PENSAR, RAZONAR Y ARGUMENTAR Clara Helena Sánchez Botero Departamento de Matemáticas

Problema En una cárcel había tres presos, un vidente, un tuerto y un ciego. El carcelero les hizo la siguiente propuesta: tengo tres sombreros blancos y dos sombreros rojos. Pondré encima de sus cabezas un sombrero, de tal manera que ustedes podrán ver el sombrero de los demás pero no podrán ver su propio sombrero. Quien diga de qué color es su sombrero y lo justifique plenamente podrá salir libre. El que se equivoque será enviado a la celda de castigo. El carcelero preguntó al vidente de qué color era su sombrero, el vidente lo pensó un rato y dijo “no se, no me atrevo a responder”. Preguntó entonces el carcelero al tuerto, y este respondió “no se, tengo algunas sospechas, pero no puedo justificar plenamente mi intuición”. El carcelero no le preguntó al ciego por obvias razones. Sin embargo este le dijo mi sombrero es ____ y le dio las explicaciones del caso. El ciego salió libre. Se pregunta, ¿De qué color era el sombrero del ciego?, ¿Cómo lo supo?

Razonar Análisis de la situación Blanco¿se ¿Será blanco? ¿Será rojo? Datos 1. Hay tres sombreros blancos y dos rojos 2. Hay tres personajes: el vidente que llamaremos V, el tuerto que llamaremos T y el ciego que llamaremos C. 3. El Vidente no sabe. 4. El Tuerto no sabe.

RAZONAR Posibilidades de tener sombrero rojo o sombrero blanco V T C B R Esta no es pues V lo sabría Esta no es pues T lo sabría El cuadro nos muestra que para el ciego hay 4 posibilidades de tener sombrero blanco y una posibilidad de tener sombrero rojo. Esto le da al sombrero blanco la probabilidad de 4/7 y al rojo de 1/7. Esto es, la probabilidad de tener sombrero blanco es mucho mayor que la de tener sombrero rojo; pero en todo caso esa probabilidad es distinta de cero. Si con este raciocinio me la juego con el blanco puedo terminar en la celda de castigo.

Solución y argumentación El ciego respondió que su sombrero es blanco. Su argumentación fue la siguiente: si mi sombrero fuera rojo el tuerto habría dicho que su sombrero es blanco, pues el estaría viendo un sobrero rojo y uno blanco y si el de él fuera rojo habría hablado el vidente, pero como el vidente no sabía de que color era su sombrero entonces él tampoco dijo de que color era su sombrero. Así que como hay sólo dos posibilidades o tengo sombrero rojo o tengo sombrero blanco y no puede ser rojo, entonces mi sombrero es blanco.

Lógica La lógica es una disciplina que se estudia desde la Grecia antigua; su objetivo es estudiar las leyes que gobiernan los argumentos válidos: aquellos para los cuales de premisas o hipótesis verdaderas se puede sacar una conclusión necesariamente verdadera. El primer trabajo sistemático sobre lógica se debe a Aristóteles, siglo III a.c, quien realizó la primera teoría al respecto llamada teoría del silogismo. En el siglo XIX los matemáticos algebrizaron la lógica y apareció la hoy llamada lógica matemática. Con el problema dado y sus solución daré una idea de lo que la lógica aporta al conocimiento y cómo se usa.

Lógica El razonamiento, argumento, del ciego está basado en lo que en lógica se conoce como razonamiento por reducción al absurdo (RAA). Se niega la tesis y al razonar se llega a una contradicción: afirmar y negar algo al mismo tiempo. EL RAA está basado en que la lógica clásica acepta sólo dos valores de verdad Verdadero o Falso, lo que a su vez se conoce como Principio de tercero excluido. Además se acepta que no puede una proposición ser verdadera y falsa al mismo tiempo; este principio se llama Principio de No Contradicción.

Análisis lógico Observen cómo se manejan esos principios junto con otros que se evidenciarán. Cuando el ciego sabe que hay sólo dos tipos de sombreros rojo o blanco puede reducir esa afirmación a blanco o no blanco (tercero excluido). Ahora bien, si puede probar que no es rojo le queda la alternativa única de ser blanco. Esta es una Regla de inferencia conocida como el Modus Ponendo Tollens (MPT), que dice: si tengo una alternativa P o Q y no se me da P pues me queda Q, razonamiento de la vida cotidiana. La lógica estudia este tipo de reglas y las formaliza de tal manera que un argumento pueda ser revisado rigurosamente con ellas para que se pueda garantizar que de premisas (hipótesis) verdaderas se pueda llegar a una conclusión verdadera. Este es el caso del argumento del ciego.

El ciego niega la tesis: mi sombreo es blanco El ciego niega la tesis: mi sombreo es blanco. Esto es mi sombrero es rojo. Pero si fuera rojo el tuerto hubiera sabido de que color era su propio sombrero y habría salido libre. Pero no salió. He ahí la contradicción. Sin entrar en detalles este tipo de razonamientos son los que están detrás de los programas de computador; por eso todo ingeniero de sistemas debe saber y manejar adecuadamente la lógica matemática. Cualquier ser humano maneja la lógica de manera intuitiva; esta es indispensable para apreciar con herramientas racionales la calidad de un argumento sea propio o de un interlocutor. Debemos usar la lógica para convencer a un adversario y no usar otro tipo de medios no racionales!. Así no sepamos cuáles son las reglas de inferencia que garanticen nuestro argumento. Pero siempre es mejor saberlas!

GEOMETRÍA DE LA DISTORSIÓN

INTUICIÓN VS. REALIDAD

TOPOLOGÍA En las regiones más avanzadas de las matemáticas modernas, algunas de las mejores mentes de hoy están trabajando en mundos extraños de formas fascinantes e improbables. Uno de estos campos se conoce como topología. Este es un tipo especial de geometría referida a las posibilidades de que las superficies puedan hacerse retorcer, doblar, estirar o bien deformar, de una forma determinada en otra. Algunas veces los topólogos conciben formas que parecen imposibles, por ejemplo una superficie con una sola cara. Matemáticas Colección Científica de Life  

Matematización de una hoja de papel ANVERSO REVERSO ANVERSO 2 caras – 1 borde

Después de cortar un rectángulo en dos partes… ¿se preservan caras y bordes? ANTES 2 Caras – 1 Borde DESPUES 2 caras – 1 borde c/u    

Y si partimos el rectángulo de manera diferente ANTES 2 Caras – 1 Borde DESPUES 2 caras – 1 borde c/u    

¿Como crear un cilindro?

¿Cómo construir un cilindro a partir de un rectángulo? Para poder hacer la transformación basta identificar dos de los bordes del rectángulo como lo ilustra la figura. 2 Caras 2 Bordes 2 Caras 2 Bordes

Construcción de un cilindro a partir de un rectángulo

Ahora cortemos el cilindro por la mitad, ¿se mantiene la forma? 2 Caras 2 Bordes 2 Caras 2 Bordes 2 Caras 2 Bordes

Cortemos el cilindro por la tercera parte 2 Caras 2 Bordes 2 Caras 2 Bordes

La banda de Möbius

¿Cómo construir una cinta de MÖBIUS a partir de un rectángulo? Basta identificar dos de los bordes del rectángulo como lo ilustra la figura. 2 Caras 2 Bordes 2 Caras 2 Bordes

¿Se preservarán caras y bordes? NO 1 Cara 1 Borde 2 Caras 2 Bordes

¿Y si cortamos la Banda de Möbius por la mitad? 1 Cara 1 Borde En este caso se preservan las caras y los bordes al igual que en los ejemplos anteriores 1 Cara 1 Borde

Cortemos ahora de manera diferente por la tercera parte 2 Caras 2 Bordes 1 Cara 1 Borde 1 Cara 1 Borde ¿Curioso no?

MÁS TRANSFORMACIONES DE CILINDRO A TORO 2 Caras 2 Bordes

PROCEDIMIENTO Tomemos un Cilindro, el cual posee dos bordes en forma de circunferencia, lo único que debemos hacer es juntar las circunferencias         2 Caras 2 Bordes

¿Cómo es la Transformación? Se induce la transformación, con tan solo unir los bordes del cilindro.        

De Cilindro a Botella de Klein

Esta transformación solo depende de la transformación inducida sobre los extremos     Transformación sobre circunferencias

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CONTINUIDAD - VECINDAD

¿Cuáles son vecindades de p?

Geometría de la plastilina

Encuentre el género al cual pertenece cada figura

¿Qué es una vecindad?  

¿En qué se parecen una Dona y un Pocillo de una sola Oreja? Videos\Dona.wmv

NUDOS

Un modo de transformar anillos enlazados en anillos sueltos SIN CORTAR ninguno de ellos

TRANSFORMACIÓN MARAVILLOSA Es posible transformar los tres anillos enlazados de la izquierda de la figura de manera que uno de ellos se libere de los otros. Videos\Not knot.wmv

¿SE DEJARON TENTAR POR LAS MATEMÁTICAS? ¿SE DIVIRTIERON? ¿SE DEJARON TENTAR POR LAS MATEMÁTICAS?

¡GRACIAS!