sucesivos. Un aspecto NUEVO, comparado con la situación de una sola variable aleatoria, es que ahora podemos hablar de la estructura de DEPENDENCIA dentro del vector de variables aleatorias. Función de Distribución FZ de Z : Es la colección de probabilidades

Procesos Estocásticos Supongamos que el tipo de cambio €/$ en cada instante fijo de tiempo t entre las 5p.m y las 6p.m. de esta tarde es aleatorio. Entonces podemos interpretarlo como una realización Zt(w) de la variable aleatoria Zt. . Observamos Zt(w), 5<t<6. Si quisieramos hacer una predicción a las 6 p.m. sobre el tipo de cambio Z7(w) a las 7 p.m. es razonable considerar TODA la evolución de Zt(w) entre las 5 y las 6 p.m. El modelo matematico que describe esta evolución se le llama proceso estocástico.

Procesos Estocásticos (cont) Un proceso estocástico es una colección-sucesión de variables aleatorias indexadas por el tiempo Definidas en un espacio muestral W. Supongamos que (1) Fijamos t Esto es una variable aleatoria. (2) Fijamos Es una realización o trayectoria del Proceso estocástico. Cambianos el indice temporal podemos generar varias variables aleatorias: Add graph to generate intuition Una realización es: La colección-sucesión de variables aleatorias se le llama PROCESO ESTOCATISCO Una realización del proceso estocástico se le llama SERIE TEMPORAL

Ejemplos de procesos estocásticos E1: Sea el conjunto indice T={1, 2, 3} y sea el espacio muestral (W) el formado por los resultados de lanzar un dado: W={1, 2, 3, ,4 ,5, 6} Define Z(t, w)= t + [valor del dado]2 t Entonces para un w particular, digamos w3={3}, la realización o trayectoria es (10, 20, 30). Q1: Dibuja todas las realizaciones de este proceso estocástico. E2: Un Movimiento Browniano B=(Bt, t [0, infty]): Comienza en cero: Bo=0 Tiene incrementos independientes y estacionarios Para cada t>0, Bt sigue una distribución N(0, t) Tiene trayectorias continuas: “no saltos”.

Distribución de un Proceso Estocástico En analogía con las variables aleatorias queremos introducir caracteristicas no aletorias de los procesos estocásticos tales como su distribución, su esperanza, etc, y describir su estructura de dependencia. Esta es una tarea mucho más complicada que en el caso de vectores de variables aleatorias. De hecho un proceso estocástico no-trivial Z=(Zt, t  T) con un conjunto indice T es un objeto de dimension infinita en el sentido de que se puede entender como una colección infinita de variables aleatorias Zt, t  T. Ya que los valores de Z son funciones en T, la distribucón de Z deberia ser definida sobre subconjuntos de un cierto “espacio de funciones”, i.e. P(X  A), A  F, Donde F es una colección apropiada de subconjunto de este espacio de funciones. Este enfoque es posible, pero requiere matematicas muy avanzadas. En este curso intentaremos algo mucho mas simple. Las distribuciones finito-dimensionales (fidis) de un proceso estocástico Z son las distribuciones de los vectores finito dimensionales (Zt1,..., Ztn), t1, ..., tn T, para todas las posibles elecciones de t1, ..., tn  T y para cada n  1.

Necesitamos hacer dos supuestos: Al igual que en la Econometría básica trabajábamos con dos los supuestos de i.i.d. (idénticamente distribuido e independiente), en la Econometría de Series Temporales nos hace faltan dos supuestos equivalentes: Estacionariedad (substituye al supuesto de identicamente distribuido) Ergodicidad (substituye al supuesto de independencia)

Estacionareidad Considera la probabilidad conjunta de un conjunto de variables aleatorias Proceso estacionario de 1st orden si Proceso estacionario de 2nd orden si Proceso estacionario de orden n si Definición. Un proceso es estrictamente (o en sentido fuerte) estacionario si es estacionario de orden n para cada n.

Momentos

Momentos (cont) Para procesos estrictamente estacionarios: porque asumiendo que La correlación entre dos variables aleatorias depende SOLAMENTE de su diferencia temporal.

Estacionareidad Débil Un proceso se dice que es estacionario debil de orden n si todos sus momentos conjuntos de orden n existen y son invariantes en el tiempo. Procesos Estacionarios en Covarianzas (de 2nd orden): Esperanza constante Varianza constante La función de covarianza depende solo de la diferencia temporal entre las variables Estacionariedad Fuerte: Write graphs showing a process with time-variant mean, and time-variant variance

Ergodicidad Un proceso estacionario en covarianzas es ergodico en la media si Una condición suficiente para ergodicidad en la media es

Ergodicidad bajo Gausanidad Ergodicidad para los segundos momentos Una condición suficiente para ergodicidad en los segundos momentos Ergodicidad bajo Gausanidad Si es un proceso gausiano estacionario, es una condición suficiente para asegurar ergodicidad en todos los momentos

Funciones de Autocovarianza y de Autocorrelación Para un proceso estacionario en covarianzas: Make a picture of the autocorrelogram

Propiedades de la función de autocorrelación

Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación condicional) Esta función mide la correlación entre dos variable separadas k periodos cuando la dependencia lineal en el medio de esos periodos (entre t y t+k ) es eliminada. Motivación Piensa en el modelo de regresión lineal (asume E(Z)=0 sin perdida de generalidad)

Dividiendo por la varianza del proceso: Ecuaciones de Yule-Walker

Ejemplos de Procesos Estocásticos Yt si t es par E4: Zt= Yt+1 si t es impar donde Yt es una serie estacionaria. Es Zt estacionaria debil? E5: Defina el proceso St = X1+ ... + Xn , donde Xi es iid (0, s2). Muestra que para h>0 Cov (St+h, St) = t s2, y por lo tanto St no es estacionario debil.

Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont) E6: Procesos RUIDO BLANCO Una secuencia de variables . . . . 1 2 3 4 k

Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las series temporales???? Utilizaremos el metodo de analogia tan usado en Econometria I: Momentos poblaciones se estiman via momentos muestrales. Asumiendo estacionareidad y ergodicidad estos estimadores seran consistentes.

modelos parametricos y lineales Donde Estamos? Considera el Problema de la Prediccion como motivación: Predecir Zt+1 dado el conjunto de información It en el tiempo t. La esperanza condicional puede ser modelada en una forma parametrica o en una forma no-parametrica. En este curso elegiremos la primera. Los modelos parametricos pueden ser lineales o no-lineales. En este curso elegiremos los modelos lineales. Resumiendo los modelos que vamos a estudiar en este curso son ing modelos parametricos y lineales

Apendice I: Transformaciones (vease el conjunto de notas extra) Objetivo: Tratar con procesos mas manejables Transformación logaritimica reduce cierto tipo de heterocedasticidad. Si asumimos que mt=E(Xt) y V(Xt) = k m2t, se puede demostrar (por el metodo delta) que la varianza del log es aproximadamente constante: Tomar dieferencias elimina la tendencia (no muy informativo sobre la naturaleza de la tendencia) Diferencias del Log = Tasa de Crecimiento

Apendice II: Analisis Grafico Objetivo: Descubrir caracteristicas basicas de los datos Realice graficos de la serie economica en niveles, en logaritmos, en primeras diferencias y en tasas de crecimiento e intente decidir que transformacion hace la serie paracer mas estacionaria. Correlograma de las transformacions propuestas previamente. En el capitulo siguiente aprendera a identificar una familia de modelos en base al correlograma. Descarguese la base de datos Eco-Win de la Biblioteca de la UC3M y analice graficamente las series que mas le interesen. Recuerde que el movimiento se demuestra andando.