La distribución Multinomial en genética Suponga que un individuo puede caer en una y solo una categoría genética, de k posibles categorías. A manera de ejemplo, piense usted en una persona que puede tener uno y solo uno de los tres genotipos en un determinado locus donde solo hay dos alelos A y a. Entonces los genotipos posibles son : AA, Aa, aa (en este caso hay k = 3 categorías posibles) Ahora suponga usted que hay n individuos (por ejemplo n = 8) Entonces es claro que estos n (= 8) individuos se repartirán en esas k (= 3)clases. Una repartición posible puede ser: 5 con el genotipo AA; 2 con el genotipo Aa; y 1 con el genotipo aa. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir 8 individuos en 3 clases?

La distribución Multinomial en genética Supongamos que los miembros de una población pueden estar en una y solo una de k categorías o clases indexadas por i (i = 1, 2, …, k). Cada individuo tiene probabilidad Qi de pertenecer a la clase i, que es lo mismo que decir la frecuencia poblacional de la categoría i es Qi. La categoría de cada individuo no afecta la categoría de cualquier otro individuo, es decir la probabilidad de que encontrar un individuo de la categoría i y otro de la categoría j es QiQj. Extendiendo este argumento, se tiene que de una muestra de n individuos, la probabilidad de encontrar a ni individuos en la categoría i está dada por: Problema: Suponga que los tres genotipos AA, Aa y aa tienen frecuencias 0.64, 0.32 y 0.04 respectivamente. Calcule las probabilidades de ocurrencia para 8 individuos (Hágalo en una tabla EXCEL)

La Distribución Binomial Cuando solamente hay dos categorías ( k = 2) la multinomial se reduce a la bonomial. Si las probabilidades para estas dos categorías las denotamos por Q y 1 – Q, y las frecuencias de ambas categorías son a y n – a, la probabilidad binomial es Para ilustrar la distribución multinomial para el caso de tres categorías, la próxima tabla, Tabla 1, muestra las 45 posibles muestras para un tamaño poblacional de 8 en el cual los tres genotipos AA, Aa y aa tienen frecuencias 0,64, 0,32 y 0,04 respectivamente. Las muestras han sido ordenadas de acuerdo a su probabilidad de mayor a menor. Las probabilidades acumuladas también se entregan.

Tabla 1.

Aunque la distribución multinomial está completamente caracterizada por la ecuación se utiliza los llamados momentos. Estas cantidades se obtienen a través de los valores esperados de las potencias de sus frecuencias, y los dos momentos más importantes son la media y la varianza. La media, o valor esperado, del número en cualquier categoría es obtenido mediante la multiplicación de cada posible valor de ese número por la probabilidad y luego se suman estos productos. Puesto que cada categoría se puede considerar que sigue una distribución bonomial es muy sencillo derivar la media de una binomial. Para la categoría i el número esperado de una muestra de tamaño n es: De todas maneras en la Tabla 2 se indica y se dan los valores esperados para cada genotipo de nuestro ejemplo

Tabla 2. En la última fila se encuentran los valores esperados para cada categoría, y es simplemente la suma producto entre las dos columnas. Cada columna de probabilidad es simplemente la suma de las probabilidades condicionada a la columna de los posibles valores de los genotipos. Por ejemplo el valor de 0,0002821 para NAA = 0, corresponde a la suma de todas las probabilidades en que la primera componente, esto es NAA, es cero; y así sucesivamente. El sitio donde están las probabilidades que se sumarán Sitio donde están los valores de NAA La condición, de que todos sean iguales a 0, en este caso