Repaso de clase anterior Definición y propiedades de probabilidad (significado intuitivo, Axiomática de Kolmogorov). Teorema de Continuidad de la Probabilidad. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

4. Probabilidad condicional, independencia. Ejemplo un tanto macabro:   “Probabilidad de perder en la ruleta rusa=1/6” “Probabilidad de perder en la ruleta rusa (sin girar el cargador) cuando ya cinco jugaron y se salvaron=1”    El agregado de información relevante puede aumentar o disminuír las chances de un evento. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

La Probabilidad Condicional, o “Probabilidad de A dado B” (que simbolizaremos P(A/B)) es   ·      la Probabilidad que tiene A cuando se sabe que B ocurre o, equivalentemente, ·     la frecuencia con que ocurre A dentro de las ocurrencias de B Veámoslo en el siguiente ejemplo, un cuadro de datos de clima en región pre-montañosa, en los que indicamos con “LL” los días en los que llovió de manera moderada o intensa y con “E” los días en que predominaron los vientos del Este. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Vientos Lluvias Total NO Se observa que la frecuencia de lluvias es   Total SI NO E SI 65 21 86 E NO 44 860 904 109 881 990 Se observa que la frecuencia de lluvias es 109/990=0.11 y que, dentro de los días de viento Este, la frecuencia de lluvias es 65/86=0.76    Si A=“Llueve” y B=“Vientos del Este”, estimaríamos entonces que, aproximadamente (en el sentido que las frecuencias observadas sobre muchos días son aproximaciones de las probabilidades),  P(A)=0.11, P(A/B)=0.76 Observar que, aproximadamente: P(AB)=65/990, P(B)= 86/990 y por lo tanto P(AB)/P(B)=65/86=P(A/B) P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

P(A/B)=P(A), o, equivalentemente, si No es ninguna casualidad, en general se define la probabilidad condicional por P(A/B)= P(AB)/P(B) Observar también que en el ejemplo anterior, uno tendería a decir que los vientos del Este aumentan la probabilidad de lluvias, ya que es más probable que llueva un día con vientos del este que en un día cualquiera (P(A/B)>P(A)) Esto tampoco es casualidad, se define que dos sucesos A y B son independientes si P(A/B)=P(A), o, equivalentemente, si P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

P(A)P(B)= P(AB) Intuitivamente, A y B son independientes cuando la información de que uno de los sucesos ocurre (o de que no ocurre) es absolutamente irrelevante para el otro suceso a quien no le afecta sus chances de ocurrir. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

P(A/Bc)=0, 1- P(A/B)=1-1/3=2/3. Cuidado!!! ·      P(A/B) tiene todas las propiedades de una probabilidad al variar el conjunto A, pero no al variar el conjunto B.   Por ejemplo, siempre se cumple que P(Ac/B)= 1- P(A/B),  pero no tiene por qué ocurrir que  P(A/Bc)= 1- P(A/B); En efecto, si en el lanzamiento de un dado equilibrado A= “sale un 6”, B=“sale un nro. par”, entonces P(A/Bc)=0, 1- P(A/B)=1-1/3=2/3.  ·     No confundir independencia e incompatibilidad; dos eventos incompatibles NO son independientes. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Break: Andrei Nikolaievich Kolmogorov P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Teorema de Bayes (Inversión de Probabilidades Condicionales): Si B1,...,Bk son sucesos incompatibles (cualquier par de estos eventos que se consideren tienen intersección vacía) y además la unión de todos ellos tiene probabilidad 1, y si A es un sucesos con P(A) > 0, entonces para cualquier m entre 1 y k se tiene que: P(Bm /A) = P(A/Bm )P(Bm )/( 1jk P(A/Bj )P(Bj )) P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Ejemplo novelesco: “Hijo!!! Soy tu madre!!!!!” En una población animal, distintos tipos de progenitores tienen distintas probabilidades de dar lugar a un descendiente con determinada característica genética C. Los progenitores de tipo I tienen una probabilidad 0.10 de producir un tal descendiente, los progenitores de tipo II tienen una probabilidad 0.15 de producirlo y los de tipo III, tienen probabilidad 0.20. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

En la población de marras, los distintos tipos de progenitores se presentan con las siguientes frecuencias:   tipo I, 0.90 tipo II, 0.08 tipo III, 0.02   Si se observa un individuo portador de la característica C en dicha población ¿ de qué tipo de progenitor es más probable que provenga?     P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Aplicando la fórmula de Bayes, llamando A al suceso “descendiente con característica C” y Bj al suceso “progenitores de tipo j”, resulta que P(B1 /A)= (0.10 x 0.90)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02) =0.85;   P(B2 /A)= (0.15x0.08)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02) =0.11; P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

P(B3 /A)= (0.20x0.02)/ (0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02) =0.04;   Respuesta: lo más probable es que sus progenitores sean del tipo I!! P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Atenti!!! P(ABC)=P(A) P(B) P(C), P(AB)=P(A) P(B), P(BC)=P(B) P(C),   Debe observarse que 3 sucesos A, B y C son independientes si y sólo si se cumplen todas las siguientes ecuaciones: Y no alcanza con las tres últimas ecuaciones, es decir, tres sucesos A, B, C pueden ser independientes de a pares ( A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes) pero no ser independientes si al juntar dos sucesos se obtiene información relevante sobre el tercer evento.   P(ABC)=P(A) P(B) P(C), P(AB)=P(A) P(B), P(BC)=P(B) P(C), P(AC)=P(A) P(C)  P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

P(AB)= P(BC)= P(AC)=1/36 Ejemplo:   Si lanzamos de manera independiente dos dados equilibrados, uno de color rojo y otro de color azul y consideramos los sucesos A= “En el dado rojo sale un seis” B= “En el dado azul sale un uno” C= “La suma de los dos dados da siete” Entonces P(A)= P(B) =P(C)= 1/6 P(AB)= P(BC)= P(AC)=1/36 ( por lo que A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes) Pero  P(ABC)=1/36 (de hecho ABC= AB) (por lo que A, B y C no son independientes) P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Ejemplo en un control de calidad por atributos Ejemplo en un control de calidad por atributos.   De un lote industrial de N artículos elegimos al azar (equiprobabilidad) n artículos a los que estudiaremos para saber si portan un cierto defecto. El objetivo del estudio es estimar la proporción de defectuosos en la población, es decir que P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Si D = cantidad de defectuosos en el lote, queremos estimar p=D/N    Podemos muestrear: a) sin reposición (más natural)   b) con reposición (más simples los cálculos)   W es el conjunto de muestras que son posibles y es distinto en a) que en b), ya que en a) no puede haber artículos repetidos en la muestra y en b) sí. Llamemos X(w)= número de defectuosos en la muestra w y calculemos su FD. P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

a) Caso sin reposición:   a) Caso sin reposición: Valores posibles k entero y Max(0, n-(N-D))≤ k ≤Min(n, D)   Se dice que X tiene distribución Hipergeométrica de parámetros n, N y D.   P(X=k)= CkD C(n-k)(N-D) /CnN P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

b) Caso con reposición:   b)           Caso con reposición: Valores posibles: k entero y 0≤ k ≤n   P(X=k) = Ckn pk (1-p)n-k P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

Se dice que X tiene distribución Binomial de parámetros n y p (Para n=1, se llama Bernoulli) P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera

¿¿ En qué se relacionan el caso con y sin reposición?? Puede demostrarse que si n (tamaño de la muestra) es mucho menor que N (tamaño de la población) (por ejemplo, N=1 300 000, n=2500), entonces las fórmulas del caso con reposición son una buena aproximación del caso sin reposición (Aproximación de la Hipergeométrica por la Binomial) P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera