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 ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?  ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un corte de ruta cuando voy a clase?  Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el concepto de probabilidad.  La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.  En este capítulo vamos a: › Definir probabilidad. › Reglas de cálculo. › Teorema de Bayes 2

3 Surge de preguntarse cómo repartir el dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de finalizarlo????? Blaise Pascal Fermat

 Determinísticos 4 Aleatorios AZAR

Se arroja un dado : Si observamos su cara superior, el conjunto de resultados posibles es Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 5

 Ejemplo 2:Se arrojan dos dados y se observa la suma de sus caras. 6 Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

7 Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC,..., X..XC,.... }

8 = {(x,y)/ x = 1, 2.. 6, y = 1, } Ω Ω A = {(x,y) / x + y = 5 } A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} A

9 E espacio muestral A A’ Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestra (Ω). Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados. Se llama suceso complementario de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A

10 E espacio muestral A B Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). E espacio muestral A B UNIÓN Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B E espacio muestral A B INTERSEC.

11 Espacio muestra equiprobable # (cardinal de ) a la cantidad de resultados posibles del experimento cada resultado posible tiene una probabilidad de 1/# Ω de ocurrir. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD. Sea A un subconjunto de, Ω, simbolizando con #A al cardinal de A que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el cociente:

12 PROPIEDAD 10 ≤P(A) ≤ 1 Como 0 ≤ #A ≤ # Ω PROPIEDAD 2 Como #  = 0 P(  )= 0 PROPIEDAD 3P( Ω ) =1 Ya que P( Ω ) =

13 PROPIEDAD 4 P (A  B) = P(A) + P(B), si A  B =  Si A  B =, entonces #(A  B) = #A + #B. PROPIEDAD 5 P (A  B) = P(A) + P(B)- P(A  B) si A  B ≠  PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A) A A’ A B A B

14 DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD. Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del experimento. Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del suceso A. Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones del experimento.

nfhnf h 1060, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 15

16 P (A  B) = P(A) + P(B), si A  B =  P (A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C), si A  B  C =  Sucesos Excluyentes Sucesos No Excluyentes P (A  B) = P(A) + P(B)- P(A  B)

17 Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B : E espacio muestral A B

18 B A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,10 B A ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,08

19 A B A B ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0

 Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico: › A indep. B  P(A|B) = P(A)  Dicho de otra forma: › A indep. B  P(AB) = P(A) P(B) 20

21 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Son una colección de sucesos A 1, A 2, A 3, A 4 … Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A4A4 A2A2 A1A1

22 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A 1 ) U (B∩A 2 ) U ( B∩A 3 ) U ( B∩A 4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.. A3A3 A4A4 A2A2 A1A1

23 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + … A3A3 A4A4 A2A2 A1A1

› P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% Tema 4: Probabilidad 24 Mujeres Varones fumadores T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos T. Bayes ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% ¿Se elije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

25 Estudiante Mujer No fuma Hombre Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

26 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada A i. P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) =P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + … A3A3 A4A4 A2A2 A1A1