EJEMPLO COMPLETO Y APLICACIONES Bloque IV * Tema 161

Ejemplo A lo largo de 5 años una empresa se ha visto obligada a duplicar el número de empleados, reduciendo no obstante sus beneficios según se ve en la Nube de Puntos. Estudiar la distribución, hallando la Recta de Ajuste correspondiente e indicando el porcentaje de beneficios que se deben al número de empleados que tiene la empresa Número de empleados Beneficios en decenas de miles de €

Por la nube de puntos está claro que hay una correlación lineal entre el nº de empleados y los beneficios de la empresa. Al aumentar el nº de éstos han disminuido los beneficios. xiyixi 2 yi 2 xi. yi

Calculamos los parámetros o medidas de la correlación lineal EMPLEADOSBENEFICIOS ( Respecto de xi )( Respecto de yi ) Medias marginalesx = 45 / 6 = 7,5y = 38 / 6 = 6,33 Varianzas marginalesVx = 355/6 – 7,5 2 = 3,25 ; Vy = 248/6 – 6,33 2 = 1,55 D. típicas marginalesσx = 1,80σy = 1,25 Covarianza Vxy = -10 / 6 = -1,66 Coeficiente de Correlación lineal r = Vxy /σx*σy = -1,66 / 1,8*1,25 = -0,740 Coeficiente de Determinación r 2 =0,55El 55 % de los beneficios se puede atribuir al número de empleados.

El Coeficiente de Correlación es NEGATIVO, lo que implica una correlación INVERSA. El Coeficiente de Correlación está próximo a -0,85, por lo que podemos considerar una correlación FUERTE. C alculemos la Recta de Ajuste (Y sobre X): m = Vxy /σx2 = -1,66 / 1,8*1,8 = - 0,5123 n = y - m*x = 6, (-0,5123)*7,5 = 6, ,843 = 10,176 y = - 0,5123.x + 10,176 La recta de ajuste presenta una pendiente muy pequeña y de valor negativo ( al ser una correlación inversa ). La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de x : x 1 = 6  y 1 = 7,1 ; x 2 = 9  y 2 = 5,5

Calculemos la Recta de Ajuste (X sobre Y): m = Vxy /σy2 = -1,66 / 1,25*1,25 = - 1,0666 n = x - m*y = 7,5 - (- 1,0666)*6,33 = 7,5 + 6,7285 = 14,2285 x = - 1,0624.y + 14,2285 La recta de ajuste presenta una pendiente muy pequeña y de valor negativo ( al ser una correlación inversa ). La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de y : y 1 = 5  x 1 = 8,9 ; y 2 = 8  x 2 = 5,7

Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (Y sobre X) son: (7,5, 6,33) (6, 7,1) (9, 5,5) Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (X sobre Y) son: (7,5, 6,33) (8,9, 5) (5,7, 8) Por el ángulo que forman podemos ver que la correlación no es ni débil ni fuerte Número de empleados Beneficios en millones de €

Aplicaciones A veces por la nube de puntos se ve claramente que hay una clara correlación entre las variables de una distribución bidimensional. Pero cuando esa correlación es cuadrática o exponencial, hallar sin más la recta de ajuste o regresión lineal puede llevar consigo grandes errores. En esos casos procede hacer un cambio de variable. EJEMPLO DE CORRELACIÓN EXPONENCIAL Los valores de y son tales que fácilmente podemos ver que vienen dados por y = e (mx + n) Se efectúa el cambio z = ln y Y se tabula, se calculan los parámetros y se hallan las rectas de ajuste con los valores de x y de z.

Aplicaciones EJEMPLO DE CORRELACIÓN POTENCIAL Los valores de y son tales que fácilmente podemos ver que vienen dados por y = k.x m Es decir, los valores de y son aproximadamente (o proporcionales a) el cuadrado, el cubo o cualquier otra potencia de x. Tomando logaritmos: ln y = ln k + m.ln x Y se tabula, se calculan los parámetros y se hallan las rectas de ajuste con los valores de ln x y de ln y ( en lugar de x e y). Con estos cambios la correlación sería claramente lineal, la recta de ajuste tendría pleno sentido y la interpolación se haría con un error muy pequeño.

Dos ejemplos de aplicaciones xiyixizi 1611, , , , , , xiyiln xiln yi 110, ,692, ,103, ,394, ,614, ,795,30 6,5819,83 Solución: ln y = x – 1 Donde y = e (x – 1) Solución: ln y = 3.ln x Donde y = x 3