Tema 2: Representación de la información v 3.0 Contenido Sistemas numéricos Sistemas de numeración y cambio de base Aritmética binaria Sistemas de codificación y representación de los números Codificación binaria Representación binaria de datos e instrucciones Características de los espacios de representación Aspectos de los sistemas de representación Sistemas alfanuméricos Características de los códigos Principales sistemas d codificación Códigos redundantes Códigos detectores Códigos correctores

1. Sistemas numéricos 1/24 Sistemas de numeración y cambio de base Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras Ejemplos: b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} b = 2 (binario) {0,1} El número se expresa mediante una secuencia de cifras: N  ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ... El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia

1. Sistemas numéricos 2/24 Sistemas de numeración y cambio de base 2/4 El valor del número se calcula mediante el polinomio: N  ...+ n3·b3 + n2·b2 + n1·b1 +n0· b0 +n-1·b-1 ... Ejemplos: 3278,5210 = 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101 + + 8 · 100 + 5 · 10-1 + 2 · 10-2 175,3728 = 1· 82 + 7 · 81 + 5 · 80 + 3 · 8-1 + + 7 · 8-2 + 2 · 8-3 = 125,488281210

1. Sistemas numéricos 3/24 Conversión decimal - base b Sistemas de numeración y cambio de base 3/4 Conversión decimal - base b Método de divisiones sucesivas entre la base b Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b. Consideración de restos mayores que 9 y Error de truncamiento Ejemplos: 2610 = 110102 0,187510 = 0,00112 26,187510 = 11010,00112

1. Sistemas numéricos 4/24 Sistemas de numeración y cambio de base 4/4 Rango de representación: Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar bn combinaciones distintas. [0..bn-1] Sistema de numeración en base dos o binario Decimal Binario b = 2 (binario) {0,1} 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Números binarios del 0 al 7 Ejemplos: 1101002 = (1· 25) + (1· 24) + (1 · 22) = = 25 + 24 + 22 = 32 + 16 + 4 = 5210 0,101002 = 2-1 + 2-3 = (1/2) + (1/8) = 0,62510 10100,0012 = 24 + 22 + 2-3 = 16 + 4 +(1/8) = 20,12510

1. Sistemas numéricos 5/24 Aritmética binaria Operaciones básicas A B 1 0 (1) A B A*B 1 A B A – B 1 1 (1) A B A/B -- 1

1. Sistemas numéricos 6/24 Ejemplos Sumas y restas Multiplicaciones Aritmética binaria 2/2 Ejemplos Sumas y restas Multiplicaciones División

1. Sistemas numéricos 7/24 Sistemas de codificación y representación de números Octal b = 8 (octal) {0,1,2,3,4,5,6,7} Correspondencia con el binario 8 = 23  Una cifra en octal corresponde a 3 binarias Ejemplos 10001101100.110102 = 2154.648 537.248 = 101011111.0101002 Conversión Decimal - Octal 760.3310  1370.25078

1. Sistemas numéricos 8/24 Hexadecimal b = 16 (hexadecimal) Sistemas de representación y codificación de números 2/18 Hexadecimal b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,} Correspondencia con el binario 16 = 24  Una cifra en hexadecimal corresponde a 4 binarias Hexadecimal Decimal Binario 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111

1. Sistemas numéricos 9/24 Ejemplos 10010111011111.10111012 = 25DF.BAH Sistemas de representación y codificación de números 3/18 Ejemplos 10010111011111.10111012 = 25DF.BAH Conversión Decimal - Hexadecimal 4373.7910  1115.CA3D16 273 5 53 117 4373 17 113 16 1

1. Sistemas numéricos 10/24 Código Gray Sistemas de representación y codificación de números 4/18 Código Gray Código no ponderado, contínuo y cíclico Basado en un sistema binario Dos números sucesivos sólo varían en un bit 2 bits 3 bits 4 bits Decimal 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 5 1 0 1 0 1 0 1 6 1 0 0 0 1 0 0 7 1 1 0 0 8 1 1 0 1 9 1 1 1 1 10 1 1 1 0 11 1 0 1 0 12 1 0 1 1 13 1 0 0 1 14 1 0 0 0 15

1. Sistemas numéricos 11/24 Conversión Binario - Gray Sistemas de representación y codificación de números 5/18 Conversión Binario - Gray A partir del primer bit sumamos el bit binario que queremos obtener con el de su izquierda 1 0 1 1 0 Binario ¯ 1 1 + 0 0 + 1 1 0 1 + 1 1 0 1 0 1 + 0 0 1 Gray Conversión Gray - Binario 1 1 0 1 1 + + + + 1 0 0 1 0

1. Sistemas numéricos 12/24 Código BCD - Binary Coded Decimal Sistemas de representación y codificación de números 6/18 Código BCD - Binary Coded Decimal Dígitos decimales codificados en binario BCD natural tiene pesos 8421 BCD Aiken tiene pesos 2421 Ejemplo 9 8 3 2 510 = 1001 1000 0011 0010 0101BCD-natural 9 8 3 2 510 = 1111 1110 0011 0010 1011BCD-Aiken

1. Sistemas numéricos 13/24 Representación de números enteros Sistemas de representación y codificación de números 7/18 Representación de números enteros Es necesario la representación del signo Se utiliza una cantidad determinada de bits (n) Signo y magnitud (SM) El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1) En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0 Doble representación del 0. n = 6 1010 = 001010SM -410 = 100100SM 010 = 000000SM 010 = 100000SM n = 4 -710 = 1111SM -1410 = no representable

1. Sistemas numéricos 14/24 Complemento a la base menos uno Sistemas de representación y codificación de números 8/18 Complemento a la base menos uno Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno. Convierte las restas en sumas. Doble representación del 0. Ejemplos Base 10 n = 3 -6310 = 936C9  936 = 999 - 63 -1610 = 983C9  983 = 999 - 16 -1610 = 9983C9  9983 = 9999 - 16 n = 4 Operación: 77 - 63 077C9 + 14 77 -63 936C9 (1)013 + 1 014C9

1. Sistemas numéricos 15/24 Base 2 Sistemas de representación y codificación de números 9/18 Base 2 Se intercambian ceros por unos y unos por ceros Rango : [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1] Ejemplos: 111111 - 010010 101101 n = 6 C1 de -100102 = 101101C1 C1 de -1001112 = no representable C1 de 0 = {000000C1 , 111111C1} Operación: 10001112 - 100102 Restando en binario natural Sumando en C1 (n=8)c 01000111C1 (1)00110100 11101101C1 + 1 00110101C1 10001112 - 00100102 01101012

1. Sistemas numéricos 16/24 Complemento a la base Sistemas de representación y codificación de números 10/18 Complemento a la base Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno y posteriormente sumar uno a la dicha cantidad Convierte las restas en sumas. Ejemplos Base 10 n = 3 -6310 = 937C10  937 = (999 - 63) + 1 -1610 = 984C10  984 = (999 - 16) + 1 -1610 = 9984C10  9984 = (9999 - 16) + 1 n = 4 Operación: 77 - 63 + 937 077 (1)014 El acarreo, si existe, no se considera

1. Sistemas numéricos 17/24 Base 2 Sistemas de representación y codificación de números 11/18 Base 2 Se intercambian los ceros y los unos y se suma uno Rango : [-2n-1, 2n-1 - 1] Ejemplos: n = 6 C2 de -100102 = 101110C2 111111 - 010010 101101C1 + 1 101101 101110C2 C2 de -11100102 = no representable Operación: 110012 - 100102 = 1112 011001C2 101110C2 (1)000111C2 + Operando en C2 (n=6) El acarreo no se considera

1. Sistemas numéricos 18/24 Representación sesgada Sistemas de representación y codificación de números 12/18 Representación sesgada La representación se obtiene sumando un sesgo o cantidad al valor del número El sesgo suele ser: 2n-1 Rango : [-2n-1, 2n-1 - 1] Ejemplos Base 2 n = 8  Sesgo = 28-1 = 12810 = 1000 00002 110102 = 10011010S - 110102 = 01100110S 02 = 1000 0000S n = 4  Sesgo = 24-1 = 810 = 10002 12 = 1001S -12 = 0111

1. Sistemas numéricos 19/24 Representación de los números reales Sistemas de representación y codificación de números 13/18 Representación de los números reales Representación en coma fija Representación en coma flotante N = (-1)s M · BE N  Valor numérico M  Mantisa s  signo B  Base E  Exponente Ejemplos: 1.234535 · 103 = 1234.535 · 100 = 0.1234535 · 104 = 123453.5 · 10-2 = 0.0001234535 · 107 Estándar IEEE 754 B = 2 Representación s e m n = ns + ne + nm ns : cantidad de bits para el signo ne : cantidad de bits para el exponente nm: cantidad de bits para la mantisa

1. Sistemas numéricos 20/24 Estándar IEEE 754 Campo de signo 0  + Sistemas de representación y codificación de números 14/18 Estándar IEEE 754 Campo de signo 0  + 1  - Campo del exponente Representación sesgada Sesgo S = 2ne-1-1 Ejemplos: ne = 8  S = 2ne-1-1 = 127 = 0111 1111

1. Sistemas numéricos 21/24 Estándar IEEE 754 Campo de mantisa Sistemas de representación y codificación de números 15/18 Estándar IEEE 754 Campo de mantisa Normalización 1  M < 2 M = [1.m] donde m es el valor que se almacena Ejemplos de normalización N1 = 1001.1100110 · 2-5 1.0011100110 · 2-2 N2 = 0.000001101101 · 234 1.101101 · 228 Ejercicio n = 16 bits ne = 8 bits N = 1001 1111 0001 1101 s = 1  N<0 e = 0011 1110  E = -65 m = 001 1101  M = 1.00111012 N = -1.2265625 · 2-65 = -3,32440346980633 · 10-20

1. Sistemas numéricos 22/24 Situaciones especiales Sistemas de representación y codificación de números 16/18 Situaciones especiales e = 0  mantisa denormalizada Sesgo = 2ne-1-2 E = e - S = -2ne-1 + 2 (e = 0)  (m = 0)  N = 0 (e = 11...1)  (m = 0)  N =  (e = 11...1)  (m  0)  N = NaN Redondeo Exceso, defecto, más cercano, al par Ejemplo redondeo al par

1. Sistemas numéricos |b| = Mmax2Emax Mmax = 2 - 2-nm Emax = 2ne-1-1 23/24 Sistemas de representación y codificación de números 17/18 Valores límite Números normalizados |b| = Mmax2Emax Mmax = 2 - 2-nm Emax = 2ne-1-1 Mmin = 1 |a| = Mmin2Emin Emin = -(2ne-1-2) Números denormalizados |a’| = M’min2E’min M’min = 2-nm E’min = -(2ne-1-2)

1. Sistemas numéricos 24/24 Valores límite Sistemas de representación y codificación de números 18/18 Valores límite Si |N| > |b|  desbordamiento a infinito OVERFLOW Si |N| < |a’|  desbordamiento a cero UNDERFLOW Precisión Simple precisión n = 32 bits, ne = 8 bits, nm = 23 bits Doble precisión n = 64 bits, ne = 11 bits, nm = 52 bits Doble precisión extendida n = 80 bits, ne = 15 bits, nm = 64 bits Consideraciones Números excesivamente pequeños Números excesivamente grandes Comparación de números

2. Codificación binaria 1/10 Representación binaria de datos e instrucciones Magnitudes Analógicas: toma valores continuos Digitales: toma un conjunto de valores discreto Ventajas sistemas digitales frente sistemas analógicos Más sencillos y económicos Más seguridad y precisión Fácil almacenamiento de la información Más resistentes al ruido e interferencias Posibilidad de tratar información no numérica Inconvenientes sistemas digitales frente sistemas analógicos La mayoría de las magnitudes físicas son de tipo analógico Necesidad de etapas CAD/CDA

2. Codificación binaria 2/10 Sistema digital binario Representación binaria de datos e instrucciones 2/2 Sistema digital binario Representación de las magnitudes en base 2 Estados de un interruptor [ENCENDIDO, APAGADO] Los dígitos {0, 1} corresponden con niveles de tensión eléctrica. 5 V Niveles lógicos de la familia tecnológica TTL Nivel alto 2,4 V 0,8 V Nivel bajo 0 V

2. Codificación binaria 3/10 Características de los espacios de representación Elementos que lo componen Condicionantes Cantidad de estados representables Cantidad de elementos representables Tamaños predefinidos en las unidades del computador Tamaños predefinidos en la comunicación entre unidades del computador Unidades de codificación BIT Byte = 8 bits Palabra 1 KiloByte (KB) = 210 Bytes = 1024 Bytes 1 MegaByte (MB) = 220 Bytes = 1024 KB 1 GigaByte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB 1 TeraByte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB 1 PetaByte (PB) = 250 Bytes = 1024 TB

2. Codificación binaria 4/10 Aspectos de los sistemas de codificación Coste de traducción Coste de almacenamiento Coste de procesamiento Robustez y tolerancia a fallos

3. Sistemas alfanuméricos 5/10 Características de los códigos Compuesta por caracteres Cantidad de bits dedicados a representar cada carácter Codificación de cada carácter Separación de cadenas Cadenas de longitud fija Cadenas de longitud variable

3. Sistemas alfanuméricos 6/10 Principales sistemas de codificación Código ASCII

3. Sistemas alfanuméricos 7/10 Principales sistemas de codificación 2/5 Código ASCII

3. Sistemas alfanuméricos 8/10 Principales sistemas de codificación 3/5 Código EBCDIC

3. Sistemas alfanuméricos 9/10 Principales sistemas de codificación 4/5 Código EBCDIC

3. Sistemas alfanuméricos 10/10 Principales sistemas de codificación 5/5 Consideración de los distintos alfabetos: griego, latín árabe, ... Estándar Unicode: emplea 2 bytes por carácter. Abarca los alfabetos de los idiomas escritos de América, Europa, Oriente Medio, África, India, Asia y el Pacífico Página de códigos especial Ejemplos: 862 hebreo 1251 cirílio

4. Códigos redundantes 1/7 Características de los códigos Objetivo: salvaguardar la información ante posibles errores Se añade una información adicional a cada dato Tipos: Códigos detectores Códigos correctores

4. Códigos redundantes 2/7 Códigos detectores Código de paridad Añade a cada dato un bit de paridad Permite detectar un error en un bit Paridad par, paridad impar ‘H’ 01001000 0 ‘O’ 01001111 1 ‘L’ 01001100 1 ‘A’ 01000001 0 Bit de paridad

4. Códigos redundantes 3/7 Códigos correctores Permiten detectar errores en más de un bit El código debe ser capaz de indicar los bits erróneos Ejemplos: Códigos de paridad múltiple Código Hamming Códigos polinomiales (CRC)

4. Códigos redundantes 4/7 Código Hamming Códigos correctores 1/4 Código Hamming Distancia Hamming entre dos vectores: es el número de bits en el que toman valores diferentes. Ej. Distancia Hamming 2 c1=0101 y c2 = 1100 Distancia de un código es la mínima distancia Hamming entre todas las posibles combinaciones distintas del código. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces podemos detectar errores que afecten a d-1 bit. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces es posible detectar y corregir los errores que afecten a t bits según la siguiente expresión: d = 2·t+1

4. Códigos redundantes 5/7 Ejemplos: Códigos correctores 2/4 Ejemplos: Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit. 0 0 0 0 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 2 0 0 1 0 10 1 0 1 0 3 0 0 1 1 11 1 0 1 1 4 0 1 0 0 12 1 1 0 0 5 0 1 0 1 13 1 1 0 1 6 0 1 1 0 14 1 1 1 0 7 0 1 1 1 15 1 1 1 1 Distancia del código: 1 No es posible detectar ni corregir ningún error en los bit.

4. Códigos redundantes 6/7 Ejemplos: Códigos correctores 3/4 Ejemplos: Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit con bit de paridad par. 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 10 1 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 11 1 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 12 1 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 14 1 1 1 0 1 7 0 1 1 1 1 15 1 1 1 1 0 Distancia del código: 2 Es posible detectar errores en un bit. No es posible corregir ningún error.

4. Códigos redundantes 7/7 Ejemplos: Códigos correctores 4/4 Ejemplos: Código Hamming de los 15 primeros números naturales p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 9 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 1 1 1 0 11 1 0 1 0 1 0 1 4 0 1 0 1 0 1 0 12 1 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 1 1 0 1 13 1 1 0 0 1 1 0 6 0 1 1 0 0 1 1 14 1 1 1 1 0 0 0 7 0 1 1 0 1 0 0 15 1 1 1 1 1 1 1 p1: paridad par de p3, p5 y p7 p2: paridad par de p3, p6 y p7 p4: paridad par de p5, p6 y p7 Distancia del código: 3 Es posible detectar errores en dos bit. Es posible corregir errores en un bit.