Optimización Multiobjetivo Por: Antonio H Optimización Multiobjetivo Por: Antonio H. Escobar Zuluaga Universidad Tecnológica de Pereira - Colombia 2014

Optimización Multiobjetivo: Forma general

Optimización Multiobjetivo: vector de objetivos Las funciones objetivo son una representación matemática de los criterios usados para determinar la calidad de una solución. Pueden representarse matemáticamente a través de un vector de objetivos:

Optimización Multiobjetivo: vector solución y vector de objetivos Al evaluar una solución particular en las k funciones objetivo se tienen dos vectores:

Optimización Multiobjetivo: Espacio de objetivos Las imágenes de las soluciones definen al denominado espacio de objetivos. Por lo tanto, existe un espacio de soluciones y un espacio de objetivos.

Optimización Multiobjetivo: Concepto de dominancia

Concepto de dominancia para problema Min-Min Minimizar f2 Minimizar f1

Dominancia y frotera Pareto-Optima para dos funciones objetivo

Optimización Multiobjetivo: concepto de trade-off Existe una dificultad inherente para varios objetivos en conflicto: La imposibilidad de encontrar una solución que sea simultáneamente buena para todos los objetivos. El concepto de Trade-off se asocia al hecho de que al seleccionar una solución en lugar de otra se obtiene una mejora de unos aspectos y el empeoramiento de otros.

Optimización Multiobjetivo: concepto de trade-off La práctica señala que el usuario solo requiere una solución. Cual seleccionar? Se requiere información adicional más especializada. Si a cada objetivo le corresponde un nivel de importancia conocido (ponderación) se selecciona la solución de la frontera Pareto-Optima que más se aproxima a esta preferencia. Un decisor (decision maker) toma la decisión.

Metas de la optimización Multiobjetivo Minimizar la distancia entre cada objetivo individual y su valor óptimo mono-objetivo (suponiendo que conocemos su ubicación ). Maximizar la uniformidad de la distribución de las soluciones no dominadas (que expresen diferentes compromisos: trade-off). Maximizar la cantidad de soluciones de la frontera Pareto-Optima. Maximizar la eficiencia computacional.

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo Se mide en función de los aspectos que se desean: cercanía a las soluciones mono-objetivo, uniformidad, cantidad de soluciones. Eficiencia computacional En la práctica deben usarse diferentes métricas para evaluar los distintos aspectos del desempeño del algoritmo.

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo z * problema min-min

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo La mayor parte de las métricas proponen comparar la frontera Pareto-Optima obtenida por el algoritmo con la denominada PF-true o Verdadera Frontera Pareto Optima. Las medidas de error resultantes de esta comparación indican la efectividad del algoritmo analizado.

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo algoritmo A algoritmo B problema min-min

Métrica de la Tasa de Error: Indica el porcentaje de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada que no pertenecen a PF-true. Donde n es el número de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada, ei = 0 si la solución i pertenece a PF-true y ei = 1 si no pertenece. Un algoritmo ideal debe tener un E = 0.

Métrica de Distancia Generacional: Indica la distancia que hay entre la frontera Pareto-Optima encontrada y la PF-true: GD es la distancia estimada, n es el número de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada, di es la distancia euclidiana en el espacio de objetivos entre cada solución y el componente mas cercano de PF-true.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo No Elitistas Niched Pareto Genetic Algorithm (NPGA) A no domina a B A se prefiere sobre B problema min-min

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo No Elitistas Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) problema min-min

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas Los operadores de ELITE favorecen las mejores soluciones de una población dándole mayor oportunidad de pasar a la próxima generación. Cuando se comparan configuraciones se incluyen padres y descendientes para determinar quien pasa a la próxima generación. Los padres élite compiten con sus propios hijos para determinar quien sobrevive.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas Distance-Based Pareto Genetic Algorithm (DPGA) Calcula distancia euclidiana de cada componente de la población Pt a la población élite Et : Pt Et

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas Distance-Based Pareto Genetic Algorithm (DPGA) Determina la distancia euclidiana mínima de cada componente de la población Pt a la población élite Et : A h Pt Et B dmin C D E

DPGA Para soluciones dominadas: Para soluciones no dominadas: A A h h B dmin B C a dmin D D E E Para soluciones dominadas: Para soluciones no dominadas: F(h) = K - dmin F(a) = K + dmin

DPGA Las soluciones con valores mayores que K entran a la población élite y eliminan a las soluciones élite que dominan. Las soluciones con valores menores que K son preservadas en la población Pt pero no entran a la población élite Et. A las soluciones de la población Pt se les aplica selección, recombinación y mutación y se crea la población de la siguiente generación. Las soluciones son mayor función de adaptación son Pareto-Optimas y son las más aisladas.

NSGA-II Frente Pareto-Optimo, frentes no óptimos y diversidad: problema min-min

NSGA-II En la iteración t (ciclo generacional t) se tiene un conjunto de soluciones que conforman la población Pt. La población Pt se denomina población de padres.

NSGA-II A la población de padres Pt se le aplica selección, recombinación y mutación y se genera una población Qt de descendientes del mismo tamaño. Rt = Pt + Qt

NSGA-II La población Rt se separa a través de frentes de dominancia Fi y se ordenan las soluciones de cada frente aplicando distancia de apilamiento.

NSGA-II Se seleccionan las soluciones de los frentes de dominancia Fi menores y con mayor distancia de apilamiento para la nueva población P(t+1).

NSGA-II Nueva población

NSGA-II Distancia de apilamiento:

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Hipermalla: Permite controlar la uniformidad respecto a todas las funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Malla asimétrica: Permite controlar la uniformidad respecto a una o un subgrupo de funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Clustering: Permite controlar tamaño de la frontera Pareto-Optima manteniendo diversidad. separar en clusters hallar centroides Eliminar soluciones

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Dominación guiada: Permite evaluar una subregión de la frontera Pareto-Optima. Define una nueva función que pondera las funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Dominación guiada: región dominada tradicional nueva región dominada

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Paralelismo: Permite mejorar la eficiencia computacional. Procesador maestro variables de decisión funciones objetivo Procesador esclavo Procesador esclavo Esquema Maestro-Esclavo

Esquema subpoblaciones con migración controlada Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Conceptos aplicados en otras técnicas MO: Paralelismo: Permite mejorar la eficiencia computacional. subpoblación 2 subpoblación 1 migración migración migración migración subpoblación 4 subpoblación 3 Esquema subpoblaciones con migración controlada