Maracaibo, 5 de Noviembre de 2007 Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería Instituto de Cálculo Aplicado Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería Instituto de Cálculo Aplicado Prof. Daniel Ernesto Finol González Optimización Global Usando Ensamblaje de Modelos

Justificación del Estudio En distintas industrias es frecuente la necesidad de optimizar funciones de las cuales sólo se conoce (o puede conocerse) una cantidad limitada de evaluaciones. El proceso de optimización requiere muchas evaluaciones. En distintas industrias es frecuente la necesidad de optimizar funciones de las cuales sólo se conoce (o puede conocerse) una cantidad limitada de evaluaciones. El proceso de optimización requiere muchas evaluaciones.

Justificación del Estudio Se debe construir un modelo que aproxime la función a partir de unas pocas evaluaciones. Crear el modelo es un problema inverso: Existen muchos modelos que se ajustan bien a los datos sin parecerse a la función original. Se debe construir un modelo que aproxime la función a partir de unas pocas evaluaciones. Crear el modelo es un problema inverso: Existen muchos modelos que se ajustan bien a los datos sin parecerse a la función original.

ObjetivoObjetivo Objetivo Evaluar el desempeño relativo de una metodología de optimización global de funciones costosas basada en el uso de múltiples modelos sustitutos.

Casos de Estudio Se seleccionaron seis casos de estudio. Éstos se distinguen por tres características: –Alta o baja no–linealidad. –Alta o baja dimensionalidad. –Ruido aleatorio presente o no.

Caso de Estudio 1 (P1) Dimens:10 No–Lin:Alta Dimens:10 No–Lin:Alta

Caso de Estudio 2 (P5) Dimens:16 No–Lin:Baja Dimens:16 No–Lin:Baja

Caso de Estudio 3 (P6) Dimens:2 No–Lin:Alta Dimens:2 No–Lin:Alta

Caso de Estudio 4 (P7) Dimens:2 No–Lin:Alta Dimens:2 No–Lin:Alta

Caso de Estudio 5 (P12) Dimens:2 No–Lin:Baja Dimens:2 No–Lin:Baja

Caso de Estudio 6 (P13) Dimens:2 No–Lin:Baja Con Ruido Dimens:2 No–Lin:Baja Con Ruido

1. Diseño del Experimento y Muestreo (Hipercubo latino) ==> Conjunto de datos iniciales. 2. Ajuste RBF; PRE y KRI ==> 3 Modelos Base. 3. Obtener medidas de incertidumbre para cada modelo ==> Medidas de Incertidumbre. 4. Realizar “Ensamblaje de modelos” (Suma Ponderada) ==> Cuarto Modelo. 5. Optimizar c/u de los 4 modelos (Direct) ==> 4 soluciones. 6. Comparar y analizar resultados. 1. Diseño del Experimento y Muestreo (Hipercubo latino) ==> Conjunto de datos iniciales. 2. Ajuste RBF; PRE y KRI ==> 3 Modelos Base. 3. Obtener medidas de incertidumbre para cada modelo ==> Medidas de Incertidumbre. 4. Realizar “Ensamblaje de modelos” (Suma Ponderada) ==> Cuarto Modelo. 5. Optimizar c/u de los 4 modelos (Direct) ==> 4 soluciones. 6. Comparar y analizar resultados. MetodologíaMetodología

Modelos Sustitutos Los modelos usados fueron: Kriging (KRI). Regresión Polinómica (PRE). Funciones de Base Radial (RBF). Cada uno de ellos es un caso especial de: Los modelos usados fueron: Kriging (KRI). Regresión Polinómica (PRE). Funciones de Base Radial (RBF). Cada uno de ellos es un caso especial de:

Kriging En nuestra versión de Kriging p = 1 y f(x) = 1. Lo cual hace β = μ. Y el modelo queda: μ + ε(x) con donde ; Y es el valor de la función en cada punto de la muestra. R es la matriz de correlación entre los puntos de la muestra y r(x) es el vector de correlación entre cada punto de la muestra y x.

Kriging R y r(x) se estiman mediante modelos de la forma: Donde cada C j es una función parametrizada decreciente de la distancia entre los puntos. Los C j usados fueron: exponencial generalizada, gaussiana, spline y esférica.

Regresión Polinómica Este es una caso especial de la regresión lineal. ε(x) se asume que es cero. Cada f i (x) es una de las siguientes: La constante 1. La función identidad de una de las variables. El producto de dos variables. El cuadrado de alguna variable. Este es una caso especial de la regresión lineal. ε(x) se asume que es cero. Cada f i (x) es una de las siguientes: La constante 1. La función identidad de una de las variables. El producto de dos variables. El cuadrado de alguna variable.

Funciones de Base Radial En este caso también se asume ε(x) como cero. Las f i (x) son funciones gausianas o multicuádricas con centro en algún punto de la muestra. Además una f i (x) puede ser constante. Potencialmente a todo punto de la muestre le puede corresponder una función; pero se seleccionan con el método de forward selection. El radio de cada función se escoge entre distintas opciones según una medida de error. En este caso también se asume ε(x) como cero. Las f i (x) son funciones gausianas o multicuádricas con centro en algún punto de la muestra. Además una f i (x) puede ser constante. Potencialmente a todo punto de la muestre le puede corresponder una función; pero se seleccionan con el método de forward selection. El radio de cada función se escoge entre distintas opciones según una medida de error.

Medidas de Incertidumbre Kriging: PRE y RBF: RBF:

Modelo Suma Ponderada

Resumen de Resultados R–Cuadrado

Resumen de Resultados Razón VEP / SSEP

Resumen de Resultados Optimización

Conclusiones La primera conclusión es que sí es eficaz usar más de un modelo para aproximar una función a partir de una muestra. Esta conclusión está basada en cuatro razones:

Conclusiones 1ra: No hubo ningún modelo que fuera siembre, o la mayoría de las veces, el mejor. De hecho cada modelo fue el mejor en por lo menos dos casos.

Conclusiones 2da: El modelo Suma Ponderada obtuvo el mejor R 2 promedio con la muestra “Pequeña”, y el segundo mejor promedio con la muestra “Escasa”, siendo la diferencia con el mejor promedio, en este último caso, muy pequeña.

Conclusiones 3ra: Cuando el modelo Suma Ponderada no tiene el mejor R 2 tiene el segundo mejor, con una excepción (P13, “Escasa”).

Conclusiones 4ta: También se observó que el modelo Suma Ponderada, tiene la varianza de R 2 más baja o segunda más baja. Esto indica que la calidad de sus resultados es consistente.

Conclusiones Sin embargo la pregunta más importante que esta investigación trata de contestar es si vale la pena calcular más de un modelo desde el punto de vista de la optimización.

Conclusiones Aunque en algunos problemas la diferencia entre los óptimos encontrados con los distintos modelos no es muy grande, sí es frecuente que haya uno mucho peor que los demás; y, aunque suele ser el modelo de “Regresión Polinómica” quien presenta ese problema, no es poco frecuente que sea algún otro el peor.

Conclusiones De modo que sigue siendo válido el primero de los argumentos esgrimidos con respecto al modelado: como no hay un modelo que obtenga el mejor óptimo en todos los casos, y ni siquiera uno que sea siempre uno de los dos mejores (aparte del modelo Suma Ponderada), es necesario construir más de un modelo para obtener un óptimo confiable.

Conclusiones Otras observaciones y conclusiones son: El estimador estándar de la varianza del error de RBF, usando el método de Forward Selection, está significativamente sesgado hacia abajo. El estimador de la de Kriging en teoría es sesgado hacia abajo; pero esto no se notó.

Conclusiones Otras observaciones y conclusiones son: Los modelos RBF tuvieron, en promedio, más parámetros que la mitad del tamaño de la muestra (> 57%). Los coeficientes del modelo Suma Ponderada asumen que no hay correlación entre las predicciones de los modelos. Esto no es cierto.

Conclusiones Otras observaciones y conclusiones son: La estimación de la varianza del modelo Suma Ponderada estuvo significativamente sesgada hacia abajo.

Recomendaciones Mejorar el modelo Suma Ponderada con información acerca de la correlación de las predicciones de los modelos. Implementar EGO sustituyendo Suma Ponderada por Kriging (o RBF); pero hay que tener en cuenta el sesgo en la estimación de la varianza de Suma Ponderada.

Recomendaciones Encontrar un buen estimador de la varianza de RBF que no sea tan ad– hoc. Los modelos RBF y PRE podrían integrarse como la parte determinística de un modelo de Kriging. (En vez de usar Suma Ponderada).