Formulación Hamiltoniana para un sistema no conservativo Elizabeth Galindo Linares Asesor: Dr. Gerardo F. Torres del Castillo CAP - marzo 2010

Contenido Resumen Objetivo Antecedentes Trabajo actual Bibliografía Helmholtz Douglas Pardo Torres y Rubalcava Trabajo actual Bibliografía CAP - marzo 2010

Resumen Se busca al menos una expresión hamiltoniana clásica que reproduzca a un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. CAP - marzo 2010

Objetivo Comprobar que todo sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE’s) de primer orden, puede escribirse en forma Hamiltoniana. CAP - marzo 2010

Antecedentes (1) H. Helmholtz (1887) CAP - marzo 2010

Antecedentes (1a) Condiciones de Helmholtz CAP - marzo 2010

Antecedentes (2) Douglas Buscar la función lagrangiana para el sistema de ecuaciones anterior Las derivadas temporales de primer término son cero, por lo tanto las G’s son constantes de movimiento. CAP - marzo 2010

Antecedentes (3) Pardo CAP - marzo 2010

A L T O Si no existe una lagrangiana que dependa de las coordenadas o simplemente no existe una lagrangiana. ¿Puede existir al menos una expresión Hamiltoniana? CAP - marzo 2010

Formulación hamiltoniana Vs. lagrangiana Más amplia: Independencia entre coordenadas y momentos generalizados. Posibilidad de mezclar las variables de maneras infinitas. Lagrangiana natural (Arnold). CAP - marzo 2010

Antecedentes (4) Torres del Castillo y Rubalcava (2006) CAP - marzo 2010

Antecedentes (4a) Por una parte se toma a g y h como funciones de las variables canónicas, por otra parte x y y son las variables de las funciones g y h; entonces, es posible considerar la forma diferencial CAP - marzo 2010

Antecedentes (4b) Por otra parte: la ecuación del jacobiano que relaciona a las variables (x, y) con (q,p) y la diferencial de la hamiltoniana es CAP - marzo 2010

Antecedentes (4c) Entonces, además se definen como las derivadas parciales temporales de “y” y “x” respectivamente. CAP - marzo 2010

Antecedentes (4d) Por simplicidad se elige a la transformación canónica q=x, por lo cual el jacobiano se reduce a donde Especificando los momentos canónicos y reescribiendo dp y dy, se tiene CAP - marzo 2010

Ejemplo Oscilador Armónico (1) Masa m conectada a un resorte de constante k. La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte La energía cinética T y la energía potencial U son La Lagrangiana natural del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es CAP - marzo 2010

Ejemplo: 1 2 Usando 1- Fza. elástica 2- Fza. de rozamiento CAP - marzo 2010

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Trabajo en proceso Encontrar al menos una expresión H equivalente a las ecuaciones de movimiento. ¿Cuáles son las restricciones para que exista a lo menos una hamiltoniana? Primero: usando campos vectoriales que representan el sistema de ODE’s. CAP - marzo 2010

Trabajo en proceso Partiendo de las ecuaciones de mov. de Hamilton A Tomando a p y q coordenadas locales de una variedad diferenciable. Se toma a Presenta 2n integrales funcionalmente independientes CAP - marzo 2010

Trabajo en proceso Procedimiento: Escribir x’’ en su análogo sistema de x’1 y x’2. Se comprueba que el sistema no cumple las condiciones de Helmholtz. Se obtiene un conjunto de primeras integrales funcionalmente independientes. CAP - marzo 2010

Bibliografía Douglas, J. (1941), Trans. Amer. Math. Soc. 50, 71. Arnold, V.I. (1978), Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag, New York. Helmholtz, H. (1887), Journal für die reine und angewandte Mathematik, Berlin, 100, 137. Pardo, F. (1989), J. Math. Phys. 30, 2054-2061. Torres del Castillo, G.F. and Rubalcava García, I. (2006), Rev. Mex. Fís. 52, 429. Torres del Castillo, G.F. (2009), J. Phys. A, Math. and Theor. 42, 265202. CAP - marzo 2010

Por su atención, gracias. CAP - marzo 2010

Anexos Trabajando adecuadamente con las ecuaciones: Haciendo cambio de variables se puede reducir a ecuaciones independientes. Así podrá encontrarse la solución general del sistema. Es decir, se hizo una transformación lineal de las coordenadas que convierten el sistema de ecuaciones diferenciales en ecuaciones desacopladas en las nuevas variables. Torres del Castillo demuestra que la descomposición es posible en sistemas bidimensionales acoplados linealmente. CAP - marzo 2010

Ejemplo Oscilador Armónico (2) La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es La amplitud A del movimiento y la fase f dependen de las con-diciones iniciales del sistema Para w = 1/s, A = 1m y f = p/2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2p s CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1) Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir de un potencial escalar): El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento. T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto I se conoce como la acción o integral de acción CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2) El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas Este es un problema variacional CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3) En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Los momentos generali-zados se definen como CAP - marzo 2010

Ventajas de la Formulación Variacional Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas. El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo. Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica CAP - marzo 2010

Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva) Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría CAP - marzo 2010

Otros ejemplos Péndulo Simple Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy La coordenada generalizada es el ángulo q de l con respecto al eje y La energía cinética T y la energía potencial U son El Lagrangiano del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico CAP - marzo 2010

Otras Áreas de la Física Teoría de Campos La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos. Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc… CAP - marzo 2010