Orlando Silva, Jesús Carrera, Sireesh Kumar Abril 2008

Problema 2 INTERCAMBIO ZONA MÓVIL-ZONA INMÓVIL Poros/fracturas intrapartícula Agregados de granos Inclusiones de líquido Zonas estancadas Difusión a/de lajas, vainas de arcilla Haggerty and Gorelick WRR (1995) Adsorción en superficie de minerales

33 Ecuaciones de conservación 1. Ecuación de flujo con MRMT 2. Ecuación de transporte de soluto con MRMT 3 (1.1) (2.1) (1.2) (2.2) Ecuación que gobierna la transferencia con la j-ésima zona inmóvil

2 maneras de representar numéricamente el problema: 1) Con una malla apropiada de nodos im. 2) Eliminando im como variable de estado explícita, i.e. expresando SV im como función de SV m ) Esto es lo que se supone que hace el presente método Representación numérica

55 Implementación numérica - El nodo m (zona móvil) está conectado a sus nodos adyacentes en la malla 1, 2 o 3D. - El nodo im (zona inmóvil) sólo está conectado con el nodo m. -Geométricamente, el nodo im se solapa con el nodo m. -Numéricamente, la variable de estado (presión, concentración) en el nodo im puede ser resuelta de manera explícita como función de la variable de estado en la zona móvil. En otras palabras, el nodo im puede considerarse como uno nodo de dimensión cero. (0D)

Ecuación de transporte generalizada 1. Balance de la fase móvil 2. Transferencia de masa dede/hacia la zona inmóvil (3.1) (3.2) 3. Relaciones adicionales (3.3)

7 Solución numérica 1 Se asume un esquema de Euler para la integración en el tiempo de la variable u m : 2. Reemplazando en la ecuación (3.2) se obtienen N ecuaciones diferenciales de primer orden 3. Hay una solución analítica (variación de parámetros) para la condición inicial 4. Combinando lo anterior con las ecuaciones (3.2), (3.3) se obtiene el flujo a tiempo t k+.

8 Contribución del proceso MRMT Sistema numérico

9 Equivalencia con otras representaciones numéricas 9 2. Formulación integro-diferencial y función de memoria (e.g., Carrera et al., 1998). 1. Modelos difusionales (e.g., Harmon et al., 1989). 3. Comportamiento asintótico (late-time) (e.g., Willmann et al., 2007) g(t) sigue una ley de potencia (m g ) distribución de j, j. 4. CTRW (e.g., Dentz & Berkowitz, 2003) (t): distribución de tiempos de transición

10 Módulo Fortran 90: mod_MRMT.f90 1. Tipo t_immobile contiene atributos que caracterizan a una zona inmóvil (porosidad, coeficientes de transferencia de masa, concentraciones en la fase inmóvil, etc.). 2. Subrutinas que calculan el aporte del proceso a las matrices numéricas D (ContriToMatrices_) y b (ContriToSink_). 4. Acoplamiento con códigos estándares programados en Fortran. 3. Entrada de datos mediante archivos XML Parameters i m,j, L im,j, D im,j, R im,j Coefficients im,j y im,j ExpansionTerms geometría, im,j y im,j, y número de términos de expansión LateTimem g, t 1 y t 2

11 Acoplamiento de mod_MRMT.f90 con TRACONF

12 Ejemplos de verificación. Flujo radial convergente

13 Verificación 1. Ensayo de trazadores convergente (TRANSIN). Pulso de masa de trazador radioactivo sin adsorción. La matriz o fase inmóvil se conceptualiza en forma de lajas. 10 términos de expansión

14 Parámetrovalorpropiedad Q, m 3 /d150Caudal de inyección r, m 0.5Dispersividad radial D m, m 2 /d0.0Coeficiente de difusión D im, m 2 /d0.001Coeficiente de difusión en la matriz m 0.1Porosidad zona móvil im 0.045Porosidad de la matriz RmRm 1.0Retardo en la zona móvil R im 1.0Retardo en la matriz M, g7.88Masa inyectada b, m5.0Espesor saturado L im, m0.05Longitud característica matriz r w, m0.2Radio del pozo Tiempo total de simulación: 4 días Parámetros de simulación

15 Curvas de llegada

16 Perfiles de concentración de trazador

17 Sensibilidad al número de términos de expansión

18 Verificación 2. Flujo radial hacia un pozo de bombeo (Haggerty & Gorelick, 1995). Q * = 1 L/s, b = 20 m, r w = 0.1 m, L = 0.1 m, m = 0.25, R m = ?

19 (a) Borden Sand. Restauración de un acuífero homogéneo Clase, j Rango de tamaño, (=2a) mm j = D a / a 2, s -1 jHG x x x x x x < x bulk 2.8 x R m = 1.6 (PCE en acuífero Borden, Rivet & Allen-King, 2003) 50 términos de expansión por cada zona inmóvil

20 Evolución de la fracción de masa remanente de PCE. 500 días

21 (b) Caso hipotético con una mezcla de procesos de transferencia de masa. Restauración de un acuífero heterogéno Clase, jZona inmóvil j = D a / a 2, s -1 jHG 1Granos porosos (esferas pequeñas) 2.8 x Agregados de granos (esferas grandes) 1.75 x Lajas de arcilla (cilindros) 1.43 x Vainas de arcilla (cilindros) 1.00 x Clase, jZona inmóvil j, s -1 jHG 5Reacción de superficie lenta 2.76 x Reacción de superficie rápida 4.42 x términos de expansión por cada zona inmóvil

22 Evolución de la fracción de masa remanente de PCE días

CONCLUSIONES 1. Modelo MRMT permite representar una mezcla heterogénea de procesos de transferencia de masa (partículas de acuífero, lajas de arcilla, reacciones de superficie de primer orden). 2. Presente aproximación numérica es sencilla y equivalente a otras formulaciones de MRMT. 3. Implementación en módulo Fortran fácil de acoplar a códigos estándares de flujo y transporte. 4. Predicción buena de resultados obtenidos con otra formulación y con soluciones semi-analíticas.