Introducción al Método de los Elementos Finitos Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

Introducción al Método de los Elementos Finitos Modelos matemáticos en ciencia e ingeniería Ecuaciones algebraicas, diferenciales o integrales El desarrollo de las computadoras permitió usar estos modelos para resolver problemas prácticos. Se pueden simular y resolver sistemas altamente complicados en ciencia e ingeniería. Permiten: Reducir la necesidad de experiencias con modelos y prototipos (caras y lentas). Comparar fácilmente distintas alternativas de diseño para llegar al óptimo ingenieril. Disciplinas relacionadas: CAD: Computer Aided Design CAE: Computer Aided Engineering CAM: Computer Aided Manufacturing Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Introducción (cont) Soluciones analíticas Sólo casos simples Modelos matemáticos Casos prácticos, en computadora Soluciones numéricas Método de los Elementos Finitos (MEF) : técnica general para hallar soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales. Origen: ingeniería estructural, años 50/60, para solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en elasticidad. Su aplicación se generalizó, integrado a sistemas de CAD/CAE. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Introducción (cont) Aplicaciones del MEF: Ingeniería estructural Resistencia de materiales Mecánica de fluidos Ingeniería nuclear Electromagnetismo Campos eléctricos Propagación de ondas Conducción del calor Procesos de convección – difusión Ingeniería de petróleo Procesos de reacción – difusión . . . . . . . . Introducción al Método de los Elementos Finitos

Método de diferencias finitas vs. MEF Idea básica de un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales: El problema discreto puede resolverse en una computadora !!! Diferencias finitas: método numérico clásico para resolver ecuaciones diferenciales donde el problema discreto se obtiene reemplazando: Discretización Continuo con infinitos GDL Problema discreto c/ # GDL finito Solución discreta, aproximada, con N GDL Introducción al Método de los Elementos Finitos

Discretización en el MEF Reformulación de la ecuación diferencial en un problema variacional equivalente. Ej: en ecuaciones elípticas, en casos simples, toma la forma de problema de minimización: donde: V: conjunto de funciones admisibles es un funcional las funciones a menudo representan cantidades que varían en forma continua (ej.. desplazamiento de un cuerpo elástico, temperatura, etc.) F(v) es la energía total asociada a v. (M) es una caracterización equivalente de la solución de la ecuación diferencial como aquella función en V que minimiza la energía total del sistema considerado. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Discretización en el MEF (cont) En general, la dimensión de V es infinita (las funciones de V no pueden expresarse a través de un número finito de parámetros). Luego, (M) no puede resolverse en forma analítica. Para hallar una solución, la idea del MEF es reemplazar por un conjunto de funciones simples que dependen de un número finito de parámetros: Este problema es equivalente a un sistema de ecs. algebraicas. Se espera que sea una aproximación suficientemente buena de , la solución de (M). Usualmente elegimos: En este caso, corresponde al método clásico de Ritz-Galerkin Introducción al Método de los Elementos Finitos

Discretización en el MEF (cont) Característica particular del MEF: funciones de son funciones polinomiales por tramos Veremos más adelante que se pueden hacer formulaciones variacionales más generales que el problema de minimización; ej.: métodos de Galerkin Pasos para resolver por MEF: Formulación variacional del problema Discretización por MEF: construcción del espacio dimensional finito Solución del problema discreto Implementación del método en computadora: programación Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Comentarios Existen distintas formulaciones variacionales dependiendo, por ejemplo, de la elección de las variables independientes La elección del subespacio de aproximación de dimensión finita , o sea la elección del tipo de elemento finito, está influenciada por: Formulación variacional Requerimientos de precisión Propiedades de regularidad de la solución exacta . . . Para resolver el problema discreto necesitamos algoritmos de optimización y/o algoritmos de solución de grandes sistemas de ecs. algebraicas lineales o no lineales Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ventajas del MEF respecto de DF Tratamiento de geometrías complicadas Condiciones de borde generales Propiedades materiales no lineales o variables La estructura clara del método permite crear códigos multipropósito generales Fundamentos teóricos sólidos Confiabilidad Posibilidad de estimación de error Introducción al Método de los Elementos Finitos

1. Introducción al MEF para problemas elípticos Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF Problema simple 1-D Generalización a 2-D Propiedades básicas del método Introducción al Método de los Elementos Finitos

(1.1) Formulación variacional del problema 1-D Sea el problema de valores de frontera: donde es una función continua dada. Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u. (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del continuo: Barra elástica Cuerda elástica Conducción del calor en una barra Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos A) Barra elástica Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1 Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos B) Cuerda elástica Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga transversal de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: Introducción al Método de los Elementos Finitos

C) Conducción de calor en una barra Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos extremos. Bajo condiciones estacionarias y material lineal: donde k es el conductividad. Asumiendo k=1 Introducción al Método de los Elementos Finitos

Problemas de minimización y variacional Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de minimización (M) y de un problema variacional (V) Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación. Producto interno (v,w): para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w. Espacio lineal V: Funcional lineal Introducción al Método de los Elementos Finitos

Problemas de minimización y variacional (cont) Problema (M): Problema (V): Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B) es la energía potencial total asociada al desplazamiento v es la energía elástica interna es el potencial de cargas Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M) Introducción al Método de los Elementos Finitos

La solución de (D) es solución de (V) Multiplicamos por una función arbitraria (func. de test). Integramos sobre (0,1): Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0: Al ser v arbitraria: o sea, u es solución de (V) (1.1) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución Sea u solución de (V). Sea Luego: o sea, u es solución del problema (M). Sea u solución de (M). Luego Definiendo: Por (*) tiene un mínimo en . Luego : o sea, u es solución del problema (V). Introducción al Método de los Elementos Finitos

La solución de (V) es única Sean Sustrayendo, y eligiendo lo cual muestra que: Usando la condición de borde: o sea, la solución a (V) es única. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M) Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los problemas equivalentes (V) y (M) : Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D). Sea Asumimos existe y es continua. Integ.p/partes y usando Como es continua, luego: o sea, u es solución de (D). Introducción al Método de los Elementos Finitos

Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M) Resumiendo: Hemos demostrado que La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema variacional La solución del problema variacional es también solución de un problema de minimización y viceversa La solución del problema variacional es única Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del problema variacional es también solución de la ecuación diferencial Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora. Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las soluciones de (V) y (M). Introducción al Método de los Elementos Finitos

(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos Construiremos un subespacio de dimensión finita del espacio , consistente en funciones lineales p/tramos. Sea una partición del intervalo (0,1) en subintervalos de longitud La cantidad es una medida de la densidad de la partición. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Subespacio de funciones lineales por tramos Sea Para describir elegimos los valores Introducción al Método de los Elementos Finitos

Subespacio de funciones lineales por tramos Definimos funciones de base Toda función puede ser escrita en forma única como combinación lineal de las funciones de base : Luego, es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base: : función continua lineal por tramos que verifica la propiedad delta. Introducción al Método de los Elementos Finitos

MEF para problema modelo (D) Formulación como problema de minimización discreto: De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto: Notar, que si satisface (1.2), luego en particular (además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ) Siendo , escribimos (1.3) en la forma: Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas (método Ritz) (1.2) (método Galerkin) (1.3) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Forma matricial (1.5) A : matriz de rigidez b : vector de cargas Los elementos pueden calcularse fácilmente. Notar: Luego A es tridiagonal Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Sistema de ecuaciones Entonces: A es simétrica pues: A es definida positiva pues siendo luego: Como A simétrica y definida positiva Introducción al Método de los Elementos Finitos

Propiedades sistema de ecuaciones (1.5) A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero. Esto se debe a que tiene soporte local ( en un intervalo pequeño, interfiriendo con pocas funciones ). Si la partición es uniforme, y logramos Introducción al Método de los Elementos Finitos

(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo Sean Recordando que y como donde es el error de la aproximación Norma asociada al producto escalar ( , ): Desigualdad de Cauchy: Ecuación del error Veremos que en cierto modo, es la mejor aprox posible a la sol exacta Introducción al Método de los Elementos Finitos

Estimación de error del MEF para problema modelo Teo 1.1) Sean . Reemplazando v por w en la ecuación del error: Luego Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una elegida convenientemente. Por el resultado anterior: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Estimación del error Haremos interpolante de , o sea: En Análisis Numérico, se ve que: Luego, por el teorema y (1.12): Mediante análisis detallado, se puede mostrar : Notar: No necesitamos construir explícitamente , sino sólo la estimación de error del interpolante. es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su error Introducción al Método de los Elementos Finitos

(1.4) MEF para la ecuación de Poisson Sea el problema: con Puede corresponder a muchos problemas físicos: conducción de calor, potencial electromagnético, desplazamiento de una membrana fija en la frontera, etc. Teorema de la divergencia: con: Fórmula de Green: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Formulación variacional Si u satisface (D), luego es solución de: con D) Multiplicamos (D) por una arbitraria e integramos Como en el caso 1-D, si u suficientemente regular : Energía potencial total: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Subespacio de funciones lineales por tramos Construiremos un subespacio de dimensión finita consistente en funciones lineales p/tramos. Asumimos poligonal. Sea una triangulación de : con triángulos no superpuestos y de forma que no haya ningún vértice de algún triángulo ubicado sobre el lado de otro. El parámetro de malla mide la densidad de triangulación. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Subespacio de funciones lineales por tramos (cont) Definimos Notar Parámetros p/def. Excluimos los nodos de frontera pues Def. funciones de base : Soporte de Introducción al Método de los Elementos Finitos

Subespacio de funciones lineales por tramos (cont) Toda función tiene luego la representación: Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema de Poisson (D): De manera similar al caso 1-D, este problema es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones: donde ahora: Nuevamente A es simétrica, definida positiva y no singular, con lo cual el sistema de ecuaciones tiene solución única. Además, A es rala pues: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Noción de mejor aproximación es la mejor aproximación a la solución u en el sentido: con En particular, si encontramos tal que podremos probar convergencia. Ejemplo, usando el interpolante tendremos: con C>0 cte independiente de h, que depende de: tamaño derivadas segundas de u menor ángulo de los triángulos Puede mostrarse luego: Así, si u es sufic. regular, el error y su gradiente tienden a cero con Introducción al Método de los Elementos Finitos

Cálculo matriz rigidez Los elementos son calculadas por suma de contribuciones de los distintos triángulos: Notar que Sean los nodos del triángulo K. Luego, la matriz de rigidez del elemento K: La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas: Cálculo de las matrices de rigidez elementales Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble) El vector de cargas b es armado de la misma manera. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Cálculo matriz rigidez elemental Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al triángulo K: es una función lineal / Si es una función lineal en K, tiene luego la representación: La matriz de rigidez elemental: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Ejemplo Resolviendo: Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Ejemplo Matriz de rigidez elemental: Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente: Elemento 1) i=1; j=2; k=3 Sustituyendo: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Ejemplo Por similaridad: Elemento 2) i=3; j=6; k=1 Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble primer elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble segundo elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble tercer elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble cuarto elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble quinto elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ensamble sexto elemento Introducción al Método de los Elementos Finitos

Sistema de ecuaciones global Notar que la ecuación 1 está completa (no hay más elementos que contribuyan allí) : Puede mostrarse, de manera similar, que: con: La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Espacios de Hilbert En formulaciones variacionales para solución de BVP, trabajaremos con espacios V más grandes que los vistos hasta ahora. Sucesión de Cauchy: sucesión que verifica La sucesión de Cauchy es convergente si cuando Espacio de Hilbert: Es un espacio lineal V, equipado de producto escalar y norma asociada, completo (o sea que las sucesiones de Cauchy convergen respecto de la norma del espacio). Introducción al Método de los Elementos Finitos

Espacios de Hilbert: ejemplos 1D Espacio L2(I) de funciones de cuadrado integrable en I=(a,b) dotado del producto interno: y la norma: La desigualdad de Cauchy: Ejemplo: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Espacios de Hilbert: ejemplos 1D (cont.) Espacio H1(I) en I=(a,b): dotado del producto interno: y la norma: Espacio en I=(a,b): Dado el problema modelo: luego: Notas: es más grande que el espacio V de funciones lineales a trozos que veníamos usando. En MEF, la norma del error es simplemente la norma en H1(I). Introducción al Método de los Elementos Finitos

Espacios de Hilbert en d, d=2,3 Producto escalar: Norma: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Espacios de Hilbert en d, d=2,3 (cont) Dado el problema modelo (ec. de Poisson + CB homogéneas) luego: o, equivalentemente: Nota: (V) se dice la formulación débil de (D), y la solución de (V) es la solución débil de (D). Ésta no es necesariamente una solución clásica de (D). Para que lo sea, u debe ser suficientemente regular de modo que Du esté definida en el sentido clásico. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpretación geométrica del MEF Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB homogéneas: luego: Sea Vh un subespacio de dimensión finita de , ej. el espacio de funciones lineales a trozos. El MEF aplicado al problema de difusión-reacción da: Tomando en (V), (V)(Vh) resulta: La solución MEF uh es la proyección con resp a , de la solución exacta u sobre Vh, o sea que uh es el elemento de Vh más próximo u con resp a ||.|| , i.e.: Introducción al Método de los Elementos Finitos

CB naturales y esenciales Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB tipo Neumann: luego: o: con La CB Neumann, que no tiene que ser impuesta explícitamente sobre u, se denomina CB natural. La CB Dirichlet u=u0 sobre G, que debe ser satisfecha explícitamente por u, se conoce como CB esencial. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Problema continuo en forma abstracta Objetivos: Dar un tratamiento unificado a muchos problemas de la Mecánica y la Física, a fin de no repetir el mismo argumento en distintos casos concretos. Entender la estructura básica del MEF. Hipótesis: sea V un espacio de Hilbert con producto escalar (.,.)V y norma ||.||V, a(.,.) es una forma bilineal en V×V, y L(.) una forma lineal en V, tales que a(.,.) es simétrica, i.e., a(.,.) es continua, i.e., a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e., L(.) es continua, i.e., Introducción al Método de los Elementos Finitos

Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) Teorema: (M) y (V) son equivalentes, i.e., u satisface (M) si y sólo si u satisface (V). Además, uV, y ésta verifica Introducción al Método de los Elementos Finitos

Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont) Demo.: sea vV y  arbitrarios. Luego, v+uV, así que Siendo luego Como g tiene un mínimo en 0, debe cumplirse (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Estimación del error de discretización Sea Vh un subespacio de V, con dimensión finita M, y sea {1, 2,…, M} una base para Vh, de modo que toda vVh puede representarse Usando Vh, obtenemos los problemas discretos análogos a (M) y (V): Como Forma matricial de (Vh): con Introducción al Método de los Elementos Finitos

Estimación del error de discretización (cont) Dado que a(.,.) es simétrica:  la matriz A es simétrica Dado que a(.,.) es V-elíptica:  la matriz A es positiva definida  la matriz A es no singular  Introducción al Método de los Elementos Finitos

Estimación del error de discretización (cont) Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces: Demo.: Operando: (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Norma de energía Considerando a(.,.) es continua, i.e., a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e., podemos definir una nueva norma llamada norma de energía: Esta norma es equiv a ||.||V, i.e.,  constantes positivas , tal que El producto escalar asociado a ||.||a es La ec de error resulta de donde  Medida en la norma de energía, uh es la mejor aproximación a u. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Ejemplos concretos Ejemplo 1: sea En este caso, es la forma débil del problema de Neumann Se verifica  a(.,.) es una forma bilineal simétrica  a(.,.) es V-elíptica con a=1  a(.,.) es continua con g=1  L(.) es continua con Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 2: sea En este caso, es la forma débil del problema Se verifica  a(.,.) es una forma bilineal simétrica  a(.,.) es continua con g=1  a(.,.) es V-elíptica con a=1/2 Demo.:  L(.) es continua con Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 3: sea En este caso, es la forma débil del problema de Poisson Se verifica  a(.,.) es una forma bilineal simétrica  a(.,.) es continua con g=1  a(.,.) es V-elíptica con a=1/(C+1), C tal que  L(.) es continua con Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Definimos los espacios con norma La forma débil del problema (D) consiste en hallar tal que a(.,.) es una forma bilineal y simétrica  a(.,.) es continua con g=1  a(.,.) es V-elíptica con a=1/3 L(.) es continua con Luego: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 5: Consideremos el problema bi-armónico: Definimos los espacios con norma La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo Se puede demostrar que a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica, así como L(.) es una forma lineal continua. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 6: Consideremos el problema estacionario de convección-difusión: Supongamos ||b||/m moderado. La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo L(.) es una forma lineal continua. a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica. Teorema: si L(.) es una forma lineal continua, y a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica, se puede demostrar que hay solución única a (V), y está acotada. Sin embargo, en este caso no existe problema de minimización asociado a (V). Introducción al Método de los Elementos Finitos

Ejemplos concretos (cont) Ejemplo 7: Consideremos el problema estacionario de conducción de calor en W3 Definimos el espacio La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo L(.) es una forma lineal continua si f,gL2(W). a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica si Introducción al Método de los Elementos Finitos

Algunos espacios de elementos finitos Sea el dominio acotado W representado por la “triangulación” (o malla) de elementos finitos Th={K}. En 1D, el elemento K es un intervalo. En 2D, los elementos más comunes son triángulos o cuadriláteros. En 3D, tetraedros o hexaedros. Los espacios Vh más comunes en elementos finitos consisten en funciones polinómicas por tramos definidas sobre la malla Th. La definición de un espacio de elementos finitos Vh requiere especificar La malla Th del dominio W. La naturaleza de las funciones vVh sobre cada elemento K (ej., lineal, cuadrática, cúbica, etc.) Los parámetros usados para definir dichas funciones. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Requisitos de regularidad BVP de 2º orden  BVP de 4º orden  Si los espacios consisten de funciones polinómicas, resulta Introducción al Método de los Elementos Finitos

Algunos ejemplos de elementos finitos en 2D Sea el dominio W2 con frontera poligonal G. Sea Th={K} una triangulación de W en triángulos K. Definimos los espacios P1(K) es el espacio de funciones lineales en K: luego {1,x,y} es una base en P1(K) y dim P1(K)=3. P2(K) es el espacio de funciones cuadráticas en K: luego {1,x,y,x2,xy, y2} es una base en P2(K) y dim P2(K)=6. En general: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular lineal Sea el espacio de funciones lineales a trozos: Los parámetros necesarios para describir las funciones vVh se denominan grados de libertad (gdl) globales, y se eligen coincidentes con los valores de v en los nodos de la triangulación Th. Si KTh es un triángulo lineal de vértices (xi,yi), i=1,2,3, los gdl elementales son los valores de v en los dichos vértices. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular lineal (cont) Teorema: Sea KTh un triángulo de vértices (xi,yi), i=1,2,3. Una función vP1(K) está determinada de manera única por los gdl elementales, i.e., dados los valores ai, Demo.: Evaluando en los vértices Demo. 2: Notar que dim P1(K) = # gdl, i.e., # incógn = # ecs. Luego, det B0 implica que si vP1(K) y v(xi,yi)=0 para i=1,2,3, entonces debe ser v0. Esto se puede probar sin necesidad de calcular det B, tarea que se complica a medida que se usan polinomios de mayor orden. (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Determinación de las funciones de base para el triángulo lineal Toda función vP1(K) puede representarse Las funciones de base li ( coord de área del triángulo K) verifican lo que da lugar al sist de ecs de donde Análogamente: Introducción al Método de los Elementos Finitos

Continuidad entre elementos triangulares lineales Dado Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente Demo.: Para probar que (3.11)(3.4), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (3.11) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales. Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S y los nodos 1 y 2. Sea la restricción de v a Ki. v1=v2 en los nodos 1 y 2, y v1,v2 lineales.  v1=v2 a lo largo de todo el lado S  v es continua a través de S  (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cuadrático Sea el espacio de funciones cuadráticas a trozos: Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3. Teorema: toda función vP2(K) está únicamente determinada por los gdl Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cuadrático (cont) Demo.: como dim P2(K)= #gdl =6, es suficiente probar que si vP2(K) y v(xi)=v(xij)=0 (con i<j, i,j=1,2,3), entonces debe ser v0. A lo largo del lado 23, v varía cuadráticamente y v=0 en x2, x3 y x23. Luego, v=0 x , y v puede escribirse Ídem a lo largo del lado 13, luego Evaluando en x12 (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cuadrático (cont) Toda función vP2(K) puede expresarse Con las funciones de base en P2(K) dadas por Es fácil verificar que yi, i=1,…,6, conforman una base en P2(K) y además yi(xj)=dij. funciones asociadas a los nodos en vértices funciones asociadas a los nodos en el medio de los lados Introducción al Método de los Elementos Finitos

Continuidad entre elementos triangulares cuadráticos Dado o, alternativamente, Demo.: Para probar que (a)(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales. Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, con nodos 1, 2 y 4. Sea la restricción de v a Ki. v1=v2 en los nodos 1, 2 y 4, y v1,v2 cuadráticas.  v1=v2 a lo largo de todo el lado S  v es continua a través de S  (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cúbico Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos: Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cúbico (cont) Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y v(xi)=v(xiij)=v(x123)=0 (con i,j=1,2,3, ij), entonces debe ser v0. v tiene variación cúbica a lo largo de los lados 12, 23 y 13, y v=0 en cuatro puntos de cada lado, luego v=0 en los tres lados y puede escribirse Evaluando en x123 (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Funciones de base para elemento finito triangular cúbico Introducción al Método de los Elementos Finitos

Continuidad entre elementos triangulares cúbicos Dado Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente Demo.: Para probar que (a)(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales. Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos extremos 1 y 2, y nodos intermedios 4 y 5. Sea la restricción de v a Ki. v1=v2 en los nodos 1, 2, 4 y 5, y v1,v2 cúbicas.  v1=v2 a lo largo de todo el lado S  v es continua a través de S  (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos: Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y centro de gravedad x123. Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas (cont) Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y entonces debe ser v0. la función v tiene variación cúbica a lo largo del lado 12, y se anula así como su derivada en dos puntos del lado, luego v=0 en todos los puntos del lado 12. Razonando análogamente con los lados 23 y 13, llegamos a Evaluando en x123 (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Continuidad entre EF triangulares cúbicos con gdl en derivadas Dado Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente Demo.: Para probar que (a)(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales. Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos 1 y 2. Sea la restricción de v a Ki. v1=v2 y (derivadas en la dirección s a lo largo de S) en los nodos 1 y 2, y v1,v2 cúbicas  v1=v2 a lo largo de todo el lado S v es continua a través de S  Nota: no se logra continuidad C1 por cuanto la función de base asociada a x123 no llega con pendiente nula a los lados. (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular C1-continuo Consideremos un espacio de EF , lo que requiere usar polinomios de grado 5 por triángulo, i.e. Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3. Teorema: toda función vP5(K) está únicamente determinada por los gdl Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito triangular C1-continuo (cont) Demo.: como dim P5(K)= #gdl =21, es suficiente probar que si todos los gdl son nulos, entonces debe ser v0. v es un polinomio de grado  5 a lo largo del lado 23 y es un polinomio de grado  4 a lo largo del lado 23 y Aplicando idéntico razonamiento sobre los lados 12 y 13, llegamos a (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Continuidad entre EF triangulares C1-continuos Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de extremos 2, 3. Sea la restricción de v a Ki., y w=v1v2 sobre S. Luego: (QED) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito tetraédrico lineal Sea W la unión de un conjunto Th={K} de tetraedros no superpuestos K tales que ningún vértice de algún tetraedro se ubique sobre el lado de otro tetraedro. Adoptamos los siguientes espacios polinómicos por trozos de EF Para r=1, toda función vP1(K) está únicamente determinada por sus valores en los vértices de K. En este caso, el espacio de EF es K Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito rectangular bilineal Sea W la unión de un conjunto Th={K} de rectángulos no superpuestos K tales que ningún vértice de algún rectángulo se ubique sobre el lado de otro rectángulo. Definimos el espacio Toda función vQ1(K) está únicamente determinada por sus valores en los vértices del rectángulo K. Se puede demostrar fácilmente que existe continuidad interelementos de v. Luego, el espacio de EF es K Introducción al Método de los Elementos Finitos

Elemento finito rectangular bicuadrático Definimos el espacio de funciones bicuadráticas en K Toda función vQ2(K) está únicamente determinada por sus valores en los vértices, en el medio de los lados y en el centro del rectángulo K. Se puede demostrar fácilmente que existe continuidad interelementos de v. Luego, el espacio de EF es K Introducción al Método de los Elementos Finitos

Introducción al Método de los Elementos Finitos Resumen Definimos un elemento finito como la terna {K, PK, S}, donde K es un objeto geométrico. PK es un espacio lineal de dimensión finita de funciones definidas en K.  es un conjunto de gdl que determinan de manera única toda función vK. Por ej., para el EF triangular lineal {K, PK, S}, resulta K es un triángulo. PK=P1(K).  es el conjunto de valores de v en los vértices de K. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Tipos de elementos finitos más comunes Introducción al Método de los Elementos Finitos

Tipos de elementos finitos más comunes (cont) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Soporte de diferentes funciones de base Introducción al Método de los Elementos Finitos

Estimación de error en problemas elípticos Para un típico problema elíptico de la forma donde se verifica a(.,.) es una forma bilineal simétrica, continua y V-elíptica. L(.) es una forma lineal continua resulta Si elegimos v=phuV como un interpolante de u y estimamos el error de interpolación ||uphu||V, obtendremos una estimación del error ||uuh||V del MEF. Elegimos phu tal que sus gdl coincidan con los de u en Vh, así el problema de determinar ||uphu||V se reduce a determinar uphu individualmente sobre cada elemento finito KTh. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D Sea Para el triángulo KTh, definimos rK/hK da una idea de la calidad del elemento (cuanto mayor, mejor) Designemos Th a una familia de mallas {Th} caracterizadas por el parámetro , y una constante b+, independiente de h, tal que Esta condición implica que los triángulos KTh no pueden ser arbitrariamente finos. La constante b es una medida del ángulo más pequeño para cualquier KTh. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont) Sean Ni, i=1,2,…,M, los nodos de Th. Dado , definimos el interpolante phuVh por i.e, phu es la función lineal a trozos que coincide con u en los nodos xi de Th. Empecemos por estimar el error uphu en cada triángulo K. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont) Teorema: sea KTh un triángulo de vértices xi, i=1,2,3. Dado vC0(K), sea el interpolante pvP1(K) definido por Luego: donde Nota: la magnitud de los errores de interpolación en la función y sus derivadas primeras dependen del valor de las derivadas segundas, que es una medida de cuán curva es la superficie descrita por la función. Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont) Demo.: como pvP1(K), usando las funciones de base li podemos escribir Usando una expansión de Taylor, en el punto y = x+D tenemos Tomando y=xi: Como ||xxi||hK xK, i=1,2,3, el resto Ri(x) resulta acotado por Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont) Luego: Por otro lado, veremos más adelante que: (QED 1) Introducción al Método de los Elementos Finitos

Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont) Se calcula la derivada de pv: Por otro lado, veremos más adelante que: (QED 2) Introducción al Método de los Elementos Finitos