2010 IMPULSO, CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y CHOQUES CURSO: FISICA I optaciano Vásquez UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I IMPULSO, CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y CHOQUES AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 Optaciano Vasquez

I. OBJETIVOS Al finalizar esta unidad el alumno será capaz de: Optaciano Vasquez Al finalizar esta unidad el alumno será capaz de: Calcular el momento lineal de una partícula y el impulso de una fuerza. Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Aplicar el principio de conservación del momento lineal. Diferenciar los tipos de colisiones. Aplicar los principios de conservación de la energía y momento al estudio de las colisiones

I. INTRODUCCIÓN Optaciano Vasquez Si dos móviles colisionan ¿Qué es lo que determina hacia donde se mueven?

I. INTRODUCCIÓN Optaciano Vásquez En un juego de billar ¿cómo decide Ud. la dirección que debe darle a la bola blanca para meter la bola número cuatro en la canastilla?

I. INTRODUCCIÓN Algo en común que tienen estas preguntas es que no pueden constatarse aplicando directamente la segunda ley de Newton, debido a que actúan fuerzas sobre las que se sabe muy poco. En este capítulo veremos que a veces no es necesario saber de estas fuerzas. Para ello usaremos los conceptos de impulso, momento y la conservación de momento. La ley de conservación del momento lineal vale en situaciones en que la ley de Newton es inadecuada como por ejemplo el estudio de las colisiones.

III. IMPULSO DE UNA FUERZA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza externa resultante La segunda ley de Newton se expresa en la forma Según esta ecuación “un cambio rápido de la cantidad de movimiento requiere un fuerza resultante grande. Si las fuerzas son contantes o sólo depende dl tiempo la ecuación anterior puede integrarse

3.1. Cantidad de movimiento El momento es una medida de cuan difícil es detener o poner en movimiento un objeto. Es una cantidad vectorial dada por el producto de se masa y su velocidad. El momento tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.

3.1. Impulso de una fuerza (I) Es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el intervalo de tiempo que dura su aplicación. Matemáticamente se expresa mediante la integral de la fuerza por el tiempo. Es decir

3.1. Impulso de una fuerza (I) En general, la fuerza resultante es un vector cuyo módulo y dirección varían con el tiempo. Si la dirección no varía puede sacarse de la integral. En este caso el impulso el módulo del impulso es igual al área bajo la curva fuerza-tiempo durante el intervalo de tiempo

3.1. Impulso de una fuerza (I) La ecuación también se puede utilizar para determinar la fuerza media durante un intervalo de tiempo. La fuerza media es la fuerza constante equivalente que daría el mismo impulso que la fuerza original variable con el tiempo

3.1. Impulso de una fuerza (I) Cuando la fuerza resultante es variable se descompone en componentes por ejemplo ortogonales

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO Al integrar la segunda ley de Newton se obtuvo La momento lineal final se obtiene sumando vectorialmente al momento lineal inicial, el impulso de la fuerza resultante

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO El principio I-p es una ecuación vectorial para aplicarlo se descompone en componentes. Esto es

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO Entonces se tiene Si en un problema intervienen dos o más partículas, cada una de ellas se estudia por separado y se aplica el principio I-p a cada una. Donde FRi, es la resultante delas fuerzas exteriores y F12 es la fuerzas interior Al sumar estas ecuaciones, los impulsos de las fuerzas internas se cancelan de acuerdo a la tercera ley de Newton

V. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Si la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es nula, las únicas fuerzas presentes serán las fuerzas internas. De acuerdo con la tercera ley de Newton estas fuerzas internas son de igual magnitud pero de signo opuesto. Al sumar los impulsos de estas fuerzas se cancelan mutuamente entonces se tiene La ecuación establece que “si la resultante de las fuerzas externas es nula el momento lineal del sistema se conserva”

V. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Para el caso de dos partículas se tiene

VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO Si una fuerza muy grande actúa durante un intervalo de tiempo muy corto y la fuerza produce un cambio definido en el momento. A esta fuerza se le llama IMPULSIVA y el movimiento es impulsivo. Un ejemplo lo constituye la interacción entre de béisbol al entrar en contacto con la pelota, éste dura un t muy pequeño pero la fuerza es intensa siendo el impulso lo suficiente para cambiar la trayectoria de la pelota

VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO En la figura se muestra un diagrama Impulso-momento para la interacción bate- pelota El principio I-p, se escribe En este caso se desprecian aquellas fuerzas que no sean impulsivas como por ejemplo el peso en este ejemplo ya que su impulso es muy pequeño

Ejemplo 01 Un auto desciende por una pendiente de 5° a una velocidad de 100 km/h cuando se aplican los frenos generando una fuerza de frenado constante (aplicada por la calzada a las cubiertas) de 6,5 kN. Determine el tiempo que demora el vehículo en detenerse

Solución Aplicando el principio impulso cantidad de movimiento se tiene Tomando las componetes paralelas al plano inclinado

Ejemplo El coeficiente de fricción entre el bloque A de 50 kg representado en la figura y la superficie horizontal es 0,20. La fuerza se expresa en newton cuando t está en segundos. Calcule el impulso lineal resultante sobre el bloque desde t = 0 hasta t = 5 s, considere que el cuerpo se mueve hacia la derecha durante todo el intervalo de tiempo.

Ejemplo El coeficiente de fricción entre el bloque A de 12 kg mostrado en la figura y el plano es 0,20. La fuerza se expresa en newton cuando t está en segundos. El bloque se encuentra en reposo en el instante t = 0. Calcular la velocidad del bloque cuando t = 2 s.

Ejemplo Una pelota de béisbol de 120 g es lanzada con una velocidad de 24 m/s. Después de ser golpeada por el bate tiene una velocidad de 36 m/s en la dirección mostrada. Si la pelota y el bate están en contacto durante un intervalo de tiempo de t = 0,015 s. Determine la fuerza impulsiva media ejercida sobre la pelota durante el choque

optaciano Vásquez Solución 02 Aplicando el principio Impulso cantidad de movimiento en forma de componentes, resulta Componente x: x y componente y

Ejemplo Un paquete de 10 kg cae por una rampa sobre un carro a una velocidad de 3 m/s. Si el carro inicialmente estaba en reposo y éste puede rodar libremente. Determine: (a) la velocidad final del carro, (b) el impulso que el carro ejerce sobre el paquete y (c) la fracción de energía cinética que se pierde durante el choque

Solución Se aplica el principio I- P al sistema paquete más carro para determinar la velocidad del carro más el paquete. x y Componente x

Solución Se aplica el principio I-p al paquete sólo para determinar el impulso ejercido sobre él debido al cambio en su movimiento x y Componente x Componente y

Fracción de energía perdida Solución Fracción de energía perdida

Ejemplo Los bloques A y B mostrados en la figura tienen una masa de 3 kg y 5 kg, respectivamente. Si B se está moviéndose primero hacia abajo con una velocidad de 3 m/s. Determine de las cuerdas y poleas

Ejemplo El tronco de 500 kg reposa sobre la superficie rugosa cuyos coeficientes de fricción estático y cinético son ms = 0.5 y mk = 0.4. Si el torno ejerce una fuerza variable como se muestra en la figura. Encuentre la velocidad del tronco después de 5 s de aplicado la fuerza por el torno

Ejemplo Sobre un bloque de 50 kg inicialmente en reposo actúa una fuerza F cuyo módulo varía como se muestra en al figura. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie horizontal es 0,20. Calcular la velocidad del bloque: (a) en t = 5 s y (b) en t = 8 s

Ejemplo A una caja de 10 kg que descansa sobre una superficie horizontal, según se indica en la figura, se le aplica una fuerza P horizontal. El módulo de P varía con el tiempo según se indica en la fig (b). Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen 0,40 y 0,30, determine. (a) el instante t1 en que la caja comienza a deslizarse, (b) la máxima velocidad vmax de la caja y el instante tmax en que lo alcanza y (c) el instante tf en el cual cesa el deslizamiento.

Ejemplo El sistema representado se suelta desde el reposo. Hallar el tiempo que tarda A en alcanzar la velocidad de 0,6 m/s. Se desprecia el rozamiento y la masa de las poleas.

Ejemplo Dos automóviles chocan en el cruce, según se indica en la figura. El auto A tiene una masa de 1000 kg y una celeridad inicial vA = 25 km/h, mientras que el auto B tiene una masa de 1500 kg. Si los autos quedan enganchados y se mueven conjuntamente en la dirección dada por el ángulo θ = 30º después del choque, determine la celeridad vB que llevaba el auto B antes de chocar.

Ejemplo Un bloque de madera de 0,30 kg está unido a un resorte de k = 7500 N/m como se muestra en la figura. El bloque está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (μk = 0,40) y recibe el impacto de una bala de 0,030 kg que lleva una velocidad inicial vi = 150 m/s. En el choque, la bala queda incrustada en la madera. Determine: (a) la celeridad del conjunto bloque-bala inmediatamente después del choque, (b) la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse.

Ejemplo Un péndulo balístico consiste en una caja de peso 25 N que contiene arena y está suspendida de un hilo ligero de 1, 5 m de longitud como s ve en a figura. Una bala de 14 g incide sobre la caja y queda incrustada en la arena. Si la celeridad que llevaba inicialmente la bala era de 105 m/s, determine: (a) La celeridad del conjunto caja-bala inmediatamente después del impacto, (b) el ángulo máximo que describirá el péndulo después del impacto.

Ejemplo Un muchacho que tiene una masa de 40 kg está parado en la parte trasera de un tobogán de 15 kg que originalmente está en reposo, como se muestra en la figura. Si el muchacho camina hacia el frente B y se para, determine la distancia que se mueve el tobogán. Suponga que el tobogán está apoyado sobre el hielo, de modo que puede despreciarse la fricción sobre la parte inferior del tobogán.

Ejemplo Un pilote rígido indicado en la figura tiene una masa de 800 kg, y se inca en el suelo usando un martinete H que tiene una masa de 300 kg. El martinete cae desde el reposo desde una altura yo = 0,5 m y choca contra la parte superior del pilote. Determine el impulso incial que imparte el martinete sobre el pilote si: (a) la parte inferior del pilote está apoyada sobre un lecho rocoso rígido en B y (b) el pilote está rodeado de arena suelta, de tal manera que después del choque el martinete no rebota fuera del pilote.

VII. IMPACTO O COLISIÓN O CHOQUE La colisión o choque entre dos cuerpos es un proceso dinámico en donde intervienen fuerzas muy grandes que actúan durante tiempos muy cortos los que dan lugar a fuertes cambios de velocidad de uno o ambos cuerpos. Las intensas fuerzas de reacción durante el choque producen deformaciones considérables de los cuerpos ocurriendo una conversión de energía en forma de calor y sonido

7.1 CLASE DE CHOQUES Las colisiones o choques se clasifican en: Según la posición relativa de los centros de masa, la velocidad relativa de los centros de masa y la línea de impacto (normal común a las superficies de contacto). a) Choque central. Es en el cual los centros de masa de los cuerpos se encuentran sobre la línea de choque. b) Choque excéntrico. Es aquel en el cual los centros de masa de uno de ellos no está sobre la línea de choque. En general ocurre en el chuque de cuerpos rígidos.

7.1 CLASE DE CHOQUES Las colisiones o choques se clasifican en: 2. Según su orientación de las velocidades respecto a la línea de choque. a) choque central directo: Aquel en el cual las velocidades de aproximación de los cuerpos se encuentran sobre la línea de choque. a) choque central oblicuo: Aquel en el cual las velocidades de aproximación de los cuerpos no se encuentran sobre la línea de choque

7.2. IMPACTO CENTRAL DIERCTO Consideremos dos partículas moviéndose como se ve en la figura Si vA es mayor que vB ocurrirá un choque. A consecuencia del impacto las dos partículas se deforman y al final del período d deformación, las dos tienen la misma velocidad u. Posteriormente viene el período de restitución, al final del cual, en función de las intensidades de las fuerzas y de las características de los materiales los cuerpos recobraran su forma original o quedarán deformados permanentemente.

7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO Considerando al sistema como aislado vemos que no existen fuerzas externas impulsivas. Entonces, se conserva el momento lineal del sistema. Es decir: Las velocidades se consideran positivas si están hacia la derecha y negativas si están dirigidas a la izquierda Una segunda relación se obtiene al analizar los períodos de deformación y restitución

7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los períodos de deformación y restitución. Período de deformación Período de restitución En el impulso de restitución es menor que el impulso de deformación El coeficiente de restitución se define como la razón entre los impulsos de restitución y de deformación

7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los períodos de deformación y restitución. Período de deformación Período de restitución El coeficiente de restitución se define como la razón entre los impulsos de restitución y de deformación

7.2. IMPACTO CENTRAL DIRECTO Debido a que las dos ecuaciones anteriores son iguales, entonces será igual la fracción obtenida sumando sus numeradores y denominadores. Por tanto se tiene La velocidad relativa después del choque se obtiene multiplicando las velocidades relativas antes del choque por el coeficiente de restitución

7.2.1Choque perfectamente plástico En este tipo de choque el coeficiente de restitución es nulo. Las velocidades después del choque de ambos cuerpos es la misma. En esta colisión la pérdida de energía es máxima. Un ejemplo lo constituye el péndulo balístico

7.2.2 Choque perfectamente elástico Aquí el coeficiente de restitución es igual a la unidad En esta colisión se conserva el momento lineal, es decir También se conserva la energía cinética del sistema Este tipo de colisión es difícil de encontrarlo Sin embargo, uno de los ejemplos que podría aproximarse a este tipo de choque es el mostrado en la figura

7.2.2 Choque inelástico Este choque es el mas común. En este choque no se conserva la energía total de las partículas. El coeficiente de restitución tiene valores entre 0 < e <1. Aquí si se conserva el momento lineal

7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO Aquel choque en el cual los centros de masas de los cuerpos están sobre la línea de choque pero sus velocidades de aproximación se encuentran formando ángulos con la línea de choque En este caso las magnitudes y las direcciones de las velocidades después del choque son desconocidas

7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2 Para determinar estas cuatro incógnitas consideremos la colisión mostrada en la figura Se conserva la componente t del momento lineal de cada partícula por separado. Se conserva la componente n del momento lineal del sistema

7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2 La componente n de las velocidades relativas después del choque se obtiene multiplicando la velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitución. De esta forma se obtiene cuatro ecuaciones independientes de las que se despeja las velocidades de A y B después del choque

7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_3 Si uno de los cuerpos está restringido a moverse de algún modo como se ve en la figura En este caso A está restringido a moverse horizontalmente. Los impulsos de las fuerzas F y –F se encuentran en la dirección n El impulso de la fuera externa Fex ejercida por la superficie horizontal sobre A es vertical Las velocidades de A y B después del choque se representan por tres incógnitas: el módulo de la velocidad de A, v’A del cual se sabe que es horizontal y la magnitud y dirección de la velocidad de B, v’B.

7.3. CHOQUE CENTRAL OBLICUO_4 Entonces debemos escribir tres ecuaciones. La componente t del momento lineal de B se conserva La componente según el eje horizontal x del momento lineal total de a y B se conserva. La componente n de las velocidades relativas antes y después del choque están relacionadas por

OBSERVACIÓN 3 La ecuación que da e puede ser obtenida aplicando el principio I-p a la partícula A como se muestra en la figura

EJEMPLO 01 El costal A, de 6 lb se suelta desde el reposo cuando θ = 0°, como se muestra en la figura. En su trayecto choca contra una caja B de 18 lb cuando θ = 90°. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre la caja y el costal es e = 0,30. Determine: (a) la velocidad de la caja y del saco inmediatamente después del impacto y (b) la pérdida de energía cinética debido al choque

EJEMPLO 02 Las magnitudes y direcciones de las velocidades de las esferas lisas idénticas antes de que choquen se indican en la figura. Suponiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,90. Determine: (a) la magnitud y dirección de las velocidades de ambas después del choque y (b) la pérdida de energía cinética debido al choque

Solución Las componentes tangenciales de las esferas es conservado Descomponiendo las velocidades de las esferas en componentes normal y tangencial al plano de contacto Las componentes tangenciales de las esferas es conservado Se conserva el momento lineal del sistema en dirección normal

Solución Coeficiente de restitución Resolviendo simultaneamente las ecuaciones se determina las componentes normal de cada velcoidad

EJEMPLO 03 Un pelota se lanza contra una pared vertical lisa. Inmediatamente antes que la pelota choque contra la pared su velocidad tiene un módulo v y forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si el coeficiente de restitución es e = 0,90. determine el módulo y dirección de la velocidad de la pelota cuando rebote

Aplicando la definición del coeficiente de restitución Solución Descomponer la velocidad de la bola en componentes paralela y perpendicular a la pared n t La componente tangencial del momento de la esfera se conserva Aplicando la definición del coeficiente de restitución

EJEMPLO 04 Una pelota choca con el suelo con una velocidad v0 de 5 m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Sabiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,60 y que la pelota tras el rebote, alcanza el punto B con una velocidad horizontal, halle: (a) las distancia h y d; (b) la velocidad de la pelota cuando llega a B.

EJEMPLO 05 La esfera B cuelga de un cable inextensible BC. Una esfera idéntica se suelta desde el reposo cuando se encuentra justo en contacto con el hilo y adquiere una velocidad vo antes de chocar con la esfera B. Asumiendo que la colisión es perfectamente elástica (e =1) y en ausencia de fricción. Determine la velocidad de cada esfera inmediatamente después del impacto

Solución Se determina la orientación de la línea de impacto Se conserva la componete tangencial al plano de contacto para la esfera A Se conserva el momentum lineal del sistema en la dirección x

Solución Coeficiente de restitución en dirección n Resolviendo las dos últimas expresiones para la velocidad de la esfera A a lo largo de la línea de acción y la velocidad de la esfera A la cual es horizontal

EJEMPLO 06 Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 2 m sobre el plato de 10kg de una balanza de resorte. Suponiendo que el choque es perfectamente plástico. Determine el máximo desplazamiento del plato. La constante del resorte es k = 20 kN/m

El momento lineal del sistema se conserva Solución Se aplica el principio de conservación de la energía para determinar la velocidad de A un instante antes del choque El momento lineal del sistema se conserva

Solución Se aplica el principio de conservación de la energía para determinar la deformación máxima del resorte Deformación inicial del resorte debido al peso del plato

EJEMPLO 07 Una esfera A de 1,2 kg, que se mueve a una velocidad v0 paralela al suelo de módulo v0 = 2 m/s, choca con la cara inclinada de una cuña B de 4,8 kg, que puede rodar libre mente sobre el suelo y que está inicialmente en reposo. Sabiendo que θ = 60º y que el coeficiente de restitución entre la esfera y la cuña es e = 1, hallar la velocidad de la cuña inmediatamente tras el impacto.

EJEMPLO 08 Sobre una superficie dura cae una pelota que rebota según se indica en la figura. Si el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,80, la pelota parte desde el reposo cuando h = 1 m y la pelota salva apenas la pared en el punto más alto del rebote. Determine las distancias b, c y d de la figura.

EJEMPLO 09 Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad v0 = 2 m/s cuando choca contra la esfera A de 0,5 kg, la cual esta en reposo y cuelga de una cuerda sujeta en O. sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es μK = 0,60 y que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,80. Determine tras el impacto: (a) la altura máxima alcanzada por la esfera y (b) la distancia x que recorre el bloque.

EJEMPLO 10 El bloque A de 3 kg se abandona en reposo en la posición de 60º indicada y choca luego con el carrito B de 1 kg si en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,70, hallar hasta que distancia s el carrito rebasa el punto C. Desprecie el rozamiento. ¿Cuál es la fuerza que la pista ejerce sobre el carrito inmediatamente antes de pasar por C?.

EJEMPLO 02 Una niña lanza una pelota contra un muro inclinado desde una altura de 1,2 m, golpeando al muro en A con una velocidad horizontal v0 de módulo 15 m/s. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre la pelota y el muro es 0,9 y despreciando el rozamiento, halle la distancia d desde el pie del muro al punto B donde la pelota choca con el suelo tras el rebotar en el muro