Matemáticas III CSH M. en C. Gal Vargas Neri

Planeación del curso TEMA CONCEPTO DÍAS SEM FECHA INICIO/ FIN TEMA 0 MOTIVACION Y PLANEACION 3 1 17/21 ENE TEMA I FUNCIONES 6 2/3 24/04 FEB Primer Evaluación 7/FEB TEMA II CALCULO DIFERENCIAL 7 4/6 9/25 FEB Segunda Evaluación periódica 28/FEB TEMA III OPTIMIZACION 7-9 2/16 MAR Tercera 9 18/ MAR TEMA IV OPTIMIZACION CON RESTRICIONES 10/11 23/01 ABR Cuarta 11 01/ABR Evaluación GLOBAL EG 06/ABR

TEMARIO DE MATEMATICAS II CSH   TEMA II CALCULO DIFERENCIA (16 Hrs.) Antecedentes Razones de cambio respecto a una variable Concepto de derivada parcial Interpretación económica de la derivada parcial Reglas de derivación Pendiente de una curva de nivel Derivación implícita Derivadas parciales de segundo orden Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas

Razones de cambio respecto a una variable Dada una función f : (a, b) → IR, el cociente f(x + h) − f(x) h representa la tasa de variación media de la función en el intervalo [x, x + h] ⊆ (a, b) y proporciona una primera idea de la rapidez con que la función crece o decrece, aunque no es lo suficientemente precisa.

Razones de cambio respecto a una variable Cuando queremos estudiar la variación instantánea en un punto cualquiera xₒ, basta tomar los intervalos [xₒ, xₒ + h] cada vez mas pequeños; es decir, hacer que h se aproxime a cero. Así la tasa de variación instantánea es Lim f(xₒ + h) − f(xₒ) h→0 h

Razones de cambio respecto a una variable Definición Sea f : (a, b) → IR Sea xₒ ∈ (a, b), la derivada de f en xₒ viene dada por si este limite existe.

Razones de cambio respecto a una variable Interpretación geométrica Sea f una función real definida en un intervalo I y consideremos P = (xₒ, f(xₒ)) y Q = (x0 + h, f(x0 + h)) dos puntos de su grafica. La pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es

Razones de cambio respecto a una variable Si f es continua, podemos hacer que Q se aproxime a P haciendo que h tienda a 0 y entonces las rectas secantes se acercan a la tangente. Cuando esto ocurre, la pendiente de las rectas secantes se aproximan a la pendiente de la recta tangente. Tomando limite cuando h tiende a 0, la expresión es la pendiente de la recta tangente.

Razones de cambio respecto a una variable si una función f es derivable en un punto xₒ, la recta tangente a la grafica de f en el punto (xₒ, f(xₒ)) tiene pendiente f (xₒ).

Derivadas parciales. Recordemos que la gráfica de representa una superficie S . Si , entonces el punto está sobre la superficie S. El plano vertical y = b interseca a la superficie S en la curva C¹ (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano y = b).

Derivadas parciales. Observe que la curva C¹ es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto P es Se llama la “derivada parcial” de f con respecto a x.

Se llama la “derivada parcial” de f con respecto a y. Derivadas parciales. De manera similar, la curva es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto es P Se llama la “derivada parcial” de f con respecto a y.  

Derivadas parciales. Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si , entonces representa la razón de cambio de z con respecto a x , cuando y permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio de z con respecto a y , cuando x permanece fija.  

Derivadas parciales. Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide y el plano y = 1 , cuando x = ½ .  

Derivadas parciales. Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por con lo cual, la recta es : pero pasa por el punto y así  

Derivadas parciales. Solución En la figura se muestra la recta tangente y la parábola Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son: La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.  

Derivadas parciales. Solución La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura.

Derivadas parciales. Ejemplo 2 El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse en el punto (1,2,2)

Derivadas parciales. Solución

Derivadas parciales. Solución

Derivadas parciales. Solución

Interpretación económica de la derivada parcial

Interpretación económica de la derivada parcial Recordemos la función de Producción Cobb-Douglas Donde A es una constante positiva, A>0, L y K son las unidades de factor trabajo y factor capital empleadas, α, β ∈ R / α, β >0. El dominio en sentido económico se puede demostrar que es un cono: DQ = {(K,L) ∈ R2 / K ≥ 0; L ≥ 0}. Es homogénea de grado (α+β) Refleja: Rendimientos constantes a escala si (α+β)=1. Rendimientos crecientes a escala si (α+β)>1. Rendimientos decrecientes a escala si (α+β)<1.

Interpretación económica de la derivada parcial Recordemos también que en las función de Producción Cobb-Douglas Se define una Isocuanta como las combinaciones de K y L que proporcionan un nivel de producción igual a C. es decir Q(K,L)= C. Ejemplo:

Interpretación económica de la derivada parcial Ejemplo: A propósito de la función La isocuanta de f(x,y) = 60 Nos da como resultado la función f(x)= y = 8000/x² En esta curva de pendiente decreciente, vemos que cuando se incrementa la utilización de un factor de producción, se decrementa el otro para estar compensados.

Interpretación económica de la derivada parcial La pendiente f(x)= y = 8000/x² Puede ser interpretada como el cambio en la utilización de segundo factor causado por el incremento en una unidad en el primero. Lo negativo de la pendiente, nos dice que la tasa a la cual un factor debe ser sustituido por otro, deja invariable la producción.

Interpretación económica de la derivada parcial Llamaremos a La tasa (o rata) marginal de sustitución entre los dos factores. Ejemplo: Calcule la tasa marginal de sustitución para la funcion Cobb-Douglass, en el punto (20,20)

Interpretación económica de la derivada parcial Solución: El la figura tenemos el punto (20,20) de la isocuanta f(x , y) = 60. Ademas Sustituyendo x = 20 La pendiente nos da igual a -2 por lo tanto la tasa marginal de sustitución es 2 Lo que significa que un incremento en el primer factor de 20 a 21 debe ser compensado por aproximadamente 2 unidades de decrecimiento en el segundo factor.

Interpretación económica de la derivada parcial Artículos sustitutos y complementarios: ARTUCULOS SUSTITUTOS Se dice que dos artículos son SUSTITUTOS, si el decremento en la demanda de uno produce un incremento en la demande del otro. Ejemplos: Café y té, coca cola y pepsicola, mantequilla y margarina… ARTUCULOS COMPLEMENTARIOS Se dice que dos artículos son COMPLEMENTARIOS, si un decremento en la demanda de uno produce un decremento en la demanda del otro. Ejemplos: Automóviles y neumáticos, cámaras y películas, pollo rosatizado y papas

Interpretación económica de la derivada parcial Artículos sustitutos y complementarios: Dos artículos A y B Supongamos que las ecuaciones que relacionan las cantidades demandadas x e y, con los precios p y q de estos artículos esta dada por: x= f(p,q) y= g(p,q) Criterio: Son sustitutos si: δf/δq > 0 y δg/δp >0 Son complementarios si: δf/δq < 0 y δg/δp <0

Interpretación económica de la derivada parcial Artículos sustitutos y complementarios: Ejemplo: Suponga que la demanda diaria de mantequilla esta dada por: f(p,q)= 3q/(1+p²) Y la demanda diaria de margarina esta dada por: g(p,q)=2p/(1+√q) (p<0, q<0) Investigue si estos artículos son sustitutos, complementarios o ninguna de estas opciones:

Interpretación económica de la derivada parcial Artículos sustitutos y complementarios: Solución: Calculamos δf/δq y δg/δp δf/δq = 3/(1+p²) δg/δp =2/(1+√q) Para p y q positivas, ambas derivadas son positivas por tanto los productos son SUSTITUTOS.

Reglas de derivación

Formulas de diferenciación Derivada de una constante Derivada de x Derivada de función afín Derivada de una potencia Derivada de una raíz cuadrada Derivada de una raíz Derivada de suma

Formulas de diferenciación Derivada de una constante por una función Derivada de un producto Derivada de constante partida por una función Derivada de un cociente Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base e

Formulas de diferenciación Regla de la cadena Fórmula de derivada implícita

Derivada de la función Implícita Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Derivada de la función Implícita Diferenciación Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: . Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Derivada de la función Implícita Ejemplo Obtener la derivada de: El término 6x2y Se puede considerar que son dos funciones, 6x2 y y por lo que se derivara como un producto: El término 5y3 se deriva como: El término 3x2 se deriva de forma normal como: El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante. Para el término x2y2 se puede considerar como un producto y se deriva como:

Derivada de la función Implícita Al unir todos los términos se obtiene: Ordenando Agrupando los valores se obtiene: Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:

Derivadas parciales de segundo orden

Derivadas parciales de segundo orden Si f es una función de dos variables x e y , entonces sus derivadas parciales f´ᵪ y f´ᵧ también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales y las cuales se llaman segundas derivadas parciales de

Derivadas parciales de segundo orden Es común utilizar la siguiente notación:

Derivadas parciales de segundo orden La notación o significa que primero derivamos con respecto a x y luego con respecto a y mientras que para calcular el orden se invierte.

Derivadas parciales de segundo orden Ejemplos: Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones: a) b)

Derivadas parciales de segundo orden Solución: a) Calculamos las primeras derivadas: Calculamos las segundas derivadas:

Derivadas parciales de segundo orden Solución: b) Calculamos las primeras derivadas: Calculamos las segundas derivadas:

Derivadas parciales de segundo orden Ejemplos: 2.- La producción de un país es descrita mediante la funcion Cobb-Douglass, donde utiliza x unidades de mano de obra e y unidades de capital: ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital cuando los gastos respectivos son 125 y 8 unidades? ¿El gobierno debería alentar la inversión de capital en vez del gasto en mano de obra para incrementar la productividad del país?

Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas DEFINICION DE GRADIENTE: Sea una función escalar de dos variables, entonces el gradiente de es la función vectorial definida por Observación: si f es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por

Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas Sea f: D ⊆ Rⁿ → R una función homogénea de grado r, cuyo dominio es un cono abierto y, además, f ∈ C¹ (D). Entonces se verifica para cada punto x ∈ D la siguiente igualdad: r f(x) = ∇f(x) x , :

Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas Teorema de Euler y teoría de la distribución Dada una función de producción Q(K,L) se llama productividad marginal de los factores trabajo y capital a los valores de las derivadas parciales Según la teoría marginalista, en régimen de competencia perfecta, el equilibrio en los mercados se alcanza cuando se retribuye a los factores de acuerdo con sus productividades marginales. La remuneración global de los factores trabajo y capital será entonces: .

Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas Si la función de producción Q(K,L) es homogénea de grado r, el Teorema de Euler establece que:

Teorema de Euler y sus aplicaciones económicas Así pues, se tiene que con esta retribución: Si r = 1, (rendimientos constantes a escala) la remuneración total de los diversos factores es igual (agota) a la producción alcanzada. Si r > 1, (rendimientos crecientes a escala) la producción no alcanza para remunerar a todos los factores (rQ >Q). - Si r < 1, (rendimientos decrecientes a escala) la producción supera la remuneración de todos los factores, quedando parte del producto sin distribuir (rQ < Q).

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