LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA UNIDAD 13 Ejercicios Resueltos

OBJETIVOS OBJETIVO

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

C(h, k) = punto medio de Radio = distancia de C a A Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2) C(h, k) = punto medio de Radio = distancia de C a A

Cont…ejercicio resuelto 1 Ecuación de la circunferencia:

Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k): C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:

Cont…..ejercicio resuelto 2. Se resuelven las ecuaciones (1) y (2) simultáneas:

Cont…..ejercicio resuelto 2. La ecuación de la circunferencia es o, en la forma general,

Ver la siguiente figura 3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. Ver la siguiente figura

Cont….ejercicio resuelto 3 Ecuación de la bisectriz (1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2: Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:

Cont…..ejercicio resuelto 3 Con estas dos bisectrices se encuentra el punto donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k): De la bisectriz (2): En la bisectriz (1): El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3: La ecuación de la circunferencia es: = Índice

Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.

Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un punto o ningún lugar geométrico real. 1. Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real. 2. Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.

Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3): De (4): 3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4). Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3): De (4):

Cont….ejercicio resuelto 3 De (5): Sustituyendo h: El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2) En (1): Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es: Índice

Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene: Vértice en (0, 0) Foco en Directriz Eje de la parábola y = 0 Lado recto

Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y Eje horizontal → El punto (3, –5) pertenece a la parábola → El punto pertenece a la parábola → V(h, k) pertenece a la recta →

Cont….ejercicio resuelto 2 Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se debe resolver el sistema de ecuaciones: en el que dos de las ecuaciones son de segundo grado. Al restar una de otra se pueden eliminar los términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:

Cont……..ejercicio resuelto 2. En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:

Cont….ejercicio resuelto 2. Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda:

Cont….ejercicio resueltos 2. Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas: k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación: L Ecuación:

Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base. Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)

Cont….ejercicio resuelto 3. La ecuación es de la forma: La curva pasa por (12, 0), de modo que Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8m del centro: Altura: 10m Índice

Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.

Determina el lugar geométrico que representa la ecuación En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es: de modo que el vértice es: Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y. Índice