UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICAS CÁTEDRA DE DIBUJO I POSICIONES PARTICULARES DE LOS PLANOS CON RESPECTO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN Msc. Thamara Girón

CONTENIDO PLANOS PERPENDICULARES A DOS DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN PLANOS PERPENDICULARES A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN PLANOS NO ES PERPENDICULAR A NINGÚN PLANO DE PROYECCIÓN.

POSICIONES PARTICULARES DE LOS PLANOS CON RESPECTO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN Los planos pueden tener diferentes posiciones con respecto a los planos de proyección (PH, PV, PL) Las posiciones del plano se pueden agrupar en 3 relaciones, cuando: El plano es perpendicular a Dos planos de Proyección. El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección El plano no es perpendicular a los planos de proyección.

El plano es perpendicular a dos de los planos de proyección π┴Pv π┴PL π // PH πh // LT a) Plano Horizontal: FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA

El plano es perpendicular a dos de los planos de proyección π┴PH π┴PL π // PV πh // LT b) Plano Frontal: FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL

El plano es perpendicular a dos de los planos de proyección π┴PH π┴Pv π // PL πh ^ πV ┴ LT c) Plano de perfil: FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL

El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección FIGURA ESPACIAL β a) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β) Es perpendicular al plano horizontal. Las proyecciones horizontales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Horizontal del Plano (πh). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Vertical (β). La traza vertical (πv) será perpendicular a la línea tierra y es una recta de pie. FIGURA DESCRIPTIVA Rectas Є plano: De pie Horizontal Oblicua π┴Ph FIGURA ESPACIAL 7

4. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de una CUÑA que pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base. Oh AV CV Ah-Ch β λv λh X Ov DV BV Bh Dh Ing. Thamara Girón

El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección π┴PV b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α) Es perpendicular al plano vertical. Las proyecciones verticales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Vertical del Plano (πv). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Horizontal (α). La traza horizontal (πh) será perpendicular a la línea de tierra y se comporta como una recta de punta contenida en el P.H. Rectas Є plano: De punta Frontal Oblicua FIGURA ESPACIAL α FIGURA ESPACIAL FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA 9

3. Realizar las proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ). La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. O (50, 22, _) es el centro de la base. δv δh fv fh Av Cv Ah Ch Bv-Dv Ov Bh Dh Oh

El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección c) Plano // L.T: (πh ^ πv // L.T) FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL FIGURA ESPACIAL

7. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA RECTANGULAR, que pertenece a un PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base Ωv 1h 1v Dc Bv Dv Av Cv //L.T V //L.T h Ov 2v 2h Dc Bh Dh Ah Ch O Ωh Ing. Thamara Girón

El plano es perpendicular a uno de los planos de Proyección d) Plano que pasa por la L.T. Ambas trazas están contenidas en la L.T. Para determinarlo se requiere de una condición condicional (un punto del plano no contenido en la L.T.). Pueden pasar infinitos planos por la L.T. y un caso particular son los planos bisectores. FIGURA DESCRIPTIVA Rectas Є plano: De perfil // L.T Oblicua FIGURA ESPACIAL

El plano no es perpendicular a ninguno de los planos PH, PV a) Plano Cualquiera: Puede tomar cualquier posición en el espacio, formando ángulo con los planos de proyección que son diferentes de 90ª. FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA Rectas Є plano: De perfil Horizontal Frontal Oblicua

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE a) Plano que pasa por la L.T. c) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β) b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α) RMPv RMPh FIGURA ESPACIAL β RMP FIGURA DESCRIPTIVA RMPv RMPh FIGURA DESCRIPTIVA RMPv RMPh RMP RMP

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE

10. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA CUADRANGULAR, que pertenece a un PLANO OBLÍCUO (σ). La diagonal AC es una recta de máxima pendiente (r.m.p) X (0, 0, 0) σ σh= 30ª σ v=45ª A (_, _, 0) O (6.5, _, 2) O es el centro de la base 45ª 30ª X σv σh Dv 90ªº Rmpv Rmph VT Rmp Cv Ch Ov hv hh Bv Dv Av Oh Dv Dh Bh Ah Ing. Thamara Girón

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano PERPENDICULARIDAD El ángulo NO goza de la capacidad proyectiva El ángulo NO se proyecta como tal a menos que uno de los lados sea // al plano de proyección Para poder observar el ángulo en su capacidad proyectiva las rectas tendrán que ser horizontales o frontales Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria que la recta sea perpendicular a dos rectas del plano, una horizontal y una frontal

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO c) El plano “π” No es dado por sus trazas A punto exterior al plano π Es necesario definir previamente las rectas horizontales y frontales del plano, para poder trazar la perpendicular al plano. a) Dada la recta “r” construir un plano π perpendicular a ella. A pertenece al plano π b) Dado el plano “π” por trazas A punto exterior al plano π Trazar desde el punto exterior una perpendicular al plano. FIGURA ESPACIAL f h r πh πv πh πv Fv Rv rv πv Av Ah mv Tv sv Fh Th rh Rh=Sh πh r┴h rh ┴ PH r┴f rv ┴ PV r┴π mh

INTERCEPCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO OBLICUO

Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo. δv δh fv fh A´v A´h Cv Ch Bv-Dv Ov 90º Av Ah 45º Bh Dh 90º Oh Ing. Thamara Girón

9. Proyecciones y visibilidad de un OCTAEDRO, cuya Sección Cuadrada (ABCD) pertenece a un PLANO QUE PASA POR LA L.T (δ). AC= horizontal y mide 6 cm, O (4, 2, 4) es el centro de la sección DL DV BV V´L V´v V´h Ov //L.T AV CV OL VL Vv Vh BL δ Bh Ah Ch //L.T Oh Dh Ing. Thamara Girón

5. Proyecciones y visibilidad de una CUÑA cuya base (ABCD) pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base. Oh Ev AV CV Ah-Ch β λv λh X Ov Fv DV BV Bh Dh Fh Eh Ing. Thamara Girón

B´v O´v C´v A´v D´v OL ΩL O B´h A´h O´h C´h D´h Ing. Thamara Girón Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, la base (ABCD) pertenece a un PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base La altura del prisma es 6 cm B´v O´v C´v A´v O´L D´v Ωv 1h 1v Dc Bv Dv Av Cv //L.T V //L.T h Ov OL ΩL 2v 2h Dc Bh Dh Ah Ch O B´h Ωh A´h O´h C´h D´h Ing. Thamara Girón

Se dan: El plano φ y el punto O´ exterior al plano Se pide: Determinar las proyecciones de un PRISMA RECTANGULAR, que se apoya perpendicularmente en el plano φ El centro de la base superior del sólido es el punto O´, el centro de la base inferior es el punto O (_, _, _). Una de las diagonales de la base está sobre una frontal de φ y la otra sobre una horizontal del mismo. φ X (4.5, 0, 0) φvh= 45ª con la L.T O´(7, 7, 8) VT (AC)= VT (BD)= 4 cm φv φh 45ª X fv fh O´v O´h Dv Bv 90ª Dh Bh Rmih Rmiv Cv Av hh hv Oh Ov Ah Ch 90ª B´h A´h D´h C´h Ing. Thamara Girón

δv fv fh Ing. Thamara Girón δh Dv Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO CON UN TETRAEDRO la cual sus bases pertenecen a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. CUBO: La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo. TETRAEDRO se encuentra ubicado al lado derecho del cubo, C del cubo coincide con la mitad de la arista AB del tetraedro, la altura de cara (OC) es una frontal. Aristas 5 cm δv δh Ht fv fh Cv A´v A´h Cv Hc Ov Ch Bv-Dv Av=Bv Ov 90º Av Ah 45º Bh Dh Ah 90º Oh Ch Dh Oh Bh Ing. Thamara Girón

B´v O´v C´v A´v D´v OL ΩL O B´h A´h O´h C´h D´h Ing. Thamara Girón E´v Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, CON UN PRISMA HEXAGONAL la bases pertenecen a un PLANO // L.T (Ω). 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) La altura de los prismas es 6 cm Prima Rectangular: La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 O (5.5, _, _) O es el centro de la base Al lado derecho se encuentra ubicado un PRISMA HEXAGONAL AD= horizontal (6 cm), A del Prisma Hexagonal coincide con C del Prima Rectangular F´v O´v C´v A´v O´v D´v O´L D´v A´v C´v B´v Ωv 1h 1v Dc Bv Dv Fv Ev EL=FL Av Cv //L.T V //L.T h Ov OL Av Dv Ov BL=CL Bv Cv ΩL 2v 2h Dc Bh Dh Fh Eh Ah Ch F´h E´h Oh Dh O Ah D´h A´h B´h Bh Ch C´h B´h Ωh A´h O´h O´h C´h D´h Ing. Thamara Girón