Integracion de sistemas de ecuaciones

Contenido Integracion de sistemas de primer orden Modelos matematicos de sistemas Integracion de sistemas de ecuaciones lineales

Integracion de sistemas de primer orden

Integracion de sistemas de primer orden Problema: encontrar la trayectoria del estado del sistema de primer orden Es posible usar los metodos de Euler o trapezoidal

Integracion de sistemas de primer orden: Euler explicito Aproximacion del sistema continuo usando Euler explicito: T = step size

Integracion de sistemas de primer orden: Euler implicito Aproximacion del sistema continuo usando Euler implicito: Notese que xA(n+1) aparece a ambos lados de la ecuacion

Integracion de sistemas de primer orden: Euler implicito En el caso de un sistema lineal la solucion es sencilla Luego,

Modelo de simulacion de un sistema continuo de primer orden El diagrama de simulacion representa la dinamica del sistema continuo como una conexion de bloques algebraicos e integradores

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden La ecuacion de diferencias del integrador discreto depende del integrador seleccionado para aproximar el integrador continuo

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden Integrator de Euler explicito

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden Integrator de Euler implicito

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden Integrator Trapezoidal

Ejercicio: un tanque dentro del agua La velocidad de caida de un objeto dentro del agua se desribe con la ecuacion W : peso del objeto, 350 lbs c : coeficiente de arrastre, 0.8 lb/(ft/sec) FB : Fuerza de flotacion, 275 lbs g : gravedad, 32.2 ft/sec2

Ejercicio: un tanque dentro del agua La velocidad de caida de un objeto dentro del agua se desribe con la ecuacion Solucion exacta

Ejemplo: un tanque dentro del agua Implementar un modelo de simulacion del sistema Hallar la velocidad aproximada Hallar la velocidad verdadera y compare con la aproximada Si el barril impacta el fondo del oceano, 1 milla por debajo de la superficie, a una velocidad mayor que 60 mph se rompe. Comentar la posibilidad de que esto ocurra.

Modelos matematicos de sistemas

Modelos matematicos de sistemas Algunas veces los modelos matematicos tienen la forma

Modelos matematicos de sistemas Otras veces los modelos matematicos tienen la forma

Modelos matematicos de sistemas Sin embargo, siempre es posible convertir un sistema de orden n en n ecuaciones de primer orden

Ejemplo de un sistema de segundo orden Sistema de segundo orden original Sistema de primer orden equivalente

Ejercicio Convertir el modelo de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden

Ejemplos en Matlab

Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones desde t = 0 hasta t = 1 con un paso de integracion de 0.5

Funcion del integrador por el metodo de Euler

Solucion del sistema de ecuaciones function f = example(t,y) % dy1/dt = f1 = -0.5 y1 % dy2/dt = f2 = 4 - 0.1*y1 - 0.3*y2 % let y(1) = y1, y(2) = y2 % tspan = [0 1] % initial conditions y0 = [4, 6] f1 = -0.5*y(1); f2 = 4 - 0.1*y(1) - 0.3*y(2); f = [f1, f2]'; (h = 0.5) >> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.5); (h = 0.2) >> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.2);

Ejemplo 2: Caso no lineal Resolver la ecuacion del pendulo dado por el siguiente sistema de ecuaciones en t = [0, 15]

Ejemplo 2: El pendulo function f = pendulum(t,y) % nonlinear pendulum d^2y/dt^2 + 0.3dy/dt = -sin(y) % convert to two first-order ODEs % dy1/dt = f1 = y2 % dy2/dt = f2 = -0.1*y2 - sin(y1) % let y(1) = y1, y(2) = y2 % tspan = [0 15] % initial conditions y0 = [pi/2, 0] f1 = y(2); f2 = -0.3*y(2) - sin(y(1)); f = [f1, f2]';

Nonlinear Pendulum n = 100 n = 200 n = 500 n = 1000 » [t,y1]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/100); » [t,y2]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/200); » [t,y3]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/500); » [t,y4]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/1000); » H=plot(t1,y1(:,1),t2,y2(:,1),t3,y3(:,1),t4,y4(:,1)) n = 100 n = 200 n = 500 n = 1000 Nonlinear Pendulum

Ejercicio: Paracaidista Segunda ley de Newton F = ma = Fdown - Fup = mg - cdv2 (gravedad menos resistencia del aire)

Paracaidista: un sistema de segundo orden Velocidad y posicion de la caida de un paracaidista Solucion exacta

Ejercicio: Paracaidista Hallar la solucion aproximada Comparar la solucion verdadera con la aproximada Implementar un modelo en simulink del sistema.

Integracion de sistemas de ecuaciones lineales

Ecuaciones de estado de sistemas lineales Problema: Dadas las ecuaciones de estado lineales Encontrar el modelo de simulacion aproximado

Modelo aproximado: Euler explicito

Modelo aproximado: Euler implicito Mas calculo que en el caso explicito porque es necesario invertir la matriz (I – TA)

Modelo aproximado: Trapezoidal Mas calculo que en el caso Euler implicito

Ejercicios Estudiar del documento de Klee Ejercicio 3.5.3 Caso de estudio – Ascenso vertical de un buzo 3.5.3. Rework Example 5.1 using forward Euler integration. Begin with an initial step size T = 1 sec and continue doubling T until an optimal choice is obtained. Specify the stop condition used to identify when the optimal value of T is obtained. 3.6.1. A mass is suspended from a stationary support by a spring as shown in Figure P1. The mass is displaced from its equilibrium position and released with zero velocity. The continuous model of the system is m􀀅x􀀅+ kx = 0 .

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.